18.2 特殊的平行四边形专题学案3（含答案）

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特殊四边形专题
专题3 特殊平行四边形中的3种动点问题
类型1 菱形中的动点问题
例1 如图，在菱形ABCD中，AB，∠B＝120°，点E是AD边上的一个动点（不与A，D重合），EF∥AB交BC于点F，点G在CD上，DG＝DE．若△EFG是等腰三角形，则DE的长为　1或　．

【点拨】由四边形ABCD是菱形，得到BC∥AD，由于EF∥AB，得到四边形ABFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF∥AB，于是得到EF＝AB，当△EFG为等腰三角形时，①EF＝GE时，于是得到DE＝DGAD1，②GE＝GF时，根据勾股定理得到DE．
解：∵四边形ABCD是菱形，∠B＝120°∴∠D＝∠B＝120°，∠A＝180°﹣120°＝60°，BC∥AD，∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形，∴EF∥AB，∴EF＝AB，
∠DEF＝∠A＝60°，∠EFC＝∠B＝120°，∵DE＝DG，∴∠DEG＝∠DGE＝30°，
∴∠FEG＝30°，当△EFG为等腰三角形时，①当EF＝EG时，EG，
如图1，过点D作DH⊥EG于H，∴EHEG，在Rt△DEH中，DE1，
②GE＝GF时，如图2，过点G作GQ⊥EF，∴EQEF，在Rt△EQG中，
∠QEG＝30°，∴EG＝1，过点D作DP⊥EG于P，∴PEEG，同①的方法得，DE，
③当EF＝FG时，∴∠EFG＝180°﹣2×30°＝120°＝∠CFE，此时，点C和点G重合，点F和点B重合，不符合题意，故答案为：1或．

【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握各性质是解题的关键．
练 9如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8，点P是对角线AC上的一个动点，点M、N分别是边AB、BC的中点，求PM+PN的最小值.











类型2 矩形中的动点问题
例2 如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点P是矩形ABCD内一动点，且S△PABS△PCD，则PC+PD的最小值为　4　．

【分析】如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．由PM垂直平分线段DE，推出PD＝PE，推出PC+PD＝PC+PE≥EC，利用勾股定理求出EC的值即可．
解：如图，作PM⊥AD于M，作点D关于直线PM的对称点E，连接PE，EC．设AM＝x．

∵四边形ABC都是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD＝4，BC＝AD＝6，
∵S△PABS△PCD，∴4×x4×（6﹣x），∴x＝2，
∴AM＝2，DM＝EM＝4，在Rt△ECD中，EC4，
∵PM垂直平分线段DE，∴PD＝PE，∴PC+PD＝PC+PE≥EC，∴PD+PC≥4，
∴PD+PC的最小值为4．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，三角形的面积，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
练 10如图，在矩形ABCD中，AB＝24cm，BC＝8cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以4cm/s的速度移动，点Q从C开始沿CD边以2cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从A，C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．当t为何值时，四边形QPBC为矩形？

解：根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t，则BP＝24－4t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB.
∴只有CQ＝BP时，四边形QPBC是矩形，
即2t＝24－4t，解得t＝4，
即当t＝4s时，四边形QPBC是矩形．
类型3 正方形中的动点问题
例3 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）线段OE与OF的数量关系　 　．（填空）；
（2）若CE＝8，CF＝6，则OC＝　 　．（填空）；
（3）当点O运动到　 　，且∠BCA等于　 　时，四边形AECF是正方形．）（填空）

解：（1）∵CE是∠ACB的平分线，∴∠1＝∠2．
∵MN∥BC，∴∠1＝∠3．∴∠2＝∠3．∴OE＝OC．同理可证OC＝OF．
∴OE＝OF．故答案为：OE＝OF．
（2）∵MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，
∴∠2∠ACB，∠5∠ACD，∴∠ECF＝∠2+∠5（∠ACB+∠ACD）＝90°，
∴△ECF是直角三角形，又∵CE＝8，CF＝6，∴由勾股定理得EF＝10，
∵OE＝OF，∴Rt△CEF中，COEF＝5，故答案为：5；
（3）当点O运动到AC的中点时，且∠ACB＝90°时，四边形AECF是正方形．
理由如下：∵O为AC中点，∴OA＝OC，∵由（1）可得OE＝OF，
∴四边形AECF为平行四边形；由（2）可得∠ECF＝90°，
∴四边形AECF为矩形，∠5＝∠6＝45°，∠2＝∠3＝45°，∴∠3＝∠6，
∴CE＝CF，∴平行四边形AECF是正方形．故答案为：AC的中点处，90°．

练11如图，E是正方形ABCD一边CD上的中点，AB＝4，动点P从A→B→C→D在正方形的边上运动，当△PAE为等腰三角形时，则AP的长为　 ．



特殊四边形专题（答案）
练8 16或4．

练9解：如图：
作ME⊥AC交AD于E，连接EN，则EN就是PM+PN的最小值，
∵M、N分别是AB、BC的中点，∴BN=BM=AM，
∵ME⊥AC交AD于E，∴AE=AM，∴AE=BN，AE∥BN，
∴四边形ABNE是平行四边形，∴EN=AB，EN∥AB，
而由题意可知，可得AB=＝5.
∴EN=AB=5，∴PM+PN的最小值为5．
练10 解：根据题意得：CQ＝2t，AP＝4t，则BP＝24－4t，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝90°，CD∥AB.
∴只有CQ＝BP时，四边形QPBC是矩形，
即2t＝24－4t，解得t＝4，
即当t＝4s时，四边形QPBC是矩形．
练11　4，，2　．






























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