第十六章 二次根式专题复习 培优学案

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二次根式专题复习
专题1利用二次根式的定义和性质确定字母的取值范围
例1 在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A.≤2且≠1 B.≤2且≠0
C.0≤≤2且≠1 D.≠1
C【解析】由题意知，解得0≤≤2且≠1.故选C.
练1式子有意义的条件是（　　）
A．x≠2 B．x＞﹣2 C．x≥2 D．x＞2
练2使等式成立的x的取值范围是　　．
例2 如果一个三角形的三边长分别为1，k，3，则化简：5|k﹣2|的结果　　．
【点拨】根据三角形的三边关系可求出k的范围，然后根据绝对值的性质以及二次根式的性质即可求出答案．
【解析】由题意可知：2＜k＜4，
∴|k﹣4|＝﹣（k﹣4），|k﹣2|＝k﹣2，
∴原式＝5+（k﹣4）﹣（k﹣2）＝5+k﹣4﹣k+2＝3，故答案为：3
练3已知：y为实数，且y＜4，则|y﹣4|的化简结果为　　．
练4已知|2019﹣a|a，求a﹣20192的值是　 ．
例3 若x、y都是实数，且y2，那么xy的值是　　．
【解析】根据题意得，1﹣2x≥0且2x﹣1≥0，解得x且x，∴x，y＝﹣2，∴xy＝（）﹣2＝4．故答案为：4．
【点评】二次根式的被开方数必须是非负数，因而本题存在隐含条件1﹣2x≥0且2x﹣1≥0，，因此求出x值，即利用了非负数的特点，巧妙求解.
练5 如果y2，那么xy＝　 ．
练6 若实数a满足5≤a≤10，则化简后为　　．
例4 已知实数，，在数轴上的位置如图16-5所示，化简
解：由，，在数轴上的位置可知，，
∴，，
∴原式＝
＝
＝
＝.
练7已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣1|的结果是　　．

专题2 二次根式的最值问题
例5 当取何值时，的值最小？最小值是多少？
【分析】由二次根式的非负性可知，即的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.
解：∵，∴≥3，
∴当，即时，有最小值，且最小值为3.
【点评】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即（）.
练8 若是正整数，则x的最大值是　　．
练9 当x＝　　时，的值最小．
专题3 二次根式的化简求值及混合运算
例6 计算.
【分析】根据二次根式混合运算的顺序和法则分别进行计算，再合并同类二次根式即可.
解：原式＝
＝＝.
【点评】此题考查了二次根式的混合运算，在计算时要注意顺序和法则以及结果的符号.
练10计算 （1）.
（2）÷×.

例7 已知，，求的值.
【分析】这是一道二次根式的化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意，的符号，本题中没明确说明，的符号，但可从，中分析得到.
解：∵，，∴，，
∴＝＝＝＝.
练11已知，求的值.




练12 已知m＋n＝－3，mn＝2，求代数式的值．





专题4 二次根式的大小比较
例8已知a，b，c为三个整数，若，，，则a，b，c的大小关系是　b＜a＜c　．
【分析】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，求出a、b、c，比较大小即可．
【解析】3，则a＝3，
15，则b＝2，
6，则c＝5，
∴b＜a＜c，故答案为：b＜a＜c．
练13 比较大小（1）　　．
（2） 2　　3；
专题5 二次根式的分母有理化
例9 我们已经知道7﹣4＝3，因此将的分子分母同时乘（2），分母就由原来的无理数2变成了有理数3，也称为对其进行了分母有理化．请聪明的你仿照这种方法化简和
【分析】把的分子分母都乘以（2）；把的分子分母都乘以．
解：2；
练14已知x，求x2﹣4x+2的值．



练15已知a，b，求的值．







专题1利用二次根式的定义和性质确定字母的取值范围
练1　D
练2　x＞1　．
练3　﹣1　．
练4　2020　．
练5　16　．
练6　7　．
练7　1﹣2a　．
专题2 二次根式的最值问题
练8　11　．
练 9 2　
专题3 二次根式的化简求值及混合运算
练10计算 （1）.
解： 原式=
（2）÷×.
解原式=××
=2=.
练11已知，求的值.
解：===，
∴当时，原式==.
练12 已知m＋n＝－3，mn＝2，求代数式的值．
解：依题意可知m＜0，n＜0．
∴＝＝＝．
专题4 二次根式的大小比较
练13比较大小（1）　＞　（2） 2　＜　3；
专题5 二次根式的分母有理化
练14 解：2，
则x2﹣4x+2＝（x﹣2）2﹣2＝3﹣2＝1．
练15解：∵a2
b2，
∴原式
3．










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