人教版九年级数学上册 21.2.1 配方法教案(第1课时)

21.2.1配方法解一元二次方程
——直接开平方法
一、内容和内容解析
1.内容
用直接开平方法对形如x2=p(p≥0)的一元二次方程进行求解.
2.内容解析
本节是九年级上册第二十一章《一元二次方程》21.2解一元二次方程中的一节，本节课的主要内容是：学生掌握用直接开平方法解一元二次方程.直接开平方法看似简单，却不容忽视.首先“直接开平方法”解一元二次方程是配方法解一元二次方程的基础，其次在二次函数与x轴交点等问题中都必须应用一元二次方程的解法，因此用直接开平方法解一元二次方程 ，将直接影响后续的学习.
基于以上分析，确定本节课的教学重点是：运用开平方法解形如x2=p(p≥0)的方程；领会降次—转化的数学思想.
二、目标和目标解析
1.目标
（1）利用直接开平方法对形如x2=p(p≥0)的一元二次方程进行求解.
（2）理解一元二次方程“降次”—转化的数学思想，并能应用它解决一些具体问题.
2.目标解析
达成目标（1）的标志是：学生掌握用直接开平方法解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程.
达成目标（2）的标志是：学生感知用直接开平方法的方式将一元二次方程“降次”的基本策略和体会出转化的数学思想方法.
三、教学问题诊断分析
本节用直接开平方法解一元二次方程是研究怎样解一元二次方程的开始，九年级学生由于已经学过一元一次方程的解法，所以会对怎样解一元二次方程有浓厚的兴趣，但学生的观察、分析问题的能力依然较弱，所以学习中会有一定的困难，特别是对于需要利用公式转化成x2=p(p≥0)或（mx+n）2=p(p≥0)的形式，学生可能会出现各种问题.
因此，本节课的教学难点是：根据平方根的意义解形如x2=p(p≥0)的一元二次方程，然后迁移到解（mx+n）2=p(p≥0)型的一元二次方程.
突破难点的关键是：理解直接开平方法的基本思想，懂得形如：x2=p(p≥0)的方程都可以用直接开平方法解.
四、教学过程设计
1. 创设情境 引入新课 (时间预设3分钟)
导语：在上节课同学们已经学习了一元二次方程的概念，一元二次方程在实际生活中又有怎样的应用，我们又如何求解呢?
教师活动：提出问题
一桶油漆可刷的面积为1500dm2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体形状的盒子的全部外表面，求盒子的棱长.
教师提问：
本题等量关系是什么？怎样列方程？
合作探究怎样解方程？依据是什么？
学生活动：
合作探究得出本题的解题过程如下：
设其中一个盒子的棱长为x dm，则这个盒子的表面积为6x2 dm2，列出方程
10×6x2=1500.
整理，得 x2=25.
根据平方根的意义，得x=±5，
即 x1=5，x2= -5
教师指出解这个方程的方法就是我们本节课需要解决的问题.
引出课题
21.2.1配方法解一元二次方程--------直接开平方法
教师活动：
提问：
本题中的一元二次方程的结构有怎样的特点？
解方程中一元二次方程是通过什么方法降次的？
学生活动：学生互相探讨回答问题，从而得出直接开平方法概念.
活动设计意图：通过与实际活动有密切联系的应用题，使学生对本堂课所讲的内容产生浓厚的兴趣，激发学生的求知欲望，学生通过自主探究找出等量关系，列出方程，增强了学生解应用题的信心，并通过以往学过的知识解出应用题，获得成功的喜悦.
教师提问：得出的两个解是否都符合题意.
学生活动：通过验证，5和-5是方程的两个根，因为棱长不能是负值，所以盒子的棱长为5dm.
总结：1.用方程解决实际问题时，要考虑所得结果是否符合实际意义.
2.利用平方根的定义直接开平方来求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.
2.自主探究 教师引导
教师活动：（时间预设：10分钟）
组织学生编写一些简单的符合（x+m）2=n(n≥0)形式的方程，要求：①一元二次方程不含一次项; ②二次项底数可以是单项式的形式也可以是多项式的形式.
学生学习状态预估：教师预测学生编的方程会有以下几种情况：（1）二次项和常数项都在等号的左边，二次项系数为1或-1，形如：x2-4=0或-x2+4=0；（2）二次项和常数项分别在等号两边，二次项系数为1或-1，形如：x2=4或-x2=-4；（3）二次项系数不为1或-1，形如：2x2-4=0或2x2=4；（4）二次项底数为多项式，形如：2(x+1)2=4或2(x-1)2-4=0等.
