第二章DIERZHANG变化率与导数
§1 变化的快慢与变化率
课后训练案巩固提升
1.若函数f(x)=2x2-1的图像上一点(1,1)及邻近一点(1+Δx,1+Δy),则ΔyΔx等于( )
A.4 B.4x
C.4+2Δx D.4+2(Δx)2
解析:∵Δy=f(1+Δx)-f(1)=2(1+Δx)2-1-2+1=4Δx+2(Δx)2,∴ΔyΔx=4Δx+2(Δx)2Δx=4+2Δx.
答案:C
2.一个物体的运动方程为s=t2-t+1,其中s的单位是米,t的单位是秒.则物体在3秒末的瞬时速度是( )
A.7米/秒 B.6米/秒
C.5米/秒 D.4米/秒
解析:∵ΔsΔt=(3+Δt)2-(3+Δt)+1-(32-3+1)Δt
=5Δt+Δt2Δt=5+Δt,∴当Δt→0时,ΔsΔt→5.
答案:C
3.将半径为R的球加热,若球的半径增加ΔR,则球的表面积增量ΔS等于( )
A.8πRΔR B.8πRΔR+4π(ΔR)2
C.4πRΔR+4π(ΔR)2 D.4π(ΔR)2
解析:ΔS=4π(R+ΔR)2-4πR2=8πRΔR+4π(ΔR)2,故选B.
答案:B
4.物体甲,乙在时间0到t1范围内路程的变化情况如图所示,下列说法正确的是( )
A.在0到t0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
B.在0到t0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
C.在t0到t1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度
D.在t0到t1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度
解析:在0到t0范围内,甲,乙所走的路程相同,时间相同,所以平均速度相同,在t0到t1范围内,时间相同,而甲走的路程比乙的大,所以甲的平均速度大.
答案:C
5.导学号88184017已知曲线y=2x2+1在点M处的瞬时变化率为-4,则点M的坐标为( )
A.(1,3) B.(-4,33)
C.(-1,3) D.不确定
解析:设点M的坐标为(t0,2t02+1),则
ΔyΔx=2(t0+Δx)2+1-2t02-1Δx
=4t0Δx+2(Δx)2Δx=4t0+2Δx,
由题意知4t0=-4,即t0=-1.
故点M的坐标为(-1,3).
答案:C
6.函数y=f(x)=ln x+1从e到e2的平均变化率为 .?
解析:∵Δx=e2-e,Δy=f(e2)-f(e)=(ln e2+1)-(ln e+1)=ln e=1,∴ΔyΔx=1e2-e.
答案:1e2-e
7.一物体的运动曲线为s=3t-t2,则该物体的初速度为 .?
解析:∵Δs=3(0+Δt)-(0+Δt)2-(3×0-02)=3Δt-(Δt)2,∴当Δt趋于0时,ΔsΔt=3Δt-(Δt)2Δt=3-Δt趋于3.
答案:3
8.已知甲厂生产一种产品,产品总数y与时间x(1≤x≤12,单位:月)的图像如图所示,则下列说法正确的是 .?
①前3个月内增长越来越快.
②前3个月内增长越来越慢.
③产品数量一直增加.
④第3个月到第8个月内停产.
解析:前3个月内函数图像越来越平,增长越来越慢,第3个月到第8个月内总数未变化,所以这段时间内停产;第8个月到第12个月内总数增加越来越快,故正确的应为②④.
答案:②④
9.已知函数f(x)=2x在区间[1,t]上的平均变化率为-23,则t= .?
解析:∵反比例函数y=kx(k≠0)在区间[m,n]上的平均变化率为-kmn,∴-21×t=-23,解得t=3.
答案:3
10.设某产品的总成本函数为C(x)=1 100+x21 200,其中x为产量数,则生产900个单位到1 000个单位时总成本的平均变化率为 .?
解析:ΔCΔx=C(1 000)-C(900)1 000-900
=1 100+1 00021 200-1 100+90021 200100=1912.
答案:1912
11.已知函数y=f(x)=3x2+2,求该函数在x0=1,2,3附近Δx取12时的平均变化率k1,k2,k3,并比较大小.
解函数y=f(x)=3x2+2在区间[x0,x0+Δx]上的平均变化率为f(x0+Δx)-f(x0)Δx=[3(x0+Δx)2+2]-(3x02+2)Δx=6x0+3Δx.
当x0=1,Δx=12时,函数在区间[1,1.5]上的平均变化率k1=6×1+3×0.5=7.5;
当x0=2,Δx=12时,函数在区间[2,2.5]上的平均变化率k2=6×2+3×0.5=13.5;
当x0=3,Δx=12时,函数在区间[3,3.5]上的平均变化率k3=6×3+3×0.5=19.5.
∵7.5<13.5<19.5,∴k1
12.航天飞机升空后一段时间内,第t s时的高度h(t)=5t3+30t2+45t+4,其中h的单位为m,t的单位为s.
(1)h(0),h(1),h(2)分别表示什么?
(2)求前2 s内的平均速度;
(3)求第2 s末的瞬时速度.
解(1)h(0)表示航天飞机发射前的高度;h(1)表示航天飞机升空1 s后的高度;h(2)表示航天飞机升空2 s后的高度.
(2)航天飞机升空后前2 s内的平均速度为v=h(2)-h(0)2-0=5×23+30×22+45×2+4-42=125(m/s).
故航天飞机升空后前2 s内的平均速度为125 m/s.
(3)∵航天飞机升空后在t=2 s时的位移增量与时间增量的比值为
v=h(2+Δt)-h(2)Δt=
5(2+Δt)3+30(2+Δt)2+45(2+Δt)+4-(5×23+30×22+45×2+4)Δt
=5(Δt)3+60(Δt)2+225ΔtΔt
=5(Δt)2+60Δt+225,
∴当Δt→0时,v→225,因此第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
∴航天飞机升空第2 s末的瞬时速度为225 m/s.
13.导学号88184018柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成黏稠状液体.如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位:℃)满足y=f(x)=80x2+20,0≤x≤1,-2049(x2-2x-244),1(1)求开始加热后15分钟时沥青温度的瞬时变化率;
(2)求开始加热后第4小时沥青温度的瞬时变化率.
解(1)因为0≤x≤1时,f(x)=80x2+20,
15分钟=0.25小时.
ΔyΔx=f(0.25+Δx)-f(0.25)Δx
=80(0.25+Δx)2+20-(80×0.252+20)Δx
=80[0.5Δx+(Δx)2]Δx=40+80Δx,
当Δx趋于0时,ΔyΔx趋于40.
故开始加热后15分钟时的瞬时变化率为40.
(2)因为1f(x)=-2049(x2-2x-244),
当x=4时,ΔyΔx=
-2049[(4+Δx)2-2(4+Δx)-244]+2049(42-2×4-244)Δx
=-2049[6Δx+(Δx)2]Δx
=-2049(6+Δx),
当Δx趋于0时,ΔyΔx趋于-12049,即开始加热后第4小时的瞬时变化率为-12049.
课件24张PPT。第二章 变化率与导数§1 变化的快慢与变化率1.函数的平均变化率
函数y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率
(1)条件:已知函数y=f(x),自变量x从x1变为x2,函数值从f(x1)变为f(x2).记Δx=x2-x1,Δy=f(x2)-f(x1).(3)实质:函数值的改变量与自变量的改变量之比.
(4)作用:刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.名师点拨对平均变化率的理解
(1)y=f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上陡峭程度的“数量化”,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.
(2)平均变化率的绝对值越大,曲线y=f(x)在区间[x1,x2]上越“陡峭”,反之亦然.
(3)平均变化率的物理意义是把位移s看成时间t的函数s=s(t),在
时间段[t1,t2]上的平均速度,即
(4)改变量并不一定都是正值,也可以是负值,函数值的改变量还可以是0,比如常数函数,其函数值的改变量就是0.
