17.2勾股定理的逆定理 培优学案

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17．2 勾股定理的逆定理
知识点1 互逆命题与互逆定理
例1 说出下列命题的逆命题，这些命题的逆命题成立吗？
（1）两条直线平行，同位角相等；
（2）全等三角形的对应角相等．
【分析】命题由题设和结论两部分组成，它的逆命题就是把原命题的结论作为题设，把原命题的题设作为结论，然后判断原命题的逆命题是否正确．
解：（1）逆命题：同位角相等，两直线平行．这个命题成立．
（2）逆命题：对应角相等的三角形全等．这个命题不成立．
【点评】原命题正确，逆命题不一定正确．判断一个命题是否为假命题只要举出一个反例即可．
练1 △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列命题中的假命题是（ ）
A、如果=(b+c)（b-c），则△ABC是直角三角形
B、如果+≠，则△ABC不是直角三角形
C、如果a：b：c=5：12：13，则△ABC是直角三角形
D、如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，则△ABC是直角三角形
练2 已知下列命题：①若a>b，则ac>bc；②若a=1，则=a；③内错角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数( )
A． 0个B． 1个C． 2个D． 3个
知识点2 勾股数
例2 下列几组数为勾股数的是（ ）
A．4，5，6 B．12，16，20
C.-10，24，26 D．2.4，4.5，5.1
B【解析】满足的三个正整数称为勾股数，A中虽然4，5，6均为正整数，但，C中虽然满足，但－10＜0，D中虽然满足，但不是整数．只有B中，且都为整数．故选B．
【点评】 一组数是勾股数必须同时满足两个条件：（1）两个较小数的平方和等于最大数的平方；（2）这三个数都是正整数．这两个条件缺一不可．常见的勾股数有3，4，5；5，12，13； 8，15，17；9，40，41．记住这些常见的勾股数可以提高做题速度．
【知识拓展】（1）3，4，5既是勾股数，又是三个连续整数，它们非常特殊，不要认为凡是三个连续整数就是勾股数．
（2）每组勾股数以相同倍数扩大得到的一组数也是勾股数．若m，n，p（m＜n＜p）是勾股数，则，则（a为正整数），所以am，an，ap也是一组勾股数．例如：3，4，5与6，8，10和9，12，15都是勾股数．
练3 下列各组数中，不是勾股数的一组是( )
A．7、24、25 B．4、5、6
C．5、12、13 D．8、15、17
知识点3 勾股定理的逆定理的应用
考向1根据勾股定理的逆定理判断直角三角形
例1 判断由线段，，组成的三角形是不是直角三角形．
（1）a＝15，b＝8，c＝17；
（2）a＝13，b＝14，c＝15．
【分析】根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方．
解：（1）因为a＝15，b＝8，c＝17，
所以＝225＋64＝289＝172，即．
所以这个三角形是直角三角形．
（2）因为a＝13，b＝14，c＝15，
所以＝169＋96＝365，而＝＝225，
因为365≠225，所以
所以这个三角形不是直角三角形．
【点评】一定是较小的两边长的平方和与最大边长的平方之间进行比较．
练4 下列长度的三条线段不能组成直角三角形的是（　）
A．3，4，5 B．5，12，13 C．7，24，25 D．8，15，19
练5 △ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．a2+b2＝c2 B．a＝5，b＝12，c＝13
C．∠A：∠B：∠C═3：4：5 D．∠A＝∠B+∠C
练6 已知a，b，c是△ABC三边的长，且满足关系式(a－5)2+|b－12|+=0，则△ABC的形状为_ _________．
考向2 利用勾股定理的逆定理证明两条直线垂直或求夹角的大小
例2 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝3，CD，DA＝5，∠B＝90°，求∠BCD的度数．

【分析】根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACD＝90°，即可求出答案．
解：∵在Rt△ABC中，AB＝BC＝3，∠B＝90°，∴由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝32+32＝18，∵CD，DA＝5，
∴CD2+AC2＝DA2，∴∠ACD＝90°，
∵在Rt△ABC中，AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝45°+90°＝135°．
【点评】本题考查了等腰直角三角形，勾股定理和勾股定理的逆定理等知识点，能求出∠ACD的度数是解此题的关键．
练 7如图，四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，E、F分别是BC和CD边上的点，且CEBC，F为CD的中点，问△AEF是什么三角形？请说明理由．




考向3利用勾股定理及其逆定理求线段的长
例3如图所示，在△ABC中，D为BC边上的点，已知AB＝13，AD＝12，AC＝15，BD＝5，求CD的长．

【分析】本题应先运用勾股定理的逆定理判定△ABD为直角三角形，进而知△ADC为直角三角形，再运用勾股定理求出CD的长，进而求出△ADC的面积．
解：在△ABD中，AB2＝132＝169，AD2＋BD2＝122＋52＝169， ∴AB2＝ AD2＋BD2，
∴△ABD为直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝90°．
在Rt△ACD中，根据勾股定理得
AC2＝ AD2＋CD2，
∴CD2＝ AC2－AD2＝152－122＝81，
∴CD＝9，
【点评】勾股定理及其逆定理都与三角形的三边长有直接的关系，前者是已知三角形两边的长度能求出第三边的长，后者是知道三角形三边的长能得到一个特殊的角——直角．
练 8如图，在△ABC中，AB＝4，BC，点D在AB上，且BD＝1，CD＝2．
（1）求证：CD⊥AB；
（2）求AC的长．



