niop初赛中用到的数学知识

(共20张PPT)
数列
－1，0，1，2，…
－1，1，－1，1，…
1，1，2，3，5，8，13，…
an=n-2
an=(－1)n
an= an-1+ an-2
等差数列 an=a1+(n-1)×d
例：有30根水泥电线杆，要运往1000m远的地方开始安装，在1000m处放一根，以后每50m放一根，一辆汽车每次只能运三根，如果用一辆汽车完成这项任务，这辆汽车的行程共有多少km？（第231页）
M
A B C D E F G
等比数列 an=a1qn-1
例：某林场原有森林木材量为a，木材每年以25％的增长率生长，而每年可砍伐的木材量为x，为使第20年末木材存有量翻两番，求每年砍伐量x。（第234页）
a1=a(1+25%)-x
a2=a1(1+25%)-x
……
a20=4a
数列的递推
递推关系：数列的若干连续项之间的关系
递推数列：由递推关系和初始条件确定的数列
例：一座楼房，从楼下到楼上共13个台阶。一个人上楼梯，可以一步上一个台阶，也可以一步上两个台阶。问从楼下走到楼上，有多少种不同走法。一年365天，每天选用一种走法，能否做到天天的走法均不相同。（第237页）
ak= ak-1+ ak-2
计数原理
分类计数原理（加法原理）
完成一件事有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，…，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法。
计数原理
分步计数原理（乘法原理）
完成一件事需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，…，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法。
计数原理
例：有一角、二角、五角人民币各1张，一元人民币3张，五元人民币2张，一百元的2张，由这10张人民币可组成多少种不同的币值？
N=2×2×2×4×3×3－1＝287种
计数原理
例：图中有4个编号为1、2、3、4的小三角形，要在每一个小三角形中涂上红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的一种，使有相邻边的小三角形颜色不同，共有多少种不同的涂色方法？
1
2
3
4
N=5*4*1*4+5*4*3*3=80+180=260
排列问题（跟先后顺序有关)
常见题型：排队问题、数字问题、几何问题
例：某天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、化学、体育共6门课程，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法。（第242页）排除法
组合问题（跟先后顺序无关)
例：马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为既节约用电又能看清路面（不影响走路），可以把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只。在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯办法有多少种？（第246页）空档插入法
排列组合综合问题
例：一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，问：
（1）从中任取4个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？
（2）若取1个红球记2分，取1个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7的取法有多少种。（第247页）
3
典型问题（第255页）
例：某校举行三个单项体育比赛，项目是100米、跳高、铅球。已知参加100米、跳高、铅球比赛的人数分别为125、124、130，同参加100米和跳高的15人，同参加100米和铅球的有12人，同参加跳高和铅球的14人，同参加三项比赛的有5人。问：
（1）只参加100米比赛的有几人？
（2）只参加一项比赛的有几人？
（3）只参加两项比赛的有几人？
A
B
C
103
312
26
典型问题（第256页）
例：约19世纪末，在欧州的商店中出售一种智力玩具，在一块铜板上有三根杆，最左边的杆上自上而下、由小到大顺序串着由64个圆盘构成的塔。目的是将最左边杆上的盘全部移到右边的杆上，条件是一次只能移动一个盘，且不允许大盘放在小盘的上面。
源柱
中间柱
目标柱
A
B
C
典型问题（第256页）
源柱
中间柱
目标柱
A
B
C
n=1 移动1次
n=2 移动3次
n=3 移动7次
历届试题
平面上有三条平行直线，每条直线上分别有7，5，6个点，且不同直线上三个点都不在同一条直线上。问用这些点为顶点，能组成多少个不同四边形？
历届试题
某年级学生共选修6门课程，期末考试前，必须提前将这6门课程考完，每人每天只在下午至多考一门课程，设6门课程为C1，C2，C3，C4，C5，C6，S(Ci)为学习Ci 的学生集合。已知S(Ci)∩S(C6)≠ф，i=1，2，...，5，S(Ci)∩S(Ci+1)≠ф，i=1，2，3，4，S(C5)∩S(C1)≠ф，问至少安排_____天才能考完这6门课程。
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历届试题
在书架上放有编号为1 ，2 ，．．．，n的n本书。现将n本书全部取下然后再放回去，当放回去时要求每本书都不能放在原来的位置上。例如：n = 3时：
原来位置为：1 2 3
放回去时只能为：3 1 2 或 2 3 1 这两种
问题：求当n = 5时满足以上条件的放法共有多少种？（不用列出每种放法）
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历届试题
75名儿童到游乐场去玩。他们可以骑旋转木马，坐滑行铁道，乘宇宙飞船。已知其中20人这三种东西都玩过，55人至少玩过其中的两种。若每样乘坐一次的费用是5元，游乐场总共收入700，可知有 名儿童没有玩过其中任何一种。
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历届试题
将数组{32，74，25，53，28，43，86，47}中的元素按从小到大的顺序排列，每次可以交换任意两个元素，最少需要交换 次。
由3个a，5个b和2个c构成的所有字符串中，包含字串“abc”的共有 个。
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