18.2.1 矩形学案（含答案）

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18.2特殊的平行四边形
知识点1矩形的定义和性质
考向1矩形的四个角都是直角
例1-1 在矩形ABCD中，AC与BD交于点O，如果∠AOB＝60°，则AB：AC＝　　．
【分析】根据矩形对角线的性质可推出△ABO为等边三角形，得出∠OAB＝60°，得出∠ACB＝30°，得出BCAB，即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AOAC，BOBD，
∠AB＝90°，∴AO＝BO，
又∵∠AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，
∴∠OAB＝60°，∴∠ACB＝30°，
∴BCAB，∴AB：AC＝1：；
故答案为：．

【点评】本题考查的是矩形的性质以及等边三角形的判定和性质，熟记矩形的性质，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．
练1矩形ABCD的面积为48，一条边AB的长为6，则矩形的对角线BD的值（ ）．
A. 10 B .8 C. 6 D .12

练2如图，在矩形ABCD中，点E在BC上，且AE平分∠BAC，若BE＝4，AC＝15，则△AEC的面积为　 　．

考向2矩形的对角线相等
例1-2 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，对角线AC、BD相交于点O，则△AOB的周长是　 　．

【分析】由题意根据勾股定理求出AC＝BD＝5，即可得到OA＝OB＝2.5，即可得出结果．
8【解析】∵矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝BD5，∴OA＝OB＝2.5，
∴△AOB的周长＝3+2.5+2.5＝8，
故答案为：8．
【点评】本题考查了矩形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的性质是关键．
练3 矩形具有一般平行四边形不具有的性质是(　　)
A．对边相互平行 B．对角线相等
C．对角线相互平分 D．对角相等
练4 如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2

练5 矩形的一条对角线长10 cm，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为______cm.
考向3 直角三角形斜边中线的性质
例1-3如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D在BC延长线上，且ADBC，若∠D＝40°，则∠B＝（　　）

A．10° B．20° C．30°D．40°
【分析】取BC的中点E，连接AE，根据直角三角形的性质得到AEBC＝BE，根据等腰三角形的性质，三角形外角的性质计算．
B【解析】取BC的中点E，连接AE，
∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，
∴AEBC＝BE，∴∠B＝∠EAB，
∵ADBC，∴AE＝AD，
∴∠AED＝∠D＝40°，∴∠B＝20°，
故选：B．

【点评】本题考查的是直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．
练6 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为（　　）

A．20 B．12 C．14 D．13
练7 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为______.

练8已知，如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点．
（1）求证：MN⊥BD；
（2）在边AD上能否找到一点P，使得PB＝PD？请说明理由．





考向4利用矩形的性质计算线段的长度和角度
例1-4如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠BAC＝40°，则∠E的度数是（　　）

A．65oB．60o C．50oD．40°
【分析】连接BD，依据矩形的性质，即可得到∠ABD＝40°，∠DBE＝50°，再根据AC＝BD，AC＝BE，即可得出BD＝BE，进而得到∠E的度数．
A【解析】如图，连接BD，
∵矩形ABCD中，∠BAC＝40°，OA＝OB，
∴∠ABD＝40°，∠DBE＝90°﹣40°＝50°，∵AC＝BD，AC＝BE，∴BD＝BE，
∴△BDE中，∠E（180°﹣∠DBE）（180°﹣50°）＝65°，故选：A．

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及等腰三角形的判定与性质，利用矩形的对角线相等是解决问题的关键．
练9如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，∠CAE＝15°，则∠AOE的度数为（　　）

A．120° B．135°
C．145° D．150°
练10如图，在矩形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，取EF的中点G，连接CG，BG．
（1）求证：△DCG≌△BEG；
（2）你能求出∠BDG的度数吗？若能，请写出计算过程；若不能，请说明理由．







知识点2 矩形的判定
考向1有一个角是直角的平行四边形是矩形．
例2-1如图，已知MN∥PQ，EF与MN，PQ分别交于A、C两点，过A、C两点作两组内错角的平分线，分别交于点B、D，则四边形ABCD是　．

【分析】首先推出∠BAC＝∠DCA，继而推出AB∥CD；推出∠BCA＝∠DAC，进而推出AD∥CB，因此四边形ABCD平行四边形，再证明∠ABC＝90°，可得平行四边形ABCD是矩形．
矩形【解析】∵MN∥PQ，
∴∠MAC＝∠ACQ、∠ACP＝∠NAC，
∵AB、CD分别平分∠MAC和∠ACQ，
∴∠BAC∠MAC、∠DCA∠ACQ，
又∵∠MAC＝∠ACQ，∴∠BAC＝∠DCA，
∴AB∥CD，
∵AD、CB分别平分∠ACP和∠NAC，
∴∠BCA∠ACP、∠DAC∠NAC，又∵∠ACP＝∠NAC，∴∠BCA＝∠DAC，
∴AD∥CB，又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD平行四边形，
∵∠BAC∠MAC，∠ACB∠ACP，
又∵∠MAC+∠ACP＝180°，
∴∠BAC+∠ACP＝90°，∴∠ABC＝90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
故答案为：矩形．