教学调整措施：
学生编写的方程有可能不符合用直接开平方法解一元二次方程的一般形式，对编题学生先加以表扬，再给出修改意见.
对于学生编写方程中形：如x2=4；2x2=4；（x+1）2=4；2(x-1)2-4=0四种形式，要求学生以小组讨论的形式，用学过的方法解其中的一道题，并选出代表进行板演，说明是用什么方法解题.
学生活动：学生小组讨论，可以用哪些学过的方法解出正确答案.
设计意图：
（1）该问题是开放的，学生的回答是多样的，给予正确的评价，让学生充分体验成功的喜悦.
（2）使学生始终处于思考的过程，增强学生参与课堂教学的积极性.
教师活动：
教师预测学生会仿照应用题中一元二次方程的解法，通过洽当的变形解一元二次方程.
教师提问：
学生解方程时，可以遵循怎样的规律解形如：x2=p(p≥0)的一元二次方程.
学生活动：
通过仔细观察发现，对于不含一次项的一元二次方程都可以通过移项得到形如x2=p(p≥0)的方程，并根据平方根的意义，用直接开平方法得方程的解.
教师活动：（时间预设：5分种）
教师指导学生归纳
一般地，对于方程x2=p
（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程x2=p有两个不等的实数根
x1=-, x2=-；
（2）当p=0时，方程x2=p有两个相等的实数根x1= x2=0；
（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程x2=p无实数根.
设计意图：让学生感受知识得出的过程，锻炼学生分析问题的能力和归纳能力.
教师活动：（时间预设：5分种）教师组织探究.
对照上面解方程x2=p的过程，你认为应怎样解方程（x+3）2=5?
学生活动：学生分小组讨论，得方程（x+3）2=5的解.并选出代表上黑板板演.
板演： （x+3）2=5，
x+3=，
即 x+3=，或x+3=,
所以方程的两根为x1=-3+，x2=-3-
设计意图：通过讨论帮助学生熟练掌握所学内容，增强学生的表现欲，带来成功的体验.
教师活动：
提问：用直接开平方法解一元二次方程体现了怎样的数学思想方法？
组织学生总结数学思想方法：
实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程.体现了“转化”的数学思想方法.
学生活动：学生积极思考，回答问题
设计意图：
适时的进行总结有助于进行下一步的课堂练习，而且如果学生能把这种方法应用到以后的学习生活中去，可以终生受益.
3.模仿应用 深化提高
教师活动：（时间预设：15分种）组织学生完成练习题.
下列方程中，不能用直接开平方法的是（ C ）
x2-3=0 B. (x-1)2-4=0 C. x2+2x =0 D.(x-1)2=(2x+1)2
2.下列说法中正确的是（ C ）
A．方程x2=4两边开平方，得原方程的解为x=2
B．x=3是方程x2=9的根，所以方程的根是x=3
C．方程x2-25=0的根是x=±5
D．方程 x2-32x+64=0有两个相等的根
3.若（x+1）2-1=0,则x的值等于__0或-2___.
4.若（a2+b2-3）2=25,则a2+b2=_-2____________.
5. 解下列关于的一元二次方程.



6.设α和β是方程（x+2）2=9的两个根，求的值.







学生活动：
学生积极思考解决问题，分别通过口算，笔算，讨论等方式巩固深化本节课所学的知识.
设计意图：
1.选择题和填空题的设置是为了项固本节课所学的知识.增加学生能够学好数学的信心.
2.解方程的设置是为了继续规范学生解题步骤，检测学生对本节课知识的掌握情况，查漏补缺.
3.第6题解答题的设置是为了拓展学生视野，更深刻的理解、掌握用直接开平方法解一元二次方程.
4.归纳总结
教师活动：（时间预设：2分种）组织学生总结通过本节课的学习你都有什么收获和体会？
学生活动：
学生总结本节课主要学习了用直接开平方法解一元二次方程及“转化”的数学思想方法.
设计意图：
小结加强了知识的联系,充分体现出所学知识的系统性.便于学生从总体上对知识的把握,有利于学生对知识的理解掌握和运用.同时也培养了学生善于思考,归纳总结的能力. 小结和其它环节的有机结合,能使人对整堂课感到一种整体美和谐美.从而乐于学习数学,积极参与数学的各项活动.
作业：复习巩固
板书设计：