18.2.3 正方形学案（含答案）

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18.2特殊的平行四边形
知识点1 正方形的定义和性质
例1如图，在正方形ABCD中，以AB为边在正方形内作等边△ABE，连接DE，CE，则∠CED的度数为　　．

【分析】由正方形和等边三角形的性质得出AE＝AD＝BE＝BC，∠DAE＝∠CBE＝30°，求出∠ADE＝∠BCE＝75°，再求出∠EDC＝∠ECD＝15°，即可得出∠CED．
150°【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD＝DA，
∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE＝BE，∠BAE＝∠ABE＝60°，∴AE＝AD＝BE＝BC，∠DAE＝∠CBE＝30°，
∴∠ADE＝∠BCE（180°﹣30°）＝75°，∴∠EDC＝∠ECD＝15°，
∴∠CED＝180°﹣15°﹣15°＝150°．
故答案为：150°．
【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角形内角和定理；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
练1如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为(　　)
A．14 B．15
C．16 D．17

练2 如图，正方形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB＝2，试求图中阴影部分的面积为___

练3如图，正方形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠OCF＝∠OBE.求证：OE＝OF.



知识点2 正方形的判定
考向1 有一个角为90°的菱形是正方形
例2-1如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到F，使得EFBC，连接AF，CF．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）请给△ABC添加一个条件，使得四边形ADCF是正方形，则添加的条件为　　．

【分析】（1）利用菱形和平行四边形的判定得出即可；（2）根据当菱形内角是90°则是正方形，进而得出答案．
（1）证明：∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DEBC，DE∥BC，又∵EFBC，
∴E是DF的中点，
又∵E为线段AC的中点，
∴四边形ADCF是平行四边形．
∵∠ACB＝90°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，∴AC⊥FD，
∴平行四边形ADCF是菱形．
（2）添加的条件为：CA＝CB，
∵CA＝CB，AD＝DB，∴CD⊥AB，
∴∠CDA＝90°，∵ADCF是菱形，
∴ADCF是正方形．故答案为：CA＝CB．

【点评】此题主要考查了平行四边形、菱形、正方形的判定，正确区分它们是解题关键．
练4 如图，O为矩形ABCD对角线的交点，DE∥AC，CE∥BD
（1）判断四边形OCED是什么特殊四边形？并证明你的结论
（2）当AB、AD满足什么条件时，四边形OCED是正方形？请说明理由．







练5如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．







考向2 有一组邻边相等的矩形是正方形
例2-2已知：如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC，∠ABC的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：四边形CEDF是正方形．

【分析】过D作DG垂直AB于点G，由三个角为直角的四边形为矩形得到四边形CEDF为矩形，由AD为角平分线，利用角平分线定理得到DG＝DF，同理得到DE＝DG，等量代换得到DE＝DF，利用邻边相等的矩形为正方形即可得证．
证明：如图所示，过点D作DG⊥AB于点G.
∵DF⊥AC，DE⊥BC，
∴∠DFC＝∠DEC＝90°.又∠C＝90°，
∴四边形CEDF是矩形．
∵AD平分∠BAC，DF⊥AC，DG⊥AB，∴DF＝DG.
同理可得DE＝DG.∴DE＝DF.
∴四边形CEDF是正方形．
【点评】此题考查了正方形的判定，以及角平分线定理，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键．
练6已知：如图，点D是△ABC中BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是点EF，且BF＝CE．
（1）求证：Rt△BDF≌Rt△CDE
（2）问：△ABC满足什么条件时，四边形AEDF是正方形，并说明理由．






练7如图，点D是线段AB的中点，点C是线段AB的垂直平分线上的任意点，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F．
（1）求证：CE＝CF；
（2）线段CD与AB满足什么数量关系时，四边形CEDF成为正方形？请说明理由．



















18.2特殊的平行四边形
练1C练2 1
练3证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，OB＝OC.
∴∠AOB＝∠BOC＝90°.又∵∠OBE＝∠OCF，∴△OBE≌△OCF.∴OE＝OF.
练4 解：（1）四边形OCED是菱形，理由如下：
∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
又∵在矩形ABCD中，OC＝OD，
∴四边形OCED是菱形；
（2）当AB＝AD时，四边形OCED是正方形，理由如下：
∵AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∴菱形OCED是正方形．

练5证明：∵BF∥CE，CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.
又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，
∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.
∴∠EBC＝∠ECB.
∴EB＝EC.
∴平行四边形BECF是菱形．
在△EBC中，
∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，
∴∠BEC＝90°.
∴菱形BECF是正方形．
练6（1）证明：∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴∠BDF＝∠CED＝90°
∵点D是△ABC中BC边上的中点，
∴BD＝CD，在Rt△BDF和Rt△CDF中，，∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL）；
（2）解：当△ABC满足∠A＝90°（答案不唯一）时，四边形AEDF是正方形；理由如下：∵∠BDF＝∠CED＝90°，∠A＝90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴DE＝DF，
∴四边形AEDF是正方形．
练7（1）证明：∵CD垂直平分线AB，
∴AC＝CB．∴△ABC是等腰三角形，
∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠BCD．
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴∠DEC＝∠DFC＝90°
∴∠EDC＝∠FDC，
在△DEC与△DFC中，，
∴△DEC≌△DFC（ASA），∴CE＝CF；
（2）解：当CDAB时，四边形CEDF为正方形．理由如下：
∵CD⊥AB，∴∠CDB＝∠CDA＝90°，
∵CDAB，∴CD＝BD＝AD，
∴∠B＝∠DCB＝∠ACD＝45°，
∴∠ACB＝90°，∴四边形ECFD是矩形，
∵CE＝CF，∴四边形ECFD是正方形．
















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