18.2 特殊的平行四边形专题学案2（含答案）

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特殊四边形专题
专题2 特殊平行四边形中的3种折叠问题
类型1 矩形的折叠问题
例1 如图，有一张矩形纸片ABCD，AB＝8，AD＝6．先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF；再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为　4+2　．

【点拨】根据折叠的性质得到∠DAF＝∠BAF＝45°，根据矩形的性质得到FC＝ED＝2，根据勾股定理求出GF，根据周长公式计算即可．
解：由折叠的性质可知，∠DAF＝∠BAF＝45°，∴AE＝AD＝6，∴EB＝AB﹣AE＝2，由题意得，四边形EFCB为矩形，∴FC＝ED＝2，∵AB∥FC，∴∠GFC＝∠A＝45°，∴GC＝FC＝2，由勾股定理得，GF2，则△GCF的周长＝GC+FC+GF＝4+2，故答案为：4+2．
【点评】本题考查的是翻折变换的性质、矩形的性质一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
练5 对一张矩形纸片ABCD进行折叠，具体操作如下：
第一步：先对折，使AD与BC重合，得到折痕MN，展开；
第二步：再一次折叠，使点A落在MN上的点A′处，并使折痕经过点B，得到折痕BE，同时，得到线段BA′，EA′，展开，如图1；
第三步：再沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，得到折痕EF，同时得到线段B′F，展开，如图2．
（1）证明：∠ABE=30°；
（2）证明：四边形BFB′E为菱形．








类型2 菱形的折叠问题
例2 如图，将平行四边形ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点F处，折痕交CD边于点E．求证：四边形ADEF是菱形．

【点拨】先依据翻折的性质可证明DE＝EF，AD＝AF，然后再依据折叠的性质和平行线的性质可证明∠EAF＝∠FEA，从而可得到AF＝EF，故此可证明AF＝AD＝DE＝EF．
证明：由折叠可知，DE＝EF，AD＝AF，∠DEA＝∠FEA，∵四边形ABCD是平行四形，∴DE∥AF．∴∠DEA＝∠EAF．∴∠EAF＝∠FEA．∴AF＝EF．
∴AF＝AD＝DE＝EF．∴四边形ADEF是菱形．
【点评】本题主要考查的是翻折的性质、菱形的判定，证得AF＝EF是解题的关键．
练6 如图，?ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠ADC＝60°，将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，折痕交CD边于点E.
(1)求证：四边形BCED′是菱形；
(2)若点P是直线l上的一个动点，请计算PD′＋PB的最小值．











类型3 正方形的折叠问题
例3 如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE，若AB的长为2，求FM的长．

【点拨】根据翻转变换的性质求出BM、BF，根据勾股定理计算即可．
解：由折叠的性质可知，BMBC＝1，BF＝BA＝2，由勾股定理得，FM．
【点评】本题考查的是翻转变换的性质、勾股定理的应用，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．
练7 如图，将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ABC沿着AD方向平移，得到△A'B'C'，若两个三角形的重叠部分的面积为1，则它移动的距离AA'等于（　　）

A．0.5 B．1 C．1.5 D．2
练8 如图，正方形ABCD的边长是16，点E在边AB上，AE＝3，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，把△EBF沿EF折叠，点B落在B′处．若△CDB′恰为等腰三角形，则DB′的长为16或4．



























特殊四边形专题（答案）
练5 证明：（1）∵对折AD与BC重合，折痕是MN，
∴点M是AB的中点，∴A′是EF的中点，
∵∠BA′E=∠A=90°，∴BA′垂直平分EF，∴BE=BF，
∴∠A′BE=∠A′BF，
由翻折的性质，∠ABE=∠A′BE，
∴∠ABE=∠A′BE=∠A′BF，∴∠ABE=×90°=30°；
（2）∵沿EA′所在的直线折叠，点B落在AD上的点B′处，
∴BE=B′E，BF=B′F，
∵BE=BF，∴BE=B′E=B′F=BF，∴四边形BFB′E为菱形．
练6解：(1)∵将?ABCD沿过点A的直线l折叠，使点D落到AB边上的点D′处，
∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E.
∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，
∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，
∴四边形DAD′E是平行四边形，∴DE＝AD′.
∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，AB∥DC，
∴CE＝D′B，CE∥D′B，∴四边形BCED′是平行四边形；
(2)∵AD＝AD′，∴?DAD′E是菱形．∴D与D′关于AE对称．
连接BD交AE于P，则BD的长即为PD′＋PB的最小值，
过D作DG⊥BA于G.
∵CD∥AB，∴∠DAG＝∠CDA＝60°.
∵AD＝1，∴AG＝，DG＝，BG＝，
∴BD＝＝，∴PD′＋PB的最小值为.　
练7B
练8 16或4．

















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