《函数及其图像》培优测试
( 时间 90 分钟，满分： 100 分 )
一、 单选题 （每题 3 分，共 8 题 24 分）
1. 函数 中，自变量 的取值范围是
A ． B ． C ． D ．
2. 已知函数 ，当 x ＝ 1 或 3 时，对应的两个函数值相等，则实数 b 的 值是（ ）
A ． 1 B ．－ 1 C ． 2 D ．－ 2
3. 如图 1 ，在矩形 ABCD 中，动点 P 从点 B 出发，沿 BC ， CD ， DA 运动至点 A
停止．设点 P 运动的路程为 x ，△ ABP 的面积为 y ，如果 y 关于 x 的函数图象如图
2 所示，则△ ABC 的面积是 （ ）
A ． 10 B ． 16 C ． 18 D ． 20
4. 已知一次函数 y ＝ kx + b , 当 0≤ x ≤2 时 , 对应的函数值 y 的取值范围是－ 2≤ y
≤4, 则 kb 的值为（ ）
A ． 12 B ．－ 6 C ． 6 或 12 D ．－ 6 或－ 12
5. 已知点 M （ 1 ， a ）和点 N （ 2 ， b ）是一次函数 y = ﹣ 2 x +1 图象上的两点， 则 a 与 b 的大小关系 为 （ ）
A ． a ＞ b B ． a = b C ． a ＜ b D ．以上都不对
6. 已知点 A （ 1 ， y 1 ）、 B （ 2 ， y 2 ）、 C （﹣ 3 ， y 3 ）都在反比例函数 的图象上，则 y 1、 y 2 、 y 3 的大小关系是 （ ）
A ． y 3 ＜ y 1 ＜ y 2 B ． y 1 ＜ y 2 ＜ y 3
C. y 2 ＜ y 1 ＜ y 3 D ． y 3 ＜ y 2 ＜ y1
7. 反比例函数 y ＝和正比例函数 y ＝ mx 的图象如图所示．由此可以得到方程
＝ mx 的实数根为（ ）
A ． x ＝－ 2 B ． x ＝ 1 C ． x 1 ＝ 2 ， x 2 ＝－ 2 D ． x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝－ 2
8. 如右上图，在平面直角坐标系中， BA ⊥ y 轴于点 A ， BC ⊥ x 轴于点 C ，函数
的图象分别交 BA ， BC 于点 D ， E . 当 AD : BD =1:3 且 BDE 的面
积为 18 时，则 的值是（ ）
A ． 9.6 B ． 12 C ． 14.4 D ． 16
二、 填空题 （每题 3 分，共 8 题 24 分）
9.函数中x的取值范围是
10. 若一次函数 y = kx + b 的自变量的取值范围是－ 3≤ x ≤6 ，则相应函数值的取值 范围是－ 5≤ y ≤ － 2 ，这个函数的解析式为
11. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A （ 2 ， 3 ），点 B （﹣ 2 ， 1 ），在 x
轴上存在点 P 到 A ， B 两点的距离之和最小，则 P 点的坐标是 ．
12. 已知一次函数 y = x ＋ b 与反比例函数 y =中， x 与 y 的对应值如下表：
则不等式x ＋ b >的解集为 ．
13. 已知函数 和 的图象交于点 P , 根据图象可得，求关于 x 的不等 式 ax + b ＞ kx 的解是 .
14. 下表给出的是关于某个一次函数的自变量 x 及其对应的函数值 y 的若干信息， 请你根据表格中的相关数据计算： m ＋ 2 n = .
．
15. 将直线 y =2 x － 4 向上平移 5 个单位后，所得直线的解析式是 ．
16. 如图，点 A 是反比例函数 y = 的图象上﹣点，过点 A 作 AB ⊥ x 轴，垂足为点
B ，线段 AB 交反比例函数 y = 的图象于点 C ，则△ OAC 的面积为 ．
三、 解答题 （共 7 小题， 52 分）
17. （ 5 分）如图一次函数 y = kx + b 的图象经过点 A （－ 1 ， 3 ）和点 B （ 2 ，
－ 3 ）
（ 1 ）描出 A （－ 1 ， 3 ）和点 B （ 2 ，－ 3 ），画出一次函数 y = kx + b 的图 象
（ 2 ） y 随 x 的增大而 （ 填 “ 增大 ” 或 “ 减小 ” ）
18. （ 7 分）如 右上 图，在平面直角坐标系中，函数 y=x 的图象 是第一、三象 限的角平分线．
(1) 实验与探究：由图观察易知 A （ 0 ， 2 ）关于直线 的对称点 的坐标为
（ 2 ， 0 ），请在图中分别标明 B （ 5 ， 3 ） 、 C （－ 2 ， 5 ） 关于直线 的 对称点 B’、 C’的位置，并写出它们的坐标 : B’ 、 C’ ；
(2) 归纳与发现：结合图形观察以上三组点的坐标，
你会发现：坐标平面内任一点 P （ m ， n ）关于第一、三象限的角平分线 的对 称点 P’的坐标为 .