(5)注意变量的对应,若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),而不是Δy=f(x1)=f(x2).【做一做1】 函数f(x)=x2在区间[-1,3]上的平均变化率是( )答案:B 2.瞬时变化率及瞬时速度
对于一般的函数y=f(x),在自变量x从x0变到x1的过程中,若设Δx=x1-x0,Δy=f(x1)-f(x0),则函数的平均变化率是而当Δx趋于0时,平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变化率,瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢.
名师点拨1.瞬时变化率是刻画函数值在x0点处变化的快慢,而平均变化率刻画函数值在区间[x1,x2]上变化的快慢.
2.瞬时速度即位移函数相对于时间的瞬时变化率.【做一做2】 如果某物体作运动方程为s=2(1-t2)的直线运动(s的单位:m,t的单位:s),那么,物体在1.2 s末的瞬时速度为( )
A.-4.8 m/s B.-0.8 m/s
C.0.88 m/s D.4.8 m/s即t=1.2 s时的瞬时速度为-4.8 m/s. 答案:A 思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)对于常数函数y=a(a是常数),它的平均变化率为0. ( )
(2)若函数f(x)在区间[x1,x2]内的平均变化率为0,则说明函数f(x)在区间[x1,x2]上没有发生变化. ( )
(3)在平均变化率的定义中,自变量x在区间[x1,x2]上的改变量Δx为任意实数. ( )
(4)函数y=f(x),当自变量x由x0改变到x0+Δx时,函数值的改变量Δy是f(x0+Δx)-f(x0). ( )
(5)瞬时速度是平均速度的极限值. ( )√ × × √ √ 探究一探究二探究三思维辨析平均变化率
【例1】 求函数y=3x2+2在下列区间上的平均变化率.
(1)[2,2.1];(2)[2,2+Δx].
分析:可以先求自变量的增量和函数值的增量,再代入公式求解.解:(1)函数y=3x2+2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 (2)函数y=3x2+2在区间[2,2+Δx]上的平均变化率为 反思感悟求函数平均变化率的步骤
第一步,求自变量的改变量Δx=x2-x1,
第二步,求函数值的改变量Δy=f(x2)-f(x1).探究一探究二探究三思维辨析变式训练1一质点运动的方程为s=5-3t2,则在一段时间[1,1+Δt]内相应的平均速度为( )
A.-3Δt-6 B.-3Δt+6
C.3Δt-6 D.3Δt+6解析:质点在[1,1+Δt]内的平均变化率, 答案:A 探究一探究二探究三思维辨析瞬时变化率
【例2】 已知s(t)= gt2,其中g=10 m/s2.
(1)求t从3 s到3.1 s的平均速度;
(2)求t从3 s到3.01 s的平均速度;
(3)求t在t=3 s时的瞬时速度.
分析:函数的平均变化率和瞬时变化率即为平均速度和瞬时速度.解:(1)Δt=3.1-3=0.1 (s),Δt指时间改变量, 探究一探究二探究三思维辨析(2)Δt=3.01-3=0.01 (s),Δt指时间改变量, (3)由瞬时速度的定义可知 ∴当t=3 s时的瞬时速度为30 m/s. 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟根据条件求瞬时速度的步骤
(1)探究非匀速直线运动的规律s=s(t);
(2)由时间改变量Δt确定位移改变量Δs=s(t0+Δt)-s(t0);探究一探究二探究三思维辨析变式训练2以初速度v0(v0>0)垂直上抛的物体,t秒时的高度为s(t)=v0t- gt2,求物体在时刻t0处的瞬时速度.因此物体在时刻t0的瞬时速度为v0-gt0. 探究一探究二探究三思维辨析平均变化率的应用
【例3】 求函数y=x2在x0到x0+Δx之间的平均变化率,并结合图像探讨当Δx取定值后,随x0取值不同,该函数的平均变化率的变化特点及其含义.
分析:由题目可获取以下主要信息:①已知函数的解析式;②求该函数的平均变化率并指出变化率的变化特点及含义,解答本题时可数形结合,根据定义求解.探究一探究二探究三思维辨析则函数图像越陡峭.
反思感悟函数的平均变化率反映了函数图像上两点连线的斜率,函数平均变化率的绝对值越大,斜率的绝对值越大,图像也越陡峭.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3一质点作直线运动,其位移s与时间t的关系为s=t2+1,该质点在[2,2+Δt](Δt>0)上的平均速度不大于5,则Δt的取值范围是 .?解析:质点在[2,2+Δt]上的平均速度 又∵Δt>0,∴Δt的取值范围是(0,1]. 答案:(0,1] 探究一探究二探究三思维辨析因错用平均变化率公式而致误
【典例】 已知曲线y=-2x3+2和这条曲线上的两个点P(1,0),Q(2,-14),求该曲线在PQ段的平均变化率.
易错分析:在函数的平均变化率的求法公式中,Δy必须对应Δx,即若Δx=x2-x1,则Δy=f(x2)-f(x1),若Δx=x1-x2,则Δy=f(x1)-f(x2).解:∵x1=1,y1=0,x2=2,y2=-14,
∴Δx=x2-x1=2-1=1,Δy=y2-y1=-14-0=-14.纠错心得在平均变化率的定义中,增量Δx的形式是多种多样的,但不论Δx是哪种形式,Δy必须选择相对应的形式.如Δx=x0-(x0-Δx),则Δy=f(x0)-f(x0-Δx);Δx=(x0+h)-(x0-h),则Δy=f(x0+h)-f(x0-h).探究一探究二探究三思维辨析变式训练在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系h(t)=-4.9t2+6.5t+10,请计算t∈[0,0.5]时的平均速度 及t∈[1,2]时的平均速度 .解:当t∈[0,0.5]时,∵Δt=0.5-0=0.5 (s),
Δh=(-4.9×0.52+6.5×0.5+10)-(-4.9×02+6.5×0+10)=2.025 (m),当t∈[1,2]时,∵Δt=2-1=1 (s),
Δh=(-4.9×22+6.5×2+10)-(-4.9+6.5+10)
=-8.2 (m),1 2 3 41.设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变化到1.1时,函数的平均变化率为( )
A.2.1 B.1.1 C.2 D.0答案:A 1 2 3 42.一物体的运动曲线为s=2t3,则其在第t=3秒时的瞬时速度是( )
A.6 B.18 C.54 D.81解析:由瞬时速度的定义可知Δs=2(t+Δt)3-2t3=2(3+Δt)3-2×33=54Δt+18(Δt)2+2(Δt)3,答案:C 1 2 3 43.婴儿从出生到第24个月的体重变化如图,第二年婴儿体重的平均变化率为 kg/月.?答案:0.25 1 2 3 44.质点M按规律s=at2+1运动,若质点M在t=2时的瞬时速度为8,求常数a的值.解:∵质点M运动的平均速度为 ∴瞬时速度为4a,即4a=8.∴a=2. §2 导数的概念及其几何意义
课后训练案巩固提升
A组
1.若函数f(x)的图像过原点,且存在导数,limΔx→0f(Δx)Δx=-1,则f'(0)=( )
A.-2 B.-1
C.1 D.2
解析:∵函数f(x)的图像过原点,∴f(0)=0.
∴f'(0)=limΔx→0f(0+Δx)-f(0)Δx=limΔx→0f(Δx)Δx=-1.
答案:B
2.若f(x)在x=x0处存在导数,则limh→0f(x0+h)-f(x0)h ( )
A.与x0,h都有关
B.仅与x0有关,而与h无关
C.仅与h有关,而与x0无关
D.以上答案:都不对
答案:B
3.已知曲线y=f(x)=2x2上一点A(2,8),则曲线在点A处的切线斜率为( )
A.4 B.16
C.8 D.2
解析:f'(2)=limΔx→02(2+Δx)2-2×22Δx
=limΔx→08Δx+2(Δx)2Δx=limΔx→0(8+2Δx)=8.
