18.2 特殊的平行四边形专题学案1（含答案）

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特殊四边形专题
专题1 特殊平行四边形间的关系的4种综合应用
应用1 菱形与矩形的综合应用
例1 过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF．
（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB＝3，∠DCF＝30°，求EF的长．

解：（1）由矩形ABCD可知：∠FAO＝∠ECO，
AO＝CO，
在△AOF与△COE中，，
∴△AOF≌△COE（ASA），∴OE＝OF，
∴四边形AECF是平行四边形，∵EF⊥AC，∴四边形AECF是菱形；
（2）∵∠DCF＝30°，AB＝CD＝3，∴∠FCE＝60°，CE＝2
∵CF＝CE，∴△EFC是等边三角形，∴EF＝2；
【点评】本题考查矩形的性质，解题的关键是熟练运用矩形的性质以及含30度的直角三角形的性质．
练 1如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF＝．
（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求线段EF的长．










应用2 菱形与正方形的综合应用
例2 如图，在△ABC中，AC＝BC＝6，∠ACB＞90°，∠ABC的平分线交AC于点D，E是AB上点，且BE＝BC，CF∥ED交BD于点F，连接EF，ED．
（1）求证：四边形CDEF是菱形；
（2）当∠ACB＝　　度时，四边形CDEF是正方形，请给予证明；并求此时正方形的边长．

【点拨】（1）由等腰三角形的性质可得EO＝CO，BD⊥CE，由线段垂直平分线的性质可得EF＝FC，DE＝CD，由“AAS”可证△DOE≌△FOC，可得DE＝CF，则结论可得；
（2）由等腰三角形的性质，菱形的性质可求∠FCD＝2∠ACE＝90°，可得四边形CDEF是正方形，由直角三角形的性质可求正方形的边长．
证明：（1）如图，连接EC，交BD于点O

∵BE＝BC，BD平分∠ABC∴EO＝CO，BD⊥CE
∴EF＝FC，DE＝CD，∵CF∥DE∴∠DFC＝∠FDE，且EO＝CO，∠FOC＝∠DOE
∴△DOE≌△FOC（AAS）∴DE＝CF∴EF＝FC＝CD＝DE∴四边形EFCD是菱形
（2）当∠ACB＝120度时，四边形CDEF是正方形，理由如下：∵∠ACB＝120°，
BC＝AC∴∠ABC＝∠BAC＝30°∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝15°，且BD⊥EC
∴∠BCO＝75°∴∠ACE＝45°，∵四边形EFCD是菱形∴∠FCD＝2∠ACE＝90°
∴四边形CDEF是正方形，∴∠ADE＝90°如图，过点C作CP⊥AB于点P，

∵BC＝AC＝6，∠ABC＝30°，CP⊥AB∴CP＝3，BPCP＝3，AB＝2BP＝6，
∴AE＝AB﹣BE＝66∵∠A＝30°，∠ADE＝90°∴DEAE＝33
【点评】本题考查了正方形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．
练2 如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A,D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.
(1)求证:△PDE≌△QCE;
(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连接AF,当PB＝PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.












应用3 矩形与正方形的综合应用
例3 如图，在矩形ABCD中，M是对角线AC上的一个动点（M与A、C点不重合），作ME⊥AB于E，MF⊥BC于F．
（1）试说明四边形EBFM是矩形；
（2）连接BM、当点M运动到使∠ABM为何值时，矩形EBFM为正方形？请写出你的结论．

【分析】（1）因为矩形ABCD中，ME⊥AB，MF⊥BC，所以在四边形EBFM中有三个角为直角，由矩形的判定方法可得四边形EBFM是矩形；（2）当点M运动到使∠ABM＝45°时，矩形EBFM为正方形．
解：（1）∵ABCD矩形，∴∠B＝90°，∵ME⊥AB，MF⊥BC，
∴∠E＝90°，∠F＝90°，∴四边形EBFM是矩形；
（2）当点M运动到使∠ABM＝45°时，矩形EBFM为正方形．∵EBFM为矩形，∠B＝90°，
∵∠ABM＝45°，∴∠EMB＝45°，∴EB＝EM∴矩形EBFM为正方形．

