18.2.2 菱形学案（含答案）

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18.2特殊的平行四边形
知识点1菱形的定义和性质
考向1菱形的四条边相等
例1-1如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（　　）

A．25 B．20
C．15 D．10
【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据菱形对角线性质可求∠BAC＝60°，而AB＝BC＝AC，易证△BAC是等边三角形，结合△ABC的周长是15，从而可求AB＝BC＝5，那么就可求菱形的周长．
B【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴AB＝BC＝CD＝AD，
∠BAC＝∠CAD∠BAD，
∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形，
∵△ABC的周长是15，∴AB＝BC＝5，
∴菱形ABCD的周长是20．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．
练1如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，F点是AC的中点，连接EF．如果EF＝4，那么菱形ABCD的周长为（　　）

A．9 B．12
C．24 D．32
练2如图，在菱形ABCD中，已知∠A＝60°，BD＝5，则菱形ABCD的周长是____

考向2菱形的对角线互相垂直
例1-2如图，菱形ABCD的周长为48cm，它的一条对角线BD长12cm．
（1）求菱形的每一个内角的度数．
（2）求菱形另一条对角线AC的长．

【分析】（1）利用已知条件和菱形的性质已知△ABD是等边三角形，所以可求出∠BAD的度数，进而可求出菱形其他内角的度数；
（2）利用勾股定理可求出OA的长，因为AC＝2OA，所以AC可求出．
解：（1）在菱形ABCD中，AB＝AD＝BD＝12，∴△ABD为等边三角形，
∴∠BAD＝∠BCD＝60°，
∴∠ABC＝∠ADC＝120°；
（2）在菱形ABCD中，AC⊥BD，OD＝6，
∴OA6，
∴AC＝2OA＝12cm．
练3如图，在菱形ABCD中，BD，∠BAD＝120°，则菱形ABCD的周长是（　）

A．20 B．18
C．16 D．15
练4在菱形ABCD中，O为对角线AC与BD的交点，AC＝12cm，BD＝16cm，若E为BC中点，连接OE，则OE＝　　．

考向3应用菱形的性质求菱形的面积或高
例1-3已知菱形ABCD的对角线相交于点O，若AC＝8，AB＝5，则菱形的高为（　　）
A．3 B．
C．4 D．
【分析】由四边形ABCD是菱形，AC＝8，AB＝5，即可得AC⊥BD，OAAC＝4，然后由勾股定理求得BO的长，又由S菱形ABCD＝AC?BD＝BC?AE，即可求得答案．
B【解析】∵四边形ABCD是菱形，AC＝8，AB＝5，∴AC⊥BD，OAAC＝4，OB3，
∴BD＝2OB＝6，
∵S菱形ABCDAC?BD＝BC?AE，
∴6×8＝5×AE，∴AE．
故选：B．

【点评】此题考查了菱形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
练22如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AO＝3，∠ABC＝60°，则菱形ABCD的面积是　　．

练5如图，四边形ABCD是菱形，AC＝12，BD＝16，AH⊥BC于H，则AH等于（　　）

A． B．
C．4 D．5
练24如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD．求：
（1）两条小路的长度；
（2）菱形花坛的面积．（结果保留根号）








知识点2菱形的判定
考向1 一组邻边相等的平行四边形是菱形．
例2-1已知：△ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE∥AC交BC于E，DF∥BC交AC于F．求证：四边形DECF是菱形．

【分析】因为DE∥AC，DF∥BC，所以四边形DECF为平行四边形，再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形求证即可．
证明：∵DE∥AC，DF∥BC
∴四边形DECF为平行四边形
∴AC∥DE，∴∠2＝∠3
又∵CD平分∠ACB交AB于D，
∴∠1＝∠2∴∠1＝∠3
∴DE＝EC∴DECF为菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．

【点评】本题考查菱形的判定．菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义；②四边相等；
③对角线互相垂直平分．
练6如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DCE，当△ABC满足条件　　时（填一个条件），能够判定四边形ACED为菱形．