答案:C
4.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为( )
A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0
C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0
解析:设与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线与之相切于点(x0,x02),则有f'(x0)=2,即limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx=limΔx→0(2x0+Δx)=2x0=2,所以x0=1,x02=1,切点为(1,1).
因此切线方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
答案:D
5.已知函数y=f(x)的图像在点M(1,f(1))处的切线方程为y=12x+2,则f(1)+f'(1)= .?
解析:∵f(1)=12×1+2=52,f'(1)=12,
∴f(1)+f'(1)=52+12=3.
答案:3
6.已知f(x)在x=6处可导,且f(6)=8,f'(6)=3,则limx→6[f(x)]2-[f(6)]2x-6= .?
解析:∵f'(6)=3,∴limx→6f(x)-f(6)x-6=3.
∴limx→6[f(x)]2-[f(6)]2x-6
=limx→6[f(x)-f(6)][f(x)+f(6)]x-6
=[f(6)+f(6)]·f'(6)=(8+8)×3=48.
答案:48
7.已知函数y=ax2+b在点(1,3)处的切线斜率为2,则ba的值是多少?
解由导数定义知f'(1)=limΔx→0a(1+Δx)2+b-(a×12+b)Δx=limΔx→0(2a+aΔx)=2a,∴2a=2,即a=1.
又∵3=a×12+b,∴b=2.∴ba=2.
8.已知曲线y=2x+1,则此曲线上哪一点处的切线与直线y=-2x+3垂直?写出该点处的切线方程.
解设曲线y=f(x)=2x+1上的点P(x0,y0)处的切线与直线y=-2x+3垂直,
则f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx
=limΔx→02x0+Δx+1-2x0-1Δx
=limΔx→02(x0+Δx-x0)Δx(x0+Δx+x0)=22x0=1x0,
则1x0=12,∴x0=4,y0=24+1=5.
∴切线方程为y-5=12(x-4),即x-2y+6=0.
∴曲线在点(4,5)处的切线与直线y=-2x+3垂直,切线方程为x-2y+6=0.
9.导学号88184019已知直线l:y=4x+a和曲线C:y=x3-2x2+3相切,求a的值以及切点坐标.
解设直线l与曲线C:y=f(x)=x3-2x2+3相切于点P(x0,y0),
∵f'(x0)=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx
=limΔx→0(x0+Δx)3-2(x0+Δx)2+3-(x03-2x02+3)Δx
=3x02-4x0,
由导数的几何意义知3x02-4x0=4,
解得x0=-23或x0=2.
∴切点的坐标为-23,4927或(2,3).
当切点为-23,4927时,有4927=4×-23+a,
∴a=12127;
当切点为(2,3)时,有3=4×2+a,∴a=-5.
因此,a=12127,切点为-23,4927或a=-5,切点为(2,3).
B组
1.在曲线y=x2上切线倾斜角为π4的点是( )
A.(0,0) B.(2,4)
C.14,116 D.12,14
解析:∵切线的倾斜角为π4,
∴切线的斜率为k=tanπ4=1,
设切点为(x0,y0),则f'(x0)=limΔx→0(x0+Δx)2-x02Δx=limΔx→02Δx·x0+(Δx)2Δx=2x0,
∴2x0=1,x0=12,y0=122=14.
答案:D
2.在平面直角坐标系xOy中,点P在曲线C:y=x3-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线斜率为2,则点P的坐标为 .?
解析:设y=f(x),P(x0,y0)(x0<0),
由题意知f'(x0)=3x02-10=2,∴x02=4.
∴x0=-2.∴y0=15.
∴点P的坐标为(-2,15).
答案:(-2,15)
3.曲线y=x3在点(1,1)处的切线与x轴、直线x=2所围成的三角形的面积为 .?
解析:∵曲线y=x3在点(1,1)处的切线斜率为k=limΔx→0(1+Δx)3-1Δx=limΔx→0[(Δx)2+3Δx+3]=3,
∴切线方程为y-1=3(x-1),切线与x轴的交点为23,0,与x=2的交点为(2,4).
∴围成的三角形的面积为S=12×43×4=83.
答案:83
4.导学号88184020若函数f(x)在x=a处的导数为m,求limΔx→0f(a+2Δx)-f(a-2Δx)Δx的值.
解∵limΔx→0f(a+Δx)-f(a)Δx=m,
∴limΔx→0f(a+2Δx)-f(a-2Δx)Δx
=limΔx→0f(a+2Δx)-f(a)+f(a)-f(a-2Δx)Δx
=limΔx→0f(a+2Δx)-f(a)Δx+limΔx→0f(a)-f(a-2Δx)Δx
=2limΔx→0f(a+2Δx)-f(a)2Δx+2lim-2Δx→0f(a-2Δx)-f(a)-2Δx
=2m+2m=4m.
5.导学号88184021已知函数f(x)=x3-3x及y=f(x)上一点P(1,-2),过点P作直线l.
(1)求使直线l和y=f(x)相切且以P为切点的直线方程;
(2)求使直线l和y=f(x)相切且切点异于点P的直线方程y=g(x).
解∵Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)3-3(x+Δx)-x3+3x=3x2Δx+3x(Δx)2+(Δx)3-3Δx.
∴limΔx→0ΔyΔx=3x2-3.
∴f'(x)=3x2-3.
∴过点P且以P(1,-2)为切点的直线的斜率为k1=f'(1)=0.
∴所求直线方程为y=-2.
(2)设切点坐标为(x0,x03-3x0),则直线l的斜率k2=f'(x0)=3x02-3,
∴直线l的方程为y-(x03-3x0)=(3x02-3)(x-x0).
又直线l过点P(1,-2),
∴-2-(x03-3x0)=(3x02-3)(1-x0).
∴2x03-3x02+1=0,即(2x03-2x02)-(x02-1)=0,
即(x0-1)(2x02-x0-1)=0,
解得x0=1(舍去)或x0=-12.
故所求直线斜率k=3x02-3=-94,
于是其方程为y-(-2)=-94(x-1),
即y=-94x+14.
课件29张PPT。§2 导数的概念及其几何意义1.导数的概念
定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数.2.函数y=f(x)应在x=x0及其附近有意义,否则导数不存在. 【做一做1】 函数f(x)=x2在x=1处的导数为 .? 解析:∵Δy=(1+Δx)2-1=2Δx+(Δx)2, 答案:2 2.导数的几何意义
(1)割线的斜率.
已知f(x)图像上两点A(x0,f(x0)),B(x0+Δx,f(x0+Δx)),过A,B两点的割线的斜率是 ,曲线割线的斜率就是函数的平均变化率.
(2)切线的斜率.
当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A的切线.则当Δx→0时,割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即 = 切线AD的斜率.
(3)导数的几何意义.
函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.名师点拨曲线的切线与导数
(1)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线.
(2)函数f(x)在x0处有导数,则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线,且导数值是该切线的斜率.
(3)曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).【做一做2】 函数y=f(x)= 在x=1处的切线方程为 .?则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 答案:x+y-2=0 思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)函数f(x)在定义域内的任一点都存在导数. ( )
(2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. ( )
(3)若f'(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线与x轴垂直. ( )
(4)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的导数不存在,则在该点处的切线也不存在. ( )× √ √ × 探究一探究二探究三思维辨析导数的定义
【例1】 如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3,求t1=4时的导数.
分析:根据函数y=f(x)在点x0处导数的求解步骤即可解题.∴函数y=t3+3在t1=4时的导数f'(4)=48. 探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤
(1)求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);可以简记为“一差,二比,三极限”. 探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析导数的几何意义 (1)点P处的切线的斜率;
(2)点P处的切线方程.
