18.1.1 平行四边形的性质学案（含答案）

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18.1平行四边形
知识点1 平行四边形的概念
例1 如图所示，若AB∥EG，EF∥BC，AC∥FG，则图中有几个平行四边形？将它们表示出来，并说明理由.

【分析】由平行四边形的定义可知，只要找出两组对边平行的四边形即可.
解：图中有三个平行四边形：□ABCE，□AFBC，□ABGC.
理由如下：∵AB∥EG，EF∥BC，
∴四边形ABCE是平行四边形.
同理可证四边形AFBC和四边形ABGC也都是平行四边形.
【点评】此题是开放性问题，解题关键是根据平行四边形的定义找全所有符合条件的平行四边形.
练1 如图，在中，EF∥AB，GH∥AD，图中共有__个平行四边形？

知识点2 平行四边形的性质
考向1利用平行四边形的性质判断边角关系
例1 如图所示，在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A.∠1＝∠2 B.∠BAD＝∠BCD C.AB＝CD D.AC⊥BD

D【解析】在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴∠1＝∠2，故A选项正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD，AB＝CD，故B,C选项正确；无法得出AC⊥BD，故D选项错误，故选D.
【点评】 此题主要考查了平行四边形的性质，熟练掌握相关的性质是解题的关键.
考向2利用平行四边形的性质求三角形或平行四边形的周长
例2 如图，?ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB＝4，BC＝5，OE＝1.5，那么四边形EFCD的周长为（　　）

A．16 B．14
C．12 D．10
【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD＝AB＝4，AD＝BC＝5．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得：OF＝OE＝1.5，CF＝AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD＝12．
C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD＝AB＝4，AD＝BC＝5，OA＝OC，AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，∠AEO＝∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF＝OE＝1.5，CF＝AE，
故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC＝CD+EF+AE+ED＝CD+AD+EF＝4+5+1.5×2＝12．故选：C．
练2 如图，已知平行四边形ABCD的周长为28，对角线AC，BD相交于点O．点E是CD的中点，BD＝8，则△DOE的周长为　　．

练3 如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC，交AD于点E，AB＝3cm，ED＝1cm，则平行四边形ABCD的周长是　　．

考向3利用平行四边形的性质证明线段相等
例3如图，在?ABCD中，AE＝CG，求证：GF＝HE．

【分析】证明四边形AGCE是平行四边形，得出AG∥CE，证明四边形BEDG是平行四边形，得出BE∥DG，证出四边形EFGH是平行四边形，即可得出结论．
证明：在?ABCD中，AD∥CB，AD＝CB，
∵AE＝CF，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AG∥CE，∴DE＝DF，
∴四边形BEDG是平行四边形，
∴BE∥DG，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴GF＝HE．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键．
练4 已知：如图，点E、F分别为?ABCD的边BC、AD上的点，且∠1＝∠2，求证：AE＝CF．




练5 如图，?ABCD中，E、F在AC上，四边形DEBF是平行四边形，求证：AE＝CF．





考向4利用平行四边形的性质证明角相等
例4已知：如图，在?ABCD中，E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF．
求证：∠ADF＝∠CBE．

【分析】可以把结论涉及的角∠ADF，∠CBE放到，△ADF和△CBE中，证明三角形全等，围绕平行四边形的性质找全等的条件，其中AF＝AE+EF，CE＝CF+EF，故AF＝CE．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝CB．
∴∠DAF＝∠BCE．
∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF．
∴AF＝CE．
在△ADF和△CBE中，
，
∴△ADF≌△CBE．
∴∠ADF＝∠CBE．
【点评】三角形全等的判定、平行四边形的性质是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
练6 平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF．




知识点3 两条平行线之间的距离
例3 在同一平面内，设a、b、c是三条互相平行的直线，已知a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，则a与c的距离为（　　）
A．1cm B．3cm
C．5cm或3cm D．1cm或3cm
【分析】分类讨论：当直线c在a、b之间或直线c不在a、b之间，然后利用平行线间的距离的意义分别求解．
解：当直线c在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离＝4﹣1＝3（cm）；
当直线c不在a、b之间时，
∵a、b、c是三条平行直线，
而a与b的距离为4cm，b与c的距离为1cm，
∴a与c的距离＝4+1＝5（cm），
综上所述，a与c的距离为5cm或3cm．故选：C．
【点评】本题考查了平行线之间的距离，从一条平行线上的任意一点到另一条直线作垂线，垂线段的长度叫两条平行线之间的距离．平行线间的距离处处相等．注意分类讨论．
练7 如图，a∥b，点P在直线a上，点A，B，C都在直线b上，PA⊥AC，且PA＝2cm，PB＝3cm，PC＝4cm，则直线a，b间的距离为　　cm．

练 8如图，已知S△ABC＝S△ABD，求证：AB∥CD．





18.1平行四边形
练1 9练2 11练3 14cm　．
练4 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，∠B＝∠D，
在△ABE和△CDF中，，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF．
练5 证明：如图，连接BD，交AC于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，四边形DEBF是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴OA﹣OE＝OC﹣OF，∴AE＝CF．

练6 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AB＝CD，
∴∠ABE＝∠CDF；
又∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴∠AEB＝∠CFD＝90°；
∴Rt△ABE≌Rt△CDF．
∴∠BAE＝∠DCF．
练7 2
练 8证明：过点C作CE⊥AB，过点D作DF⊥AB，
∵S△ABC＝S△ABD，AB是△ABC和△ABD的底边，
∴CE＝DF，
∴四边形CEFD是平行四边形，
∴AB∥CD．
















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