练7在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证四边形AEDF是菱形．





考向2 对角线互相垂直的平行四边形是菱形
例2-2已知：如图，在?ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB，OA＝2，OB＝1，求证：?ABCD是菱形．

【分析】根据利用勾股定理的逆定理可证明∠AOB＝90°，得出AC⊥BD，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可得解．
证明：在△AOB中，AB，OA＝2，OB＝1，∴AO2+OB2＝22+1＝5，
又∵AB2＝（）2＝5，∴AO2+OB2＝AB2，
∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴?ABCD是菱形．
【点评】此题主要考查了菱形的判定，平行四边形的性质以及勾股定理逆定理的应用，关键是根据AB、AO、BO的长度证明∠AOB＝90°．
练8下列条件中，能判断四边形是菱形的是（　　）
A．对角线互相平分且垂直的四边形
B．对角线互相垂直的四边形
C．对角线互相垂直且相等的四边形
D．对角线相等的平行四边形
练9将一张矩形纸片对折，如图所示，然后沿着图中的虚线剪下，得到①、②两部分，将①展开后得到的平面图形是_____

练10如图，在三角形纸片ABC中，AD平分∠BAC，将△ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F，连接DE、DF．求证：四边形AEDF是菱形．






考向3 四条边相等四边形是菱形
例2-3如图，四边形ABCD中，对角线相交于点O，E、F、G、H分别是AD、BD、BC、AC的中点，要使四边形EFGH是菱形，则四边形ABCD需满足的条件是（　　）

A．AB＝AD B．AC＝BD
C．AD＝BC D．AB＝CD
【分析】由点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，根据三角形中位线的性质，可得EF＝GHAB，EH＝FGCD，又由当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，即可求得答案．
D【解析】∵点E、F、G、H分别是任意四边形ABCD中AD、BD、BC、CA的中点，
∴EF＝GHAB，EH＝FGCD，
∵当EF＝FG＝GH＝EH时，四边形EFGH是菱形，
∴当AB＝CD时，四边形EFGH是菱形．
故选：D．



【点评】此题考查了中点四边形的性质、菱形的判定以及三角形中位线的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
练11 如图，已知△ABC，AB＝AC，将△ABC沿边BC翻转，得到的△DBC与原△ABC拼成四边形ABDC，则能直接判定四边形ABDC是菱形的依据是（　）

A．一组邻边相等的平行四边形是菱形
B．四条边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．对角线互相平分的平行四边形是菱形
练12 如图，AC＝8，分别以A、C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D．依次连接A、B、C、D，连接BD交AC于点O．
（1）判断四边形ABCD的形状并说明理由；
（2）求BD的长．








练1D练2 20练3A练45cm　．练518练6B
练7解：（1）∵花坛ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AC＝2AO，BD＝2BO，∠ABO∠ABC60°＝30°，
∴Rt△ABO中，AOAB20＝10m，
∴BO10cm，
∴AC＝2AO＝20m，BD＝2BO＝20m；
（2）S菱形ABCDAC?BD20×20200m2．
答：菱形花坛的面积是200m2．
练8AC＝BC　
练9证明∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形是平行四边形．
又∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴AB＝AC，∴AE＝AF，
∴平行四边形AEDF是菱形．
练10A
练11 菱形

练12证明：∵AD平分∠BAC
∴∠BAD＝∠CAD又∵EF⊥AD，
∴∠AOE＝∠AOF＝90°
∵在△AEO和△AFO中
，
∴△AEO≌△AFO（ASA），∴EO＝FO
又∵A点与D点重合，∴AO＝DO，
∴EF、AD相互平分，
∴四边形AEDF是平行四边形
∵点A与点D关于直线EF对称，
∵EF⊥AD，
∴平行四边形AEDF为菱形．
练13B
练14 解：（1）四边形ABCD为菱形；
由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，
所以四边形ABCD为菱形；
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，OB3，
∴BD＝2OB＝6．

















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