二次根式
【考点1 二次根式的概念和性质】
【解题技巧】
1.判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
2.二次根式的基本性质：①≥0； a≥0（双重非负性）．②a＝ （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝a（a≥0）（算术平方根的意义）
【例1】(2019秋﹒南江县期末）若a>0,则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．-a
【举一反三1-1】(2019春﹒寿县期中）你见过像这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以化简，如：＝＝＝＝
请用上述方法化简：．
【举一反三1-2】（2019?广州）代数式有意义时，x应满足的条件是 ．
【举一反三1-3】（2019 台湾中考）若＝2，＝3，则a+b之值为何？（ ）
A．13 B．17 C．24 D．40
【举一反三1-4】（2019河北中考）关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数 B．面积为12的正方形边长是
C．＝2 D．在数轴上可以找到表示的点
【举一反三1-5】（2019 山东济南中考模拟）如图，表示的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间( )
C与D B．A与B C．A与C D．B与C
【考点2 二次根式的运算】
【解题技巧】
二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
2.化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式．
【例2】（2019 江苏南京中考）计算﹣的结果是 ．
【举一反三2-1】计算÷的结果是 ．
【举一反三2-2】（2019 山西中考）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【举一反三2-3】（2019 天津中考）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【举一反三2-4】（2019?青岛）计算：﹣（）0＝ 2+1 ．
【举一反三2-5】（2019?广州中考模拟）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ）
A B 2 C D
【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 云南中考）要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≤0 B．x≥﹣1 C．x≥0 D．x≤﹣1
2.（2019 重庆中考）估计（2+6）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
3.（2019?兰州）计算：﹣＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
4.（2019 山东青岛中考模拟）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
5.（2019 河北衡水中考模拟）化简﹣a的结果是（ ）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
6.（2019 河北沧州中考模拟）若（a+）2与|b﹣1|互为相反数，则的值为（ ）
A． B．+1 C．﹣1 D．1﹣
7.（2019 山东青岛中考模拟）已知a为实数，则代数式的最小值为（ ）
A．0 B．3 C． D．9
8.（2019 辽宁盘锦中考模拟）方程，当y＝2时，m的取值范围是（ ）
A．350 B． C．O D．m≤2
（二）填空题
1.（2019 天津中考）计算（+1）（﹣1）的结果等于 ．
2.（2019 上海中考）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ．
3.（2019?长春）计算：3﹣＝ ．
2．
4.（2019 山东枣庄中考模拟）函数y=中,自变量x的取值范围是 .
（2019 湖南长沙中考模拟）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则= .
6.（2019 上海中考模拟）方程的根是 ．
7.（2019 上海中考模拟）化简： ．
（2019 河北沧州中考模拟）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
（1）（2）解答题
1.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，实数、在数轴上的位置，化简
2.（2019 河北唐山中考模拟）先化简,再求值：，其中．
（2019 辽宁沈阳中考模拟）计算：
cos45°·(－)－2?－(2－)0＋｜－｜＋
4.（2019 山东淄博中考模拟）（1）已知a+3与2a﹣15是一个正数的平方根，求a的值；
（2）已知x，y为实数，且y＝﹣+4，求的值．
5.（2019 湖南长沙中考模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：
（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果a＝ ，b＝ ；
（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝ + ；
（3）化简：．
6.（2019 河北衡水中考模拟）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．
7.（2019 河北石家庄中考模拟）已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．
8.（2019 河北石家庄中考模拟）在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；
5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
二次根式
【考点1 二次根式的概念和性质】
【解题技巧】
1.判断二次根式有意义的条件：
（1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
（2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
2.二次根式的基本性质：①≥0； a≥0（双重非负性）．②a＝ （a≥0）（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③＝a（a≥0）（算术平方根的意义）