【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握有一个角是直角的平行四边形是矩形，难度不大，重点考查基本定理的应用．
练11如图，在?ABCD中，请添加一个条件：　　，使得?ABCD成为矩形．

练12如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝60°，AD＝6，且AD⊥BD于点D，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE＝CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当BE为何值时，四边形DEBF是矩形？









考向2 对角线相等的平行四边形是矩形．
例2-2 在△ABC中，CO为AB边上的中线，且OCAB，以点O为圆心，OC长为半径画圆，延长CO交⊙O于点D，连结AD，BD，则四边形ADBC是（　　）
A．正方形B．矩形
C．菱形D．邻边相等的四边形
【分析】根据题意画出图形，根据对角线互相平分的四边形为平行四边形可得四边形ACBD是平行四边形，然后证明AB＝CD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可得四边形ADBC为矩形．
B【解析】如图：∵延长CO交⊙O于点D，∴DO＝CO，∵CO为AB边上的中线，
∴AO＝BO，∴四边形ACBD是平行四边形，
∵OCAB，∴AB＝CD，
∴四边形ADBC为矩形，故选：B．

【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握对角线相等的平行四边形是矩形．
练13如图，若要使?ABCD成为矩形，需添加的条件是（　　）

A．AB＝BC B．∠ABD＝∠DBC
C．AO＝BO D．AC⊥BD
练14如图，在△ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE、BF．当∠ACB为　　度时，四边形ABFE为矩形．

练15 如图，AC是?ABCD的对角线，延长BA至点E，使AE＝AB，连接DE
（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；
（2）连接EC交AD于点O，若∠EOD＝2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．





考向3 有三个角是直角的四边形是矩形．
例2-3下列命题正确的是（　　）
A．有一个角是直角的四边形是矩形
B．有三个角是直角的四边形是矩形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．对角线互相平分的四边形是矩形
B【解析】A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；
B、有三个角是直角的四边形是矩形，能判定是矩形；
C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；
D、两条对角线互相平分四边形是平行四边形，故此选项不能判定是矩形．
故选：B．
【点评】此题主要考查了对矩形定义和判定的理解．矩形的判定定理有：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）有三个角是直角的四边形是矩形．（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形．
练16木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面　　（填“合格”或“不合格”）．
练17 已知：点D是△ABC边BC上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F．
（1）若∠B＝∠C，BF＝CE，求证：△BFD≌△CED．
（2）若∠B+∠C＝90°，求证：四边形AEDF是矩形．

















18.2特殊的平行四边形
练1A练230练3 B练4 C练5 5练6 C练7 14
练8（1）证明：如图，连接BM、DM．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，
∴BM＝DMAC，∵点N是BD的中点，
∴MN⊥BD．
（2）解：能．理由：延长NM交AD于P，
∵MN是线段BD的垂直平分线，∴PD＝PB．

练9B
练10（1）证明：∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE＝45°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，∠AEB＝45°，∵AB＝CD，
∴BE＝CD，∵∠CEF＝∠AEB＝45°，
∠ECF＝90°，∴△CEF是等腰直角三角形，
∵点G为EF的中点，
∴CG＝EG，∠FCG＝45°，
∴∠BEG＝∠DCG＝135°，
在△DCG和△BEG中，
，∴△DCG≌△BEG（SAS）．
（2）解：∵△DCG≌△BEG，
∴∠DGC＝∠BGE，
∴∠BGD＝∠EGC＝90°，∵DG＝BG，
∴∠BDG＝45°．
练11∠A＝90°
练12（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD∵AE＝CF，
∴DF＝BE，∵DF∥BE，
∴四边形DEBF为平行四边形；
②解：当BE＝9时，∴四边形DEBF为矩形．理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，
∴∠DEA＝90°，∵∠A＝60°，
∴∠ADE＝30°，
在Rt△ADE中，∠ADE＝30°，
∴，∵AD⊥DB，
∴∠ADB＝90°
在Rt△ADB中，∠A＝60°，∠ABD＝30°，AB＝2AD＝12，
∴BE＝AB﹣AE＝12﹣3＝9，
∴当BE＝9时，∠DEB＝∠DEA＝90°，
即平行四边形DEBF是矩形．

练13 C
练14　60　
练15 证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，
∵AE＝AB，∴AE＝CD，且AB∥CD，
∴四边形ACDE是平行四边形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠ADC，∵∠EOD＝2∠B
∴∠EOD＝2∠ADC，
且∠EOD＝∠ADC+∠OCD，
∴∠ADC＝∠OCD，∴OC＝OD，
∵四边形ACDE是平行四边形；
∴AO＝DO，EO＝CO，且OC＝OD，
∴AD＝CE，∴四边形ACDE是矩形．
练16合格
练17 （1）∵点D是△ABC边BC上的中点
∴BD＝CD
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点E、F∴∠BFD＝∠DEC＝90°
∵BD＝CD，∠BFD＝∠DEC，BF＝CE
∴△BFD≌△CED（SAS）
（2）∵∠B+∠C＝90°，∠A+∠B+∠C＝180°∴∠A＝90°
∵∠BFD＝∠DEC＝90°
∴∠A＝∠BFD＝∠DEC＝90°
∴四边形AEDF是矩形






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