分析:利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求得切线方程.探究一探究二探究三思维辨析反思感悟求过曲线上一点的切线方程的步骤
(1)求斜率.求出曲线在点(x0,f(x0))处的导数,即切线的斜率.
(2)写方程.用点斜式y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)写出切线方程.
(3)变形式.将点斜式化为一般式.探究一探究二探究三思维辨析变式训练2在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 .?答案:-3 探究一探究二探究三思维辨析导数几何意义的综合应用
【例3】 已知函数f(x)= 的图像上一点A(4,f(4)),O为坐标原点,点B为曲线段OA上一动点,求△AOB的面积的最大值.
分析:因为线段OA是固定的,点B在曲线段OA上运动,当点B到OA的距离最大时,△AOB面积最大,要使点B到OA的距离最大,需要过点B作平行于OA的切线,进而求得点B坐标,再求面积.探究一探究二探究三思维辨析探究一探究二探究三思维辨析反思感悟1.与导数的几何意义相关的题目大多与解析几何有关,如直线方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题.
2.解决此类问题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点坐标是常设的未知量.探究一探究二探究三思维辨析变式训练3求曲线y=f(x)= 和y=g(x)=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积.同理曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为 探究一探究二探究三思维辨析所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
两条切线与x轴围成的三角形如图所示,探究一探究二探究三思维辨析求切线方程时,忽略“过”与“在”的差异
【典例】 求曲线y=2x2-7过点P(3,9)的切线方程.
易错分析:求切线方程时,一般先判断该点是否在曲线上,本题中求过点P的切线方程,且点P不在曲线上,所以求出切点坐标是解决此类问题的关键.探究一探究二探究三思维辨析解:设曲线为y=f(x),其在点(x0,y0)处的导数为f'(x0), ∵2×32-7=11≠9,
∴点P(3,9)不在曲线y=f(x)上,
∵切线斜率k=4x0,
∴设切线方程为y-y0=4x0(x-x0),即切点为(2,1)或(4,25).
从而所求切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0.探究一探究二探究三思维辨析纠错心得1.求曲线在某点处的切线方程时,该点即为切点,可直接求得斜率,写出切线方程,此时切线有且只有一条.
2.求曲线过某点的切线方程时,不论该点是否在曲线上,都不一定是切点,此时应设法求得切点坐标,再写出切线方程,此时切线可能有一条或多条.探究一探究二探究三思维辨析变式训练求过点P(-1,0)的曲线y=x2+x+1的切线方程. 解:设曲线y=f(x)=x2+x+1上一点M(x0,y0),
则该点处的切线斜率于是过点(x0,y0)的切线方程为y-y0=(2x0+1)(x-x0).
∵点(-1,0)在切线上,
∴-y0=(-1-x0)(2x0+1).①即切点为(0,1)或(-2,3).
则过点(0,1)的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0;
过点(-2,3)的切线方程为y-3=-3(x+2),即3x+y+3=0.1 2 3 4 51.设函数f(x)=ax3+2,若f'(-1)=3,则a=( ) ∴a=1. 答案:C 1 2 3 4 5(1,f(1))处的切线斜率为( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2答案:B 1 2 3 4 53.若函数f(x)在x0处的导数f'(x0)= ,则函数f(x)在x0处的切线的倾斜角为 .?即函数f(x)在x0处的切线的倾斜角为60°. 答案:60° 1 2 3 4 54.曲线y=x2+6在点P处的切线斜率为4,则点P的坐标为 .?解析:设切点P坐标为(x0,y0), ∴x0=2. ∴切点P的坐标为(2,10). 答案:(2,10) 1 2 3 4 5整理得(x0-1)2(2x0+1)=0, 1 2 3 4 5故过点P的切线方程为3x-3y-2=0或3x-12y+1=0. §3 计算导数
课后训练案巩固提升
A组
1.函数y=lg x在x=1处的瞬时变化率为( )
A.0 B.1
C.ln 10 D.1ln10
解析:∵y'=1xln10,∴函数在x=1处的瞬时变化率为11×ln10=1ln10.
答案:D
2.若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为3x-y+1=0,则( )
A.f'(x0)<0 B.f'(x0)>0
C.f'(x0)=0 D.f'(x0)不存在
解析:由导数的几何意义可知曲线在点(x0,f(x0))处的导数等于曲线在该点处的切线斜率,所以f'(x0)=3.故选B.
答案:B
3.已知f(x)=x2,g(x)=x3,且f'(x)A.x<0 B.x>23
C.023
解析:∵f(x)=x2,g(x)=x3,且f'(x)∴2x<3x2.∴3x2-2x>0.
∴x(3x-2)>0.∴x<0或x>23.
答案:D
4.若曲线y=x4的一条切线l与直线x+4y-8=0垂直,则l的方程为( )
A.4x-y-3=0 B.x+4y-5=0
C.4x-y+3=0 D.x+4y+3=0
解析:∵切线l与直线x+4y-8=0垂直,
∴切线l的斜率为4.又y'=4x3,
由切线的斜率为4,得4x3=4,即x=1,切点坐标为(1,1).
∴切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.
答案:A
5.已知偶函数f(x)在R上可导,且f'(1)=1,f(x+2)=f(x-2),则曲线y=f(x)在x=-5处切线的斜率为 ( )
A.2 B.-2 C.1 D.-1
解析:由f(x+2)=f(x-2),得f(x+4)=f(x),可知函数f(x)的周期为4,又函数f(x)为偶函数,所以f(-5)=f(5)=f(1),所以曲线y=f(x)在x=-5处切线的斜率k=f'(-5)=-f'(1)=-1.
答案:D
6.已知f(x)=sin x,g(x)=cos x,h(x)=ln x,则f'π4+g'π4-h'12= .?
解析:∵f'(x)=(sin x)'=cos x,g'(x)=(cos x)'=-sin x,h'(x)=(ln x)'=1x,
∴f'π4+g'π4-h'12=22?22-2=-2.
答案:-2
7.已知幂函数y=f(x)的导函数的图像过点1,12,则f(2)= .?
解析:设f(x)=xα,则f'(x)=αxα-1,f'(1)=α=12,
∴f(x)=x12.∴f(2)=2.
答案:2
8.在曲线y=4x2上求一点P,使曲线在该点处的切线的倾斜角为135°.
解设点P坐标为(x0,y0),
∵y'=-8x-3,
∴f'(x0)=-8x0-3=tan 135°=-1.
∴x0=2,代入y0=4x02,得y0=1.
∴点P的坐标为(2,1).
9.(1)求曲线y=ex在x=2处的切线方程;
(2)过原点作曲线y=ex的切线,求切线方程.
解(1)∵y=ex,∴y'=ex.
当x=2时,y'=e2,故所求切线方程为y-e2=e2(x-2),即y=e2x-e2.
(2)设切点坐标为(x0,ex0),在该点处的切线的斜率为k=ex0,故切线方程为y-ex0=ex0(x-x0),当切线过原点时,有0-ex0=ex0(0-x0),解得x0=1,因此所求切线方程为y-e=e(x-1),即y=ex.
10.导学号88184022设曲线f(x)=x上有点P(x1,y1),与曲线切于点P的切线为m,若直线n过点P且与m垂直,则称n为曲线在点P处的法线.设n交x轴于点Q,又作PR⊥x轴于点R,求RQ的长.
解∵f(x)=x=x12,∴f'(x)=12x-12=12x .
∴f'(x1)=12x1 .
又∵直线n与m垂直,∴直线n的斜率为-2x1.
∴直线n的方程为y-y1=-2x1(x-x1),
令y=0,得-y1=-2x1(xQ-x1),
∴xQ=12+x1.
又知xR=x1,
∴|RQ|=|xQ-xR|=12+x1-x1=12.