【例1】(2019秋﹒南江县期末）若a>0,则的值为（ ）
A．1 B．-1 C．±1 D．-a
【考点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的性质，对化简，然后代入代数式计算求值．
【解答】解：∵a>0,∴=a．
==-1．
故选：B．
【点评】本题考查的是二次根式的性质和化简，利用二次根式的性质对化简，然后代入代数式计算求值．
【举一反三1-1】(2019春﹒寿县期中）你见过像这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以化简，如：＝＝＝＝
请用上述方法化简：．
【考点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简．【专题】新定义；二次根式．【分析】根据题目给出的方法即可求出答案．
【解答】解：（1）原式＝＝＝
（2）原式＝＝＝
【点评】本题考查二次根式，解题的关键是熟练运用完全平方公式以及二次根式的性质，本题属于中等题型．
【举一反三1－2】（2019?广州）代数式有意义时，x应满足的条件是 ．
【答案】x＞8．
【分析】直接利用分式、二次根式的定义求出x的取值范围．
【解答】解：代数式有意义时，
x﹣8＞0，
解得：x＞8．
故答案为：x＞8．
【举一反三1-3】（2019 台湾中考）若＝2，＝3，则a+b之值为何？（ ）
A．13 B．17 C．24 D．40
【答案】B．
【分析】根据二次根式的定义求出a、b的值，代入求解即可．
【解答】解：∵＝＝2，∴a＝11，
∵＝＝3，∴b＝6，
∴a+b＝11+6＝17．
故选：B．
【举一反三1-4】（2016河北中考）关于的叙述，错误的是（ ）
A．是有理数 B．面积为12的正方形边长是
C．＝2 D．在数轴上可以找到表示的点
【答案】B．
【分析】根据无理数的定义：无理数是开方开不尽的实数或者无限不循环小数或π；由此即可判定选择项．
【解答】解：A、是无理数，原来的说法错误，符合题意；
B、面积为12的正方形边长是，原来的说法正确，不符合题意；
C、＝2，原来的说法正确，不符合题意；
D、在数轴上可以找到表示的点，原来的说法正确，不符合题意．
故选：A．
【举一反三1-5】（2019 山东济南中考模拟）如图，表示的点在数轴上表示时，在哪两个字母之间( )
C与D B．A与B C．A与C D．B与C
【答案】A.
【分析】(1)根据平方根的定义和绝对值的性质分别填空即可；
(2)主要考查数轴，根据数轴上的点利用平方法，估算的大致范围，然后结合数轴上点的位置和大小即可得到的位置．
【解答】(1)是一个正数，它的绝对值大于2；
②它的绝对值小于3；
③2.5的平方是6.25；
故选A
【考点2 二次根式的运算】
【解题技巧】
二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．
2.化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．
3.二次根式运算的结果可以是数或整式，也可以是最简二次根式，如果二次根式的运算结果不是最简二次根式，必须化为最简二次根式．
【例2】（2019 江苏南京中考）计算﹣的结果是 ．
【答案】0．
【分析】先分母有理化，然后把二次根式化为最简二次根式后合并即可．
【解答】解：原式＝2﹣2＝0．
故答案为0．
【举一反三2-1】计算÷的结果是 ．
【答案】3．
【分析】根据二次根式的性质把化简，再根据二次根式的性质计算即可．
【解答】解：．
故答案为：3
【举一反三2-2】（2019 山西中考）下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D．
【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：解：A、，故A不符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、是最简二次根式，故D符合题意．
故选：D．
【举一反三2-3】（2019 天津中考）估计的值在（ ）
A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间
【答案】D．
【分析】由于25＜33＜36，于是＜＜，从而有5＜＜6．
【解答】解：∵25＜33＜36，
∴＜＜，
∴5＜＜6．
故选：D．
【举一反三2-4】（2019?青岛）计算：﹣（）0＝ 2+1 ．
【答案】2+1．
【分析】根据二次根式混合运算的法则计算即可．
【解答】解：﹣（）0＝2+2﹣1＝2+1，
故答案为：2+1．
【举一反三2-5】（2019?广州中考模拟）如图，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（ ）
A B 2 C D
【答案】C
【分析】利割补法求阴影部分的面积.
【解答】 阴影部分的面积5，新正方形的边长为.
故选：C
【达标测试】
（一）选择题
1.（2019 云南中考）要使有意义，则x的取值范围为（ ）
A．x≤0 B．x≥﹣1 C．x≥0 D．x≤﹣1
【答案】B．
【分析】要根式有意义，只要令x+1≥0即可
【解答】解：要使根式有意义
则令x+1≥0，得x≥﹣1
故选：B．
2.（2019 重庆中考）估计（2+6）×的值应在（ ）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
【答案】C．
【分析】先根据二次根式的乘法进行计算，再进行估算．
【解答】解：（2+6）×，
＝2+6，
＝2+，
＝2+，
∵4＜5，
∴6＜2+＜7，
故选：C．
3.（2019?兰州）计算：﹣＝（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】A．
【分析】先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得．
【解答】解：﹣＝2﹣＝，
故选：A．
4.（2019 山东青岛中考模拟）若实数x满足|x﹣3|+＝7，化简2|x+4|﹣的结果是（ ）
A．4x+2 B．﹣4x﹣2 C．﹣2 D．2
【答案】A．
【分析】根据x的取值﹣4≤x≤3以及二次根式的性质，化简绝对值即可得到结果．
【解答】解：∵|x﹣3|+＝7，
∴|x﹣3|+|x+4|＝7，
∴﹣4≤x≤3，
∴2|x+4|﹣
＝2（x+4）﹣|2x﹣6|
＝2（x+4）﹣（6﹣2x）
＝4x+2，
故选：A．
5.（2019 河北衡水中考模拟）化简﹣a的结果是（ ）
A．﹣2a B．﹣2a C．0 D．2a
【答案】A．
【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．
【解答】解：﹣a
＝﹣a﹣a2?