考向4根据勾股定理的逆定理作直角三角形
例4 在正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图．
①在正方形网格中取三个不同的格点，使其中任意两点不在同一条直线上；②连接三个格点，使之构成直角三角形．
如图所示，小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC，请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等．
【分析】可用勾股定理的逆定理进行判断．
解：画法如图所示．（答案不唯一）
【点评】在网格中画直角三角形，要构造三条边的长满足两条较小边长的平方和等于最大边长的平方，本题的画法不唯一．
练9 已知下列图形中的三角形顶点都在正方形网格的格点上，图中的三角形是直角三角形的是（　　）
A． B．
C． D．
练10 如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形．
（1）使三角形的面积为3；
（2）使三角形为等腰三角形且底边长为2，腰长为；
（3）使三角形为直角三角形且一条直角边长为，斜边长为5．







考向4利用勾股定理及其逆定理求图形的面积
例4 在四边形ABCD中，AC⊥DC，AD＝13cm，DC＝12cm，AB＝3cm，BC＝4cm，求四边形ABCD的面积．

【分析】利用勾股定理求出AC的长度，在△ABC中根据勾股定理逆定理可以得出是直角三角形，根据直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半计算即可求解．
解：在Rt△ACD中，
AC5cm，
在△ABC中，∵AB2+BC2＝9+16＝25，
AC2＝52＝25，∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，
∴四边形ABCD的面积AB?BCAC?CD3×45×12＝36cm2．
【点评】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积，根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状是解答此题的关键，难度适中．
练11 如图，某开发区有一块四边形的空地ABCD，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，则要投入　　元．

练12 如图，AD＝13，BD＝12，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4．求阴影部分的面积．






考向5 利用勾股定理的逆定理解决实际问题
例5 如图所示，南北方向PQ为我国的领海域，PQ以东为领海，以西为公海，晚上10点28分，我边防反偷渡巡逻艇122号在A处发现正西方向C处有一可疑船只向我国领海靠近便立即通知正在PQ领海线上B处巡逻的123号巡逻艇注意其动向，经观测发现：A处巡逻艇122号与C处可疑船只的速度为12.8海里/时，则该可疑船只最早在何时进入我国领海？

【分析】本题要求该可疑船只最早何时进入我国领海，首先确定该可疑船只进入我国领海的航行路线，由“垂线段最短”可知线段CD的长即为该可疑船只进入我国领海的最短路线，因此，计算CD的长是解本题的关键．
解：连接AC交PQ于点D，连接AB，BC，则∠BDC＝90°．
因为AB＝6海里，BC＝8海里，AC＝10海里，且62＋82＝102，
所以AC2＝BC 2＋AB2，所以△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°．又因为BD⊥AC于点D，所以该可疑船只进入我国领海的最近距离为CD的长．
又因为AB·BC＝AC·BD，所以BD＝＝＝4.8（海里）．
在Rt△DCB中，BC＝8海里，BD＝4.8海里，
由勾股定理，得CD2＝BC2－BD2＝82－4.82＝6.42，所以CD＝6.4海里，
所以从C处到D处所需时间为6.4÷12.8＝0.5（小时）．0.5小时＝30分．
故该可疑船只最早在晚上10点58分进入我国领海．
【点评】解此类题，应从实际问题入手，将其转化为数学问题．本题要求该船只最早何时进入我国领海，必须首先确定可疑船只进入我国领海的航行路线，由“垂线段最短”可知线段CD即为可疑船只进入我国领海的最短距离，因此，计算CD的长即为解题关键．
某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自
练13 一固定方向航行，“远航”号每小时航行16nmile，“海天”号每小时航行12nmile．它们离开港口一个半小时后分别位于点Q、R处，且相距30nmile．如果知道“远航”号沿东北方向航行，则“海天”号沿（　
　）方向航行．

A．西南 B．东北
C．西北 D．东南
练14甲、乙两船同时从A港出发，甲以12nmile/h的速度沿北偏东50°方向航行，乙以16nmi1e/h的速度沿南偏东方向航行.3h后，甲、乙两船分别位于B，C处，且相距60nmi1e，求乙船航行的具体方向．























17．2 勾股定理的逆定理
知识点1 互逆命题与互逆定理
练1 ?B
练2 A
知识点2 勾股数
练3 B
知识点3 勾股定理的逆定理的应用
考向1根据勾股定理的逆定理判断直角三角形
练4 D　
练5 C
练6 直角三角形
考向2 利用勾股定理的逆定理证明两条直线垂直或求夹角的大小
练 7解：∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，AB＝4，CEBC，
∴EC＝1，BE＝3，
∵F为CD的中点，
∴DF＝FC＝2，
∵∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴EF，
AF，
AE．
∴AE2＝EF2+AF2．
∴△AEF是直角三角形．
考向3利用勾股定理及其逆定理求线段的长
练 8【解答】（1）证明：∵在△BCD中，BD＝1，CD＝2，BC，
∴BD2+CD2＝12+22＝（）2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，且∠CDB＝90°，
∴CD⊥AB；
（2）解：∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∵AB＝4，DB＝1，
∴AD＝3，在Rt△ACD中，∵CD＝2，∴AC，
∴AC的长为．
考向4根据勾股定理的逆定理作直角三角形
练9D
A． B．
C． D．
练10解：（1）（2）（3）如图所示：

练11 7200
练12 解：在RT△ABC中，AB5，
∵AD＝13，BD＝12，
∴AB2+BD2＝AD2，即可判断△ABD为直角三角形，
阴影部分的面积AB×BDBC×AC＝30﹣6＝24．
答：阴影部分的面积＝24．
考向5 利用勾股定理的逆定理解决实际问题
练13 C
练14解：由题意得：甲3小时的路程＝12×3＝36海里，乙3小时的路程＝16×3＝48海里，∵362+482＝602，∴∠BAC＝90°，
∵B岛在A北偏东50°方向，∴C岛在A南偏东40°方向．∴乙船所走方向是南偏东40°方向．


















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