19. （ 7 分）如 下 图，在方格纸中（小正方形的边长为 1 ），反比例函数 与 直线的交点 A 、 B 均在格点上，根据所给的直角坐标系（ O 是坐标原点），解答 下列问题：
（ 1 ）①分别写出点 A 、 B 的坐标；
②把直线 AB 向右平移 5 个单位，再向上平移 5 个单位，求出平移后直线 A ′ B ′ 的 解析式；
（ 2 ）若点 C 在函数 的图象上，△ ABC 是以 AB 为底的等腰三角形，请写出点 C 的坐标．
20. （ 8 分）已知，一次函数 的图象与反比例函数的图象都 经过点 ．
（ 1 ）求 的值及反比例函数的表达式；
（ 2 ）判断点 是否在该反比例函数的图象上，请说明理由．
21. （ 8 分）今秋，某市白玉村水果喜获丰收，果农王灿收获枇杷 20 吨，桃子 12 吨．现计划租用甲、乙两种货车共 8 辆将这批水果全部运往外地销售，已知一辆甲 种货车可装枇杷 4 吨和桃子 1 吨，一辆乙种货车可装枇杷和桃子各 2 吨．
（ 1 ）王灿如何安排甲、乙两种货车可一次性地运到销售地？有几种方案？
（ 2 ）若甲种货车每辆要付运输费 300 元，乙种货车每辆要付运输费 240 元，则 果农王灿应选择哪种方案，使运输费最少？最少运费是多少？
22. （ 9 分）（ 1 ）用图象的方法解方程组
方程组的解为 .
(2) 用图像法解方程 x 3 = x 时，小明已画出了 y = x 3 的图像，请你再画出一个函 数图像，求出方程的解。
方程 x 3 = x 的解是 .
23. （ 8 分） 如图所示，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为 y ℃，从加热开始计算的时间为 x 分钟．据了解，该材料在加热过程中温度 y 与时 间 x 成一次函数关系，已知该材料在加热前的温度为 l 5 ℃，加热 5 分钟使材料温 度达到 60 ℃时停止加热，停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度 y 与时间 x 成反比例函数关系．
（ 1 ）分别求出该材料加热和停止加热过程中 y 与 x 的函数关系（要写出 x 的取值 范围）；
（ 2 ）根据工艺要求，在材料温度不低于 30 ℃的这段时间内，需要对该材料进行 特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间为多少分钟？
参考 答案
1. 答案： B .
解析： 试题分析：依题意，得 x +2≥0 ，
解得 x ≥ － 2 ．
故选 B ．
考点： 1. 函数自变量的取值范围； 2. 二次根式有意义的条件．
2. 答案： C .
解析： 试题分析：本题考查了函数值的知识，难度不大，代入后解方程时，要注
意运用绝对值的性质．将 x =1 和 x =3 分别代入，可得： |1 － b |=|3 － b | ，所以：
1 － b =3 － b （舍去）或 1 － b = b － 3 ，解得 b =2 ．故选 C ．
考点：函数 ?
3. 答案： A
4. 知识点： 待定系数法求一次函数解析式
答案： D .
解析： 试题分析：（ 1 ）当 k ＞ 0 时， y 随 x 的增大而增大，即一次函数为增函
数，
∴当 x =0 时， y = － 2 ，当 x =2 时， y =4 ，
代入一次函数解析式 y = kx + b 得：
解得 ，
∴ kb =3× （－ 2 ） = － 6 ；
（ 2 ）当 k ＜ 0 时， y 随 x 的增大而减小，即一次函数为减函数，
∴当 x =0 时， y =4 ，当 x =2 时， y = － 2 ，
代入一次函数解析式 y = kx + b 得： ，
解得 ，
∴ kb = － 3×4= － 12 ．
所以 kb 的值为－ 6 或－ 12 ．
故选 D ．
考点：待定系数法求一次函数解析式．
5. 答案： A ．
解析： 试题分析：∵ k = － 2 ＜ 0 ，
∴ y 随 x 的增大而减小，
∵ 1 ＜ 2 ，
∴ a ＞ b ．
故选 A ．
考点：一次函数图象上点的坐标特征．
6. 答案： D
解析： 试题分析：分别把各点横坐标代入反比例函数 求出 y 1 、 y 2 、， y 3
的值，再比较出其大小即可：
∵点 A （ 1 ， y 1 ）、 B （ 2 ， y 2 ）、 C （﹣ 3 ， y 3 ）都在反比例函数 的
图象上，
∴ ，
∵ 6 ＞ 3 ＞﹣ 2 ，∴ y 1 ＞ y 2 ＞ y 3 。故选 D
7. 答案： C ．
解析： 试题分析：如图，反比例函数 y = 和正比例函数 y = mx 相交于点 A （﹣
2 ， 1 ），
∴另一个交点为：（ 2 ，﹣ 1 ），
∴方程 = mx 的实数根为： x 1 =2 ， x 2 = ﹣ 2 ．
故选 C ．
考点：反比例函数图象的对称性．
8. 答案： D ．
解析： 试题分析：如图，过点 D 作 DF ⊥ x 轴于点 F ，过点 E 作 EG ⊥ y 轴于点 G ．
设 B （ 4 a ， b ）， E （ 4 a ， d ），
∵ AD ： BD =1 ： 3 ，∴ D （ a ， b ）．
又∵△ BDE 的面积为 18 ，∴ BD =3 a ， BE =" b － d ."