＝﹣a+a
＝0．
故选：C．
6.（2019 河北沧州中考模拟）若（a+）2与|b﹣1|互为相反数，则的值为（ ）
A． B．+1 C．﹣1 D．1﹣
【答案】C．
【分析】根据互为相反数的两个数等于0得出（a+）2+|b﹣1|＝0，推出a+＝0，b﹣1＝0，求出a＝﹣，b＝1，代入求出即可．
【解答】解：∵（a+）2与|b﹣1|互为相反数，
∴（a+）2+|b﹣1|＝0，
∴a+＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣，b＝1，
∴＝＝＝﹣1，
故选：C．
7.（2019 山东青岛中考模拟）已知a为实数，则代数式的最小值为（ ）
A．0 B．3 C． D．9
【答案】B．
【分析】把被开方数用配方法整理，根据非负数的意义求二次根式的最小值．
【解答】解：∵原式＝
＝
＝
∴当（a﹣3）2＝0，即a＝3时
代数式的值最小，为即3
故选：B．
8.（2019 辽宁盘锦中考模拟）方程，当y＝2时，m的取值范围是（ ）
A．350 B． C．O D．m≤2
【答案】C．
【分析】根据两个非负数的和为0，必须都为0，得出4x﹣8＝0，x﹣y﹣m＝0，求出xy的值，代入即可求出m的值．
【解答】解：∵方程，
∴4x﹣8＝0，x﹣y﹣m＝0，
x＝2，m＝y﹣2，
∵y＝2，
∴m＝0，
故选：C．
（二）填空题
1.（2019 天津中考）计算（+1）（﹣1）的结果等于 ．
【答案】2．
【分析】利用平方差公式计算．
【解答】解：原式＝3﹣1
＝2．
故答案为2．
2.（2019 上海中考）如果一个正方形的面积是3，那么它的边长是 ．
【答案】
【分析】根据算术平方根的定义解答．
【解答】解：∵正方形的面积是3，
∴它的边长是．
故答案为：
3.（2019?长春）计算：3﹣＝ ．
【答案】2．
【分析】直接合并同类二次根式即可求解．
【解答】解：原式＝2．
故答案为：2．
4.（2019 山东枣庄中考模拟）函数y=中,自变量x的取值范围是 .
【答案】x≥-且x≠1
【分析】二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0.
【解答】根据题意得 ∴x≥-且x≠1.
故答案是：x≥-且x≠1
（2019 湖南长沙中考模拟）已知a、b为两个连续整数，且a＜＜b，则= .
【答案】5.
【分析】利用估算求二次根式的范围.
【解答】因为2<<3,
所以a=2,b=3,
∴a+b=2+3=5.
故答案是：5
6.（2019 上海中考模拟）方程的根是 ．
【答案】x=5
【分析】求根式中的被开方数中的未知数.乘法法则，乘法公式适合于二次根式.
【解答】两边平方，得2x-1=9.
∴2x=10
∴x=5.
经检验x=5是方程=3的根.
故答案是：x=5
7.（2019 上海中考模拟）化简： ．
【答案】2+
【分析】化简形式通常乘以-,利用平方差公式(+)(-)=a-b.
【解答】原式=
=
=
= 2+.
故答案是：2+
（2019 河北沧州中考模拟）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：
（1）请用不同的方法化简；
（2）化简：．
【答案】（1）﹣（2）．
【分析】（1）分式的分子和分母都乘以﹣，即可求出答案；把2看出5﹣3，根据平方差公式分解因式，最后进进约分即可．
（2）先每一个二次根式分母有理化，再分母不变，分子相加，最后合并即可．
【解答】解：（1）
．
（2）原式＝
＝．
解答题
1.（2019 河北石家庄中考模拟）如图，实数、在数轴上的位置，化简
【分析】=|a|=
【解答】∵-1
∴a-b<0.