B组
1.在下列四个命题中,真命题的个数为( )
①若函数f(x)=x,则f'(0)=0;
②加速度是动点位移函数s(t)对时间t的导数;
③函数y=x5的导数的值恒大于或等于零.
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:f(x)=x在x=0处不可导;加速度是动点速度函数v(t)对时间t的导数;y'=(x5)'=5x4≥0,所以正确的命题为③.
答案:B
2.若指数函数f(x)=ax(a>0,a≠1)满足f'(1)=ln 27,则f'(-1)=( )
A.2 B.ln 3
C.ln33 D.-ln 3
解析:∵f'(x)=axln a,则f'(1)=a ln a=ln 27,解得a=3.
∴f'(x)=3xln 3.∴f'(-1)=ln33.
答案:C
3.正弦曲线y=sin x上有一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的范围是 .?
解析:∵y'=(sin x)'=cos x,且cos x∈[-1,1],
∴k∈[-1,1].
设直线l的倾斜角为α,则由k=tan α知-1≤tan α≤1,且α∈[0,π).
∴α∈0,π4∪34π,π.
答案:0,π4∪34π,π
4.导学号88184023设抛物线y=x2与直线y=x+a(a是常数)有两个不同的交点,记抛物线在两交点处的切线分别为l1,l2,求a值变化时,l1与l2交点的轨迹.
解将y=x+a代入y=x2整理得x2-x-a=0, ①
为使直线与抛物线有两个不同的交点,必须Δ=(-1)2+4a>0,即a>-14.
设两交点为(α,α2),(β,β2),且α<β.
由y=x2得y'=2x,
则切线l1,l2的方程分别为y=2αx-α2,y=2βx-β2,
设两切线交点为(x,y),则x=α+β2,y=αβ. ②
又α,β是方程①的解,由根与系数的关系可知α+β=1,αβ=-a,代入②得x=12,y=-a<14.
从而,所求的轨迹为直线x=12上的y<14的部分.
课件22张PPT。§3 计算导数1.导函数
一般地,如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导
数值记为f'(x):f'(x)= ,则f'(x)是关于x的函数,称f'(x)为f(x) 的导函数,通常也简称为导数.
名师点拨函数y=f(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系.
(1)“函数在点x0处的导数”,就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限,它是一个数值,只与x0有关,与Δx无关,不是变数.
(2)导函数f'(x)是对某一区间内任意x而言,是一个函数关系.
(3)函数y=f(x)在点x0处的导数f'(x0)就是导函数f'(x)在点x0处的函数值,即f'(x0).2.导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度) 名师点拨基本初等函数的导数公式.
(1)记忆公式时要采用对比的方法来记忆:①将xα与ax对比记忆,两公式最易混淆;②将ax与loga x对比记忆,并要强化记忆,这两个公式最难记;③将sin x与cos x对比记忆,注意正、负号问题.【做一做1】 下列结论不正确的是( ) 答案:B 【做一做2】 若函数f(x)=ex,则f(x)在点(0,1)处的切线方程为 .?
解析:∵f'(x)=ex,∴f'(0)=e0=1,即切线的斜率为1.
故所求切线方程为y-1=1×(x-0),即x-y+1=0.
答案:x-y+1=0思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)任何函数都有导函数. ( )
(2)函数f(x)=a2的导函数是f'(x)=2a. ( )
(3)常数函数f(x)=c的导数值为0,表示函数在任意点处的切线垂直于y轴,即斜率为0. ( )
(4)奇函数的导数为偶函数. ( )× × √ √ 探究一探究二思想方法利用导数公式求导数
【例1】 求下列函数的导数:分析:熟练掌握导数的基本公式.运用有关性质或公式将问题转化为基本初等函数后再求导数.探究一探究二思想方法探究一探究二思想方法反思感悟求基本初等函数的导数
(1)若给出的函数解析式符合基本初等函数的导数公式,则直接利用公式求导.
(2)若给出的函数解析式不符合导数公式,则通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导,如根式要化成分数指数幂的形式求导.探究一探究二思想方法变式训练1求下列函数的导数. 解:(1)y'=-5x-5-1=-5x-6.
(2)y'=4xln 4.探究一探究二思想方法导数公式的应用
【例2】 点P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
分析:先利用导数的几何意义确定点P的坐标,再利用点到直线的距离求解.?探究一探究二思想方法反思感悟利用基本初等函数的求导公式,结合导数的几何意义可以解决一些与距离、面积有关的最值问题,解决此类问题的关键是正确地确定所求切线的位置,进而求出切点坐标,或切线方程.探究一探究二思想方法令y=0,得x=-a.
∴切线与两坐标轴围成的三角形面积为∴a=2. 探究一探究二思想方法数形结合思想的应用
【典例】 讨论关于x的方程ln x=kx解的个数.
分析:通过求导的方法求出曲线y=ln x与直线y=kx相切时k的值,借助图形求解.解:方程ln x=kx的解的个数就是直线y=kx与曲线y=ln x交点的个数.
设直线y=kx与y=ln x相切(如图所示)时,切点为P(x0,ln x0),
则kx0=ln x0.探究一探究二思想方法方法点睛导数的几何意义为导数与解析几何问题的沟通搭建了一个平台,因此从这种意义上说,导数也就是数形结合的桥梁,而导数公式是进行导数运算的一个有力工具,比定义法更简单、快捷,所以利用导数公式这一工具,借助数形结合这一有效方法,可以解决很多综合性问题,本例就是借助图形,进行合理转化,把方程解的个数转化为直线与曲线交点个数.探究一探究二思想方法变式训练抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成的三角形区域为D(包含三角形内部与边界),若点P(x,y)是区域D内的任一点,则x+2y的取值范围是 .?解析:由y=x2,得y'=2x,从而可知切线的斜率k=2,因此抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.
切线y=2x-1与两坐标轴围成的三角形区域为D,如图所示阴影部分.1 2 3 4 51.下列函数满足f'(x)=f(x)的是( )
A.f(x)=ex B.f(x)=cos x
C.f(x)=sin x D.f(x)=ln x
答案:A1 2 3 4 52.下列选项中正确的是( ) 答案:D 1 2 3 4 53.若函数f(x)=xn在x=2处的导数值为12,则n= .?
解析:由题意知f'(2)=n·2n-1=12,得n=3.
答案:31 2 3 4 5解析:∵f'(x)=-sin x, 1 2 3 4 5∴与之垂直的直线斜率为-3.故所求直线方程为y-4=-3(x-8),
即3x+y-28=0.§4 导数的四则运算法则
课后训练案巩固提升
A组
1.已知f(x)=x2+2xf'(1),则f'(0)等于( )
A.2 B.-2 C.-4 D.0
解析:∵f'(x)=2x+2f'(1),∴f'(1)=2+2f'(1).
∴f'(1)=-2.
∴f'(x)=2x+2×(-2)=2x-4.∴f'(0)=-4.
答案:C
2.下列函数中,导函数是偶函数的是( )
A.y=sin x B.y=ex
C.y=ln x D.y=cos x-12
解析:由y=sin x得y'=cos x为偶函数;∵当y=ex时,y'=ex为非奇非偶函数,∴B错;∵y=ln x的定义域为x>0,∴C错;D中y=cos x-12时,y'=-sin x为奇函数,故D错.
答案:A
3.设f(x)=sin x+cos x,则f(x)在x=π4处的导数f'π4=( )
A.2 B.-2
C.0 D.22
解析:∵f'(x)=cos x-sin x,
∴f'π4=cosπ4-sinπ4=0.
答案:C
4.曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A.x-3y+3=0 B.x-2y+2=0
C.2x-y+1=0 D.3x-y+1=0
解析:根据题意知y'=cos x+ex,又曲线y=sin x+ex在点(0,1)处的切线的斜率为cos 0+e0=2,因此该切线的方程是y-1=2x,即2x-y+1=0.