【点评】本题主要考查矩形和正方形的判定方法．有三个角是直角的四边形是矩形．一组邻边相等的矩形是正方形．
练3 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且DE∥AC，DF∥AB．
（1）如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是　　形；
（2）若四边形AEDF是正方形，则△ABC中需满足　 　．










应用4 菱形、矩形、正方形的综合应用
例4如图．已知矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AD＝2AB，过点O的直线与矩形的边AD，BC分别交于两点E、F．随着E、F两点的位置的改变，以A、B、C、D、E、F中的四点为顶点构成的四边形，能构成：①正方形的有2个，②矩形的有2个，③菱形有4个，④平行四边形有无数个．以上四个结论中正确的有（填序号）　 　．

解：图1中，因为AD＝2AB，当AE＝ED时，四边形ABFE、四边形EFCD是正方形，故能够形成两个正方形①正确，四边形AFCE、四边形EBFD是菱形，故③正确（包括前面两个正方形）．由图1、图2可知能够形成5个矩形故②错误，当点E不是中点时，四边形AFCE是平行四边形，所以平行四边形有无数个，故④正确．故答案为①③④．

【点评】本题考查矩形、正方形、菱形、平行四边形的判定，从特殊位置思考问题，是解决问题的关键，记住正方形既是特殊的菱形也是特殊的矩形，这个是易错的地方．
练4如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：
①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；
③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．其中，正确的有　 　（只填写序号）



特殊四边形专题（答案）
练 1（1）证明：∵在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝2，
∴CD＝AB＝4，AD＝BD＝2，CD∥AB，∠D＝∠B＝90°，
∵BE＝DF＝，∴CF＝AE＝4﹣＝，∴AF＝CE＝＝，
∴AF＝CF＝CE＝AE＝，∴四边形AECF是菱形；
（2）解：过F作FH⊥AB于H，则四边形AHFD是矩形，

∴AH＝DF＝，FH＝AD＝2，∴EH＝﹣＝1，∴EF＝＝＝．
练2 (1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠D＝∠BCD＝90°,∴∠ECQ＝90°＝∠D.∵E是CD的中点,∴DE＝CE,又∵∠DEP＝∠CEQ,∴△PDE≌△QCE;
(2)①证明:如图,由(1)得△PDE≌△QCE,∴PE＝QE＝PQ,又∵EF∥BC,∴PF＝FB＝PB,∵PB＝PQ,∴PF＝PE,∴∠1＝∠2,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD＝90°,在Rt△ABP中,F是PB的中点,∴AF＝BP＝FP,∴∠3＝∠4,∵AD∥BC,EF∥BC,∴AD∥EF,∴∠1＝∠4,∴∠2＝∠3,又∵PF＝FP,∴△APF≌△EFP,∴AP＝EF,又∵AP∥EF,∴四边形AFEP是平行四边形.
②四边形AFEP不是菱形,理由如下:设PD＝x,则AP＝1－x,由(1)可知△PDE≌△QCE,∴CQ＝PD＝x,∴BQ＝BC+CQ＝1+x,∵点E,F分别是PQ,PB的中点,∴EF是△PBQ的中位线,∴EF＝BQ＝.由①可知AP＝EF,即1－x＝,解得x＝,∴PD＝,AP＝,在Rt△PDE中,DE＝,∴PE＝＝,∴AP≠PE,∴四边形AFEP不是菱形.

练3 解；（1）∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，∴平行四边形AEDF是矩形；故答案为：矩；
（2）当四边形AEDF是正方形，则△ABC中需满足△ABC是等腰直角三角形且AD平分∠BAC．理由：当△ABC是等腰直角三角形，则AB＝AC，
如图，∵DE∥AC，DF∥AB，∴DE∥AF，DF∥AE，∴四边形AEDF是平行四边形，
∵AD平分∠BAC，∴BD＝CD，∴DFAB，DEAC，∴DF＝DE，∴矩形AEDF是正方形．
故答案为：△ABC是等腰直角三角形，AD平分∠BAC．
练4 ①②③④　
















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