∴原式=|a|-|b|-|a-b|
=-a-b+a-b
=-2b.
2.（2019 河北唐山中考模拟）先化简,再求值：，其中．
【分析】结果的分母应不含根号.先化简，再代入求值，化简时把分子、分母进行因式分解.
【解答】当a=-2时，原式=·-
=
=1-2.
（2019 辽宁沈阳中考模拟）计算：
cos45°·(－)－2?－(2－)0＋｜－｜＋
【分析】先把三角函数，负指数、零指数、绝对值及分子分母中的根号等进行化简.
a-p=(a≠0,p为正整数),
【解答】原式=
=2-1+4++1
=7.
4.（2019 山东淄博中考模拟）（1）已知a+3与2a﹣15是一个正数的平方根，求a的值；
（2）已知x，y为实数，且y＝﹣+4，求的值．
【分析】（1）直接利用平方根的定义分析得出答案；
（2）利用二次根式有意义的条件分析得出答案．
【解答】解：（1）根据平方根的性质得，
a+3+2a﹣15＝0，
解得：a＝4，
a+3＝2a﹣15，
解得：a＝18，
答：a的值为4或18；
（2）满足二次根式与有意义，则
，
解得：x＝9，
∴y＝4，
∴＝+＝5．
5.（2019 湖南长沙中考模拟）阅读材料：
小明在学习二次根式的化简后，遇到了这样一个需要化简的式子：．该如何化简呢？思考后，他发现3+2＝1+2+（）2＝（1+）2．于是＝＝1+．善于思考的小明继续深入探索；当a+b＝（m+n）2时（其中a，b，m，n均为正整数），则a+b＝m2+2mn+2n2．此时，a＝m2+2n2，b＝2mn，于是，＝m+n．请你仿照小明的方法探索并解决下列何题：
（1）设a，b，m，n均为正整数且＝m+n，用含m，n的式子分别表示a，b时，结果a＝ ，b＝ ；
（2）利用（1）中的结论，选择一组正整数填空：＝ + ；
（3）化简：．
【分析】（1）利用已知直接去括号进而得出a，b的值；
（2）取m＝2，n＝1，计算a和b的值，利用完全平方公式，变形得出答案；
（3）直接利用完全平方公式，变形化简即可．
【解答】解：（1）由题意得：a+b＝（m+n）2，
∴a+b＝m2+3n2+2mn，
∴a＝m2+3n2，b＝2mn；
故答案为：m2+3n2；2mn；
（2）取m＝2，n＝1，则a＝m2+3n2＝7，b＝2mn＝4，
7+4＝（2+）2；
故答案为：；
（3）＝＝+1．
6.（2019 河北衡水中考模拟）已知a、b、c为△ABC的三边长，化简：+．
【分析】直接利用三角形三边关系得出a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，进而化简得出答案．
【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三边长，
∴a+b﹣c＞0，b﹣c﹣a＜0，
∴原式＝a+b﹣c﹣（b﹣c﹣a）
＝2a．
7.（2019 河北石家庄中考模拟）已知|2018﹣m|+＝m，求m﹣20182的值．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件分别分析得出答案．
【解答】解：∵m﹣2019≥0，
∴m≥2019，
∴2018﹣m≤0，
∴原方程可化为：m﹣2018+＝m，
∴＝2018，
∴m﹣2019＝20182，
∴m﹣20182＝2019．
8.（2019 河北石家庄中考模拟）在学习了二次根式的相关运算后，我们发现一些含有根号的式子可以表示成另一个式子的平方，如：
3+2＝2+2+1＝（）2+2+1＝（+1）2；
5+2＝2+2+3＝（）2+2××+（）2＝（+）2
（1）请仿照上面式子的变化过程，把下列各式化成另一个式子的平方的形式：
①4+2；②6+4
（2）若a+4＝（m+n）2，且a，m，n都是正整数，试求a的值．
【分析】（1）根据完全平方公式求出即可；
（2）先根据完全平方公式展开，再求出m、n的值，再求出a即可．
【解答】解：（1）4+2＝3+2+1
＝（）2+2×+12
＝（+1）2；
6+4
＝4+4+2
＝22+2×2×+（）2
＝（2+）2；
（2）∵a+4＝（m+n）2，
∴a+4＝m2+2mn+3n2，
∴a＝m2+3n2，2mn＝4，
∴mn＝2，
∵m，n都是正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2；
当m＝2，n＝1时，a＝22+3×12＝7；
当m＝1，n＝2时，a＝12+3×22＝13；
即a的值是7或13．