答案:C
5.曲线y=2x3-6x上切线平行于x轴的点的坐标为( )
A.(-1,4) B.(1,-4)
C.(-1,-4)或(1,4) D.(-1,4)或(1,-4)
解析:y'=6x2-6,由y'=0,得x=±1,分别代入y=2x3-6x,得y=-4或y=4,即所求点为(1,-4)或(-1,4).
答案:D
6.若f(x)=x2-2x-4ln x,则f'(x)>0的解集为 .?
解析:由f(x)=x2-2x-4ln x,得函数的定义域为(0,+∞),且f'(x)=2x-2-4x=2x2-2x-4x=2(x+1)(x-2)x,由f'(x)>0,解得x>2.故f'(x)>0的解集为(2,+∞).
答案:(2,+∞)
7.设f(x)=ex+xe+ea,则f'(x)= .?
解析:f'(x)=(ex)'+(xe)'+(ea)'=ex+exe-1.
答案:ex+exe-1
8.若曲线C:y=x3-2ax2+2ax上任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,则实数a的取值范围是 .?
解析:∵曲线在任意一点处的切线的倾斜角都是锐角,
∴y'=3x2-4ax+2a>0恒成立.
∴Δ=16a2-24a<0.∴0答案:09.求下列函数的导数:
(1)y=x·cos x+x;
(2)y=sin4x4+cos4x4;
(3)y=lgxxn.
解(1)y'=(x·cos x)'+(x)'
=cos x-x·sin x+12x-12.
(2)∵y=sin4x4+cos4x4
=sin2x4+cos2x42-2sin2x4·cos2x4
=1-12sin2x2=1-12·1-cosx2
=34+14cos x,
∴y'=34+14cosx'=-14sin x.
(3)y'=(lgx)'xn-lgx·(xn)'(xn)2
=xnxln10-lgx·n·xn-1x2n=xn-11ln10-n·lgxx2n
=1-n·lgx·ln10xn+1·ln10.
10.导学号88184024设函数f(x)=ax+1x+b(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.
(1)求f(x)的解析:式;
(2)求证:曲线y=f(x)上任一点的切线与直线x=1和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,并求出此定值.
(1)解f'(x)=a-1(x+b)2,于是2a+12+b=3,a-1(2+b)2=0,
解得a=1,b=-1或a=94,b=-83.
∵a,b∈Z,∴f(x)=x+1x-1.
(2)证明在曲线y=f(x)上任取一点x0,x0+1x0-1.
由f'(x0)=1-1(x0-1)2,知过此点的切线方程为
y-x02-x0+1x0-1=1-1(x0-1)2(x-x0).
令x=1,得y=x0+1x0-1,即切线与直线x=1的交点为1,x0+1x0-1;
令y=x,得y=2x0-1,即切线与直线y=x的交点为(2x0-1,2x0-1);
直线x=1与直线y=x的交点为(1,1).
∴三条直线围成的三角形面积为
12x0+1x0-1-1|2x0-1-1|
=122x0-1|2x0-2|=2.
故所围成的三角形面积为定值2.
B组
1.直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点A(1,3),则2a+b的值为( )
A.2 B.-1 C.1 D.-2
解析:由条件可知,点A(1,3)在直线y=kx+1上,则k=2.
∵点A在曲线y=x3+ax+b上,
∴a+b+1=3,即a+b=2.
由y=x3+ax+b,得y'=3x2+a,
∴3+a=k=2.
∴a=-1,b=3.∴2a+b=1.
答案:C
2.导学号88184025函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)(a,b,c是两两互不相等的常数),则af'(a)+bf'(b)+cf'(c)= .?
解析:∵f(x)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc,∴f'(x)=3x2-2(a+b+c)x+ab+bc+ca.
∴f'(a)=(a-b)(a-c),同理f'(b)=(b-a)(b-c),f'(c)=(c-a)(c-b).
代入原式,得af'(a)+bf'(b)+cf'(c)=0.
答案:0
3.导学号88184026对正整数n,设曲线y=xn(1-x)在x=2处的切线与y轴交点的纵坐标为{an},求数列ann+1的前n项和的公式.
解∵y=xn(1-x),
∴y'=nxn-1(1-x)-xn=nxn-1-(n+1)xn.
∴当x=2时,y'=n·2n-1-(n+1)2n=-(n+2)·2n-1,f(2)=-2n.
∴所求的切线方程为y+2n=-(n+2)·2n-1(x-2),令x=0,则y=(n+1)·2n.
∴an=(n+1)·2n,ann+1=2n.
故数列ann+1的前n项和为2(1-2n)1-2=2n+1-2.
4.设函数f(x)=x3+2ax2+bx+a,g(x)=x2-3x+2,其中x∈R,a,b为常数,已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点(2,0)处有相同的切线,求a,b的值,并写出切线l的方程.
解f'(x)=3x2+4ax+b,g'(x)=2x-3,
由于曲线y=f(x)与y=g(x)在(2,0)处有相同的切线,故有f(2)=g(2)=0,f'(2)=g'(2)=1.
由此得8+8a+2b+a=0,12+8a+b=1,解得a=-2,b=5.
所以切线l的方程为x-y-2=0.
课件23张PPT。§4 导数的四则运算法则导数的运算法则
(1)函数的和差的导数:[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
(2)函数的乘积的导数:[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
特别地,当g(x)=k时,有[kf(x)]'=kf'(x).名师点拨1.导数运算法则的特点.
对于积与商的导数运算法则,应避免出现“积的导数就是导数的积,商的导数就是导数的商”这类想当然的错误.应特别注意积与商中符号的异同,积的导数法则中是“+”,商的导数法则中分子上是“-”.
2.应用运算法则时的注意点.
解决函数求导的问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则,对较为复杂的求导运算,在求导之前应先将函数化简,再求导,以减少运算量.
3.运算法则的推广.
导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导仍然成立.两个函数和(差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况,即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]'=f'1(x)±f'2(x)±f'3(x)±…±f'n(x).【做一做1】 函数f(x)=sin x+x的导数是( )
A.f'(x)=cos x+1 B.f'(x)=cos x-1
C.f'(x)=-cos x+1 D.f'(x)=-cos x+x
解析:f'(x)=(sin x+x)'=(sin x)'+(x)'=cos x+1.
答案:A思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.
(1)在导数的运算法则中,f(x),g(x)不能是常数函数. ( )
(2)[f(x)·g(x)]'=f'(x)·g'(x)在任何情况下都不成立. ( )
(3)商的导数在一定情况下可以转化为乘积的导数. ( )
(4)[c·f(x)]'=c·f'(x). ( )× × √ √ 探究一探究二思维辨析利用导数的四则运算法则求导
【例1】 求下列函数的导数.分析:仔细观察和分析各函数的结构特征,紧扣求导运算法则,联系基本函数求导公式,不具备求导法则条件的要进行适当变形.探究一探究二思维辨析解:(1)y'=(xtan x)'=x'tan x+x(tan x)' (2)y'=(x4-3x2-5x+6)'
=(x4)'-(3x2)'-(5x)'+6'=4x3-6x-5.探究一探究二思维辨析反思感悟应用导数的运算法则求函数导数的技巧
(1)解决函数的求导问题,应先分析所给函数的结构特点,选择正确的公式和法则.
(2)对三角函数在求导之前可先利用三角恒等变换进行化简,再进行求导.
(3)在函数中有两个以上的因式相乘时,要注意多次使用积的求导法则,能展开的先展开成多项式,再求导.探究一探究二思维辨析变式训练1函数y=sin x·cos x的导数是( )
A.sin2x B.cos2x
C.sin 2x D.cos 2x
解析:y'=(sin x·cos x)'=(sin x)'cos x+sin x(cos x)'=cos2x-sin2x=cos 2x.
答案:D探究一探究二思维辨析变式训练2求下列函数的导数.
(1)y=2x·lg x;∴y'=(1+cos x)'=-sin x. 探究一探究二思维辨析导数计算的综合应用
【例2】 设函数f(x)=ax- (x≠0),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为7x-4y-12=0.
(1)求f(x)的解析式;
(2)证明:曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线y=x所围成的三角形面积为定值,并求此定值.
分析:(1)利用求导公式求得切线的斜率,建立关于a,b的方程组求解;(2)由导数的几何意义表示出切线方程,根据题意表示出三角形的面积.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析将y=x与曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程联立,即曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与直线y=x的交点坐标为(2x0,2x0).
所以,曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线与y轴和直线y=x所围成的
三角形面积为即曲线y=f(x)上任意一点处的切线与y轴和直线y=x所围成的三角形的面积为定值,此定值为6.探究一探究二思维辨析反思感悟涉及导数几何意义的问题,可根据导数公式和运算法则,快速求得函数的导数,代入曲线切点处横坐标即可求得曲线在该点处的切线斜率,这样比利用导数定义要快捷得多.探究一探究二思维辨析变式训练3曲线y=xex+2x+1在点(0,1)处的切线方程为 .?
解析:因为y'=ex+xex+2,所以曲线在点(0,1)处切线的斜率k=e0+0+2=3,所以所求切线方程为y-1=3x,即y=3x+1.
答案:y=3x+1探究一探究二思维辨析因运算法则应用不恰当而造成失误
【典例】 求下列函数的导数.
(1)y=(x2+1)2;(2)y=cos2 .
易错分析:求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是否能够直接求导,若不能直接求导,则可先对函数解析式进行合理的恒等变换,转化为易于求导的结构形式,再求导.如本例题(1)先展开,后求导,例题(2)进行三角恒等变换后求导.解:(1)∵y=(x2+1)2=x4+2x2+1,
∴y'=(x4+2x2+1)'=(x4)'+(2x2)'+1'=4x3+4x.探究一探究二思维辨析纠错心得1.应用基本初等函数求导公式和法则,一定要熟记公式,透彻理解函数结构特点,恰当选择公式,挖掘内在联系和规律.
2.对较复杂函数求导时一般先进行恒等变形,常见形式有把乘积式展开,分式形式变为和或差的形式,根式化为分数指数幂,三角形式多为三角恒等变换.探究一探究二思维辨析变式训练求下列函数的导数. ∴y'=(x2+x3+x4)'=(x2)'+(x3)'+(x4)'=2x+3x2+4x3. 1 2 3 4答案:A 1 2 3 42.已知直线y=3x+1与曲线y=ax3+3相切,则a的值为( )
A.1 B.±1 C.-1 D.-2由①②可得x0=1,a=1.答案:A 1 2 3 43.已知抛物线y=ax2+bx-5(a≠0)在点(2,1)处的切线方程为y=-3x+7,则a= ,b= .?解析:令y=f(x)=ax2+bx-5(a≠0),
则f'(x)=2ax+b,∴f'(2)=4a+b.即4a+b=-3.
又点(2,1)在y=ax2+bx-5上,
∴4a+2b-5=1,即4a+2b=6.答案:-3 9 1 2 3 4∴a,b的值分别为1,0. §5 简单复合函数的求导法则
课后训练案巩固提升
A组
1.函数f(x)=(1-2x)10在点x=0处的导数是( )
A.0 B.1 C.20 D.-20
解析:∵f'(x)=10(1-2x)9(1-2x)'=-20(1-2x)9,
∴f'(0)=-20.
答案:D
2.设y=1+a+1-x,则y'等于( )
A.121+a+121-x B.121-x
C.121+a?121-x D.-121-x
解析:y'=(1+a)'+(1-x)'
=12(1-x)-12×(-1)=-121-x .
答案:D
3.若函数f(x)=3cos2x+π3,则f'π2等于( )
A.-33 B.33 C.-63 D.63
解析:∵f'(x)=-6sin2x+π3,
∴f'π2=-6sinπ+π3=6sinπ3=33.
答案:B
4.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形面积为( )
A.13 B.12 C.23 D.1
解析:∵y'=-2e-2x,∴k=-2e0=-2.
因此切线方程为y-2=-2(x-0),即y=-2x+2.
如图所示,∵y=-2x+2与y=x的交点为23,23,y=-2x+2与x轴的交点坐标为(1,0),
∴S=12×1×23=13.
答案:A
5.函数y=cos 2x+sinx的导数为( )
A.-2sin 2x+cosx2x B.2sin 2x+cosx2x
C.-2sin 2x+sinx2x D.2sin 2x-cosx2x
解析:y'=(cos 2x+sinx)'=(cos 2x)'+(sinx)'=-sin 2x·(2x)'+cosx·(x)'=-2sin 2x+cosx2x.
答案:A
6.若f(x)=(2x+a)2,且f'(2)=20,则a= .?
解析:∵f'(x)=[(2x+a)2]'=2(2x+a)·(2x+a)'=4(2x+a),∴f'(2)=4(4+a)=20.∴a=1.
答案:1
7.已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为 .?
解析:设切点为(x0,y0),则y0=x0+1,y0=ln(x0+a),
即x0+1=ln(x0+a),
∵y'=1x+a,∴1x0+a=1,即x0+1=ln 1=0.
∴x0=-1.∴a=2.
答案:2
8.求下列函数的导数.
(1)f(x)=e6x-4; (2)g(x)=sin2xx+1;
(3)y=e2x+e-2xex+e-x; (4)y=log2(2x2+3x+1).
解(1)f'(x)=(e6x-4)'=e6x-4·(6x-4)'=6e6x-4.
(2)g'(x)=sin2xx+1'
=(sin2x)'(x+1)-(x+1)'sin2x(x+1)2
=2cos2x·(x+1)-sin2x(x+1)2
=2(x+1)cos2x-sin2x(x+1)2.
(3)∵y=e2x+e-2xex+e-x=(ex+e-x)2-2ex+e-x
=ex+e-x-2ex+e-x=ex+e-x-2exe2x+1,
∴y'=(ex)'+(e-x)'-2exe2x+1'
=ex-e-x-2ex·(e2x+1)-2ex·2e2x(e2x+1)2
=ex-e-x-2ex(1-e2x)(e2x+1)2.
(4)y'=[log2(2x2+3x+1)]'=log2e2x2+3x+1(2x2+3x+1)'=(4x+3)log2e2x2+3x+1.
9.导学号88184027曲线f(x)=e2x·cos 3x上点(0,1)处的切线与直线l的距离为5,求l的方程.
解由题意知,f'(x)=(e2x)'cos 3x+e2x(cos 3x)'
=2e2xcos 3x-3e2xsin 3x.
则曲线在点(0,1)处的切线的斜率为k=f'(0)=2,
该切线方程为y-1=2x,即y=2x+1.
设直线l的方程为y=2x+m,则d=|m-1|5=5,解得m=-4或m=6.
当m=-4时,l的方程为y=2x-4,即2x-y-4=0.
当m=6时,l的方程为y=2x+6,即2x-y+6=0.
综上可知,l的方程为2x-y-4=0或2x-y+6=0.
B组
1.曲线y=ex2在点(4,e2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为( )
A.92e2 B.4e2 C.2e2 D.e2
解析:∵y'=ex2'=ex2·x2'=12ex2,
∴k=12e42=12e2.
∴切线方程为y-e2=12e2(x-4),
即y=12e2x-e2.
∴S=12×|-e2|×2=e2.
答案:D
2.导学号88184028若点P是函数y=ex-e-x-3x ?12≤x≤12 图像上任意一点,且在点P处切线的倾斜角为α,则α的最小值是( )
A.5π6 B.3π4 C.π4 D.π6
解析:由导数的几何意义,得k=y'=ex+e-x-3≥2ex·e-x-3=-1,当且仅当x=0时等号成立,
即tan α≥-1,α∈[0,π),所以α的最小值是3π4.故选B.
答案:B
3.求下列函数的导数.
(1)y=11-2x2;(2)y=esin x;
(3)y=sin2x; (4)y=5log2(2x+1).
解(1)设y=u-12,u=1-2x2,
则y'x=y'u·u'x=(u-12)'(1-2x2)'
=-12u-32·(-4x)
=-12(1-2x2)-32·(-4x)=2x(1-2x2)-32.
(2)设y=eu,u=sin x,则y'x=y'u·u'x=eu·cos x=esin x·cos x.
(3)设y=u2,u=sin x,y'x=y'u·u'x=2u·cos x=2sin x·cos x=sin 2x.
(4)设y=5log2u,u=2x+1,则y'=5(log2u)'(2x+1)'=10uln2=10(2x+1)ln2.
4.设f(x)=ln(x+1)+x+1+ax+b(a,b∈R),曲线y=f(x)与直线y=32x在点(0,0)相切,试求a,b的值.
解由y=f(x)过点(0,0),得b=-1.
∵y=f(x)在点(0,0)处的切线斜率为32,
f'(x)=1x+1+12x+1+a,
∴f'(0)=32+a=32,得a=0.
∴a=0,b=-1.
5.导学号88184029已知函数f(x)=ln(x+1),x>0,x2,x≤0,
g(x)=3x+1,求f(g(x))和g(f(x))的导数.
解(1)∵当g(x)>0,即x>-13时,f(g(x))=ln(g(x)+1)=ln(3x+2);
当g(x)≤0,即x≤-13时,f(g(x))=(g(x))2=(3x+1)2=9x2+6x+1;
∴f(g(x))=ln(3x+2),x>-13,9x2+6x+1,x≤-13.
当x>-13时,设u=3x+2,
则f'x=f'u·u'x=1u·3=33x+2.
当x≤-13时,f'(g(x))=(9x2+6x+1)'=18x+6.
∴f'(g(x))=33x+2,x>-13,18x+6,x≤-13.
(2)g(f(x))=3f(x)+1=3ln(x+1)+1,x>0,3x2+1,x≤0.
当x>0时,设v=x+1,则gx'=gv'·vx'=3x+1.
当x≤0时,g'(f(x))=(3x2+1)'=6x.
∴g'(f(x))=3x+1,x>0,6x,x≤0.
课件20张PPT。§5 简单复合函数的求导法则复合函数的导数
(1)定义:对于两个函数y=f(u)和u=φ(x)=ax+b,给定x的一个值,就得到了u的值,进而确定了y的值,这样y可以表示成x的函数,我们称这个函数为函数y=f(u)和u=φ(x)的复合函数,记作y=f(φ(x)).其中u=φ(x)为中间变量.
(2)导数公式:复合函数y=f(φ(x))的导数为yx'=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).
名师点拨求复合函数的导数的注意事项
(1)分析清楚复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成,适当选定中间变量.
(2)尽可能地先将函数化简,再求导.
(3)要注意复合函数求导法则与四则运算的综合运用.
(4)复合函数的求导过程可简记为分解—求导—回代,熟练以后,可以省略中间过程.【做一做1】 指出下列函数是怎样复合而成的: 解:(1)令u=g(x)=2x,则y=sin u,u=2x,
y=f(u)=f(g(x))=sin 2x.(3)令u=g(x)=1-2x,则y=logau,u=1-2x,
y=f(u)=f(g(x))=loga(1-2x).【做一做2】 求下列函数的导数.
(1)y=(2x+1)5;解:(1)设u=2x+1,则y=u5,
∴y'x=y'u·u'x=(u5)'·(2x+1)'=5u4·2=10u4=10(2x+1)4.
(2)设u=1-3x,则y=u-4,∴y'x=y'u·u'x=(u-4)'·(1-3x)'=-4u-5·(-3)思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画“×”.× √ 探究一探究二思维辨析复合函数求导
【例1】 求下列函数的导数:
(1)y=(2x+1)n(n∈N+);
(2)y=sin(4x+3);
(3)y=xcos 2x.
解:(1)y'=[(2x+1)n]'=n(2x+1)n-1·(2x+1)'
=2n(2x+1)n-1.
(2)y'=[sin(4x+3)]'=cos(4x+3)·(4x+3)'=4cos(4x+3).
(3)y'=(xcos 2x)'=x'·cos 2x+(cos 2x)'·x
=cos 2x-2xsin 2x.探究一探究二思维辨析反思感悟求复合函数的导数要处理好以下环节:
(1)中间变量的选择应是基本初等函数结构;
(2)关键是正确分析函数和复合层次;
(3)一般是从最外层开始,由外及里,一层层的求导;
(4)善于把一部分表达式作为一个整体;
(5)最后要把中间变量换成自变量的函数;
(6)复合函数求导,中间步骤可以省略,不必写出函数复合过程,可以直接应用公式和法则,从最外层开始由外及里逐层求导.探究一探究二思维辨析变式训练1已知函数f(x)=ln(2x+1),则f'(0)=( )
A.0 B.1 C.2 D.答案:C 探究一探究二思维辨析变式训练2求下列函数的导数. 探究一探究二思维辨析综合应用 分析:先利用复合函数的求导法则求出函数f(x)的导数,再利用导数的几何意义求切线方程.探究一探究二思维辨析探究一探究二思维辨析反思感悟根据导数的运算法则和复合函数求导法则可以求任何一个初等函数的导数,从而解决了初等函数的求导问题,进而可以解决与导数有关的实际问题.探究一探究二思维辨析答案:2 变式训练4设曲线y=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .?
解析:∵y'=a·eax,且y=f(x)=eax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,∴k=2=f'(0)=a,即a=2.
答案:2探究一探究二思维辨析没有分清复合函数的复合结构而致误
【典例】 求函数y=x·e1-2x的导数.
易错分析:对e1-2x的求导应按照复合函数的求导法则进行,即(e1-2x)'=e1-2x·(1-2x)'=-2·e1-2x.
解:y'=e1-2x+x(e1-2x)'=e1-2x+x·e1-2x(1-2x)'
=e1-2x-2xe1-2x=(1-2x)e1-2x.
纠错心得1.求导数一定要弄清楚函数的结构特征,分清是直接求导函数,还是利用复合函数的导数公式求导.
2.复合函数y=f(φ(x))的导数为y'x=[f(φ(x))]'=f'(u)φ'(x).即对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数,乘中间变量对自变量的导数,分步计算时,每一步都要明确是对哪个变量求导.探究一探究二思维辨析解:令y=ln u,u=2x+3, 1 2 3 4 51.函数y=cos (1+x2)的导数是( )
A.2xsin (1+x2) B.-sin (1+x2)
C.-2xsin (1+x2) D.xsin (1+x2)
解析:y'=-sin (1+x2)·(1+x2)'=-2xsin (1+x2).
答案:C1 2 3 4 52.函数y=e2x-4上x=2处的切线方程为( )
A.2x-y-3=0 B.2x+y-3=0
C.ex-y-2e+1=0 D.ex+y+2e-1=0
解析:∵y'=(e2x-4)'=e2x-4·(2x-4)'=2e2x-4,
∴k=2e2×2-4=2.
把x=2代入y=e2x-4,得y=1,
∴切点为(2,1).
∴函数y=e2x-4上x=2处的切线方程为y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
答案:A1 2 3 4 5 3.设函数f(x)=cos( x+φ)(0<φ<π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ= .?1 2 3 4 54.求下列函数的导数. 1 2 3 4 5