∴ ×3 a （ b － d ） =18 ，即 a （ b － d ） =12 ，即 ab － ad =12.
∵ D ， E 都在反比例函数图象上，∴ ab ="4 ad ." ∴ 4 ad － ad =12 ，解得： ad =4.
∴ k =4 ad =16 ．
故选 D ．
考点：反比例函数系数 k 的几何意义．
9. 答案： .
解析： 试题分析：根据函数解析式为分式且含有二次根式，分式的分母不能为 0 ，
二次根式的被开方数为非负数可得： ， 解得：
考点： 1 、分式有意义的条件； 2 、二次根式有意义的条件
10. 知识点： 点的坐标、函数自变量的取值范围、待定系数法求一次函数解析式
答案：
解析： 试题分析：根据一次函数的增减性，可知本题分两种情况：①当 k ＞ 0 时，
y 随 x 的增大而增大，把 x = － 3 ， y = － 5 ； x =6 ， y = － 2 代入一次函数的解
析式 y = kx + b ，运用待定系数法即可求出函数的解析式；②当 k ＜ 0 时， y 随 x
的增大而减小，把 x = － 3 ， y = － 2 ； x =6 ， y = － 5 代入一次函数的解析式 y =
kx + b ，运用待定系数法即可求出函数的解析式．
分两种情况：
①当 k ＞ 0 时，把 x = － 3 ， y = － 5 ； x =6 ， y = － 2 代入一次函数的解析式 y
= kx + b ，
得 解得 ，
则这个函数的解析式是 ；
②当 k ＜ 0 时，把 x = － 3 ， y = － 2 ； x =6 ， y = － 5 代入一次函数的解析式 y
= kx + b ，
得 解得 ，
则这个函数的解析式是 ；
故这个函数的解析式是 或
考点：本题考查的是待定系数法求一次函数解析式
点评：根据一次函数图象的性质分两种情况是解决本题的关键．
11. 答案： （﹣ 1 ， 0 ）．
解析： 试题分析：作 A 关于 x 轴的对称点 C ，连接 BC 交 x 轴于 P ，则此时 AP +
BP 最小，求出 C 的坐标，设直线 BC 的解析式是 y = kx + b ，把 B 、 C 的坐标代入
求出 k 、 b ，得出直线 BC 的解析式，求出直线与 x 轴的交点坐标即可．
试题解析 : 作 A 关于 x 轴的对称点 C ，连接 BC 交 x 轴于 P ，则此时 AP + BP 最小，
∵ A 点的坐标为（ 2 ， 3 ）， B 点的坐标为（﹣ 2 ， 1 ），
∴ C （ 2 ，﹣ 3 ），
设直线 BC 的解析式是： y = kx + b ，
把 B 、 C 的坐标代入得：
解得 ．
即直线 BC 的解析式是 y = ﹣ x ﹣ 1 ，
当 y =0 时，﹣ x ﹣﹣ 1=0 ，
解得： x = ﹣ 1 ，
∴ P 点的坐标是（﹣ 1 ， 0 ）．
考点： 1. 轴对称－最短路线问题； 2. 坐标与图形性质．
12. 答案： x ＞ 1 或－ 2 ＜ x ＜ 0
解析： 试题分析：根据表中数据得到一次函数 y = x + b 与反比例函数 y = 的图
象交点坐标为（－ 2 ，－ ）和（ 1 ， 3 ），再画出函数图象，然后利用函数图
象求解．
由表可得一次函数 y = x + b 与反比例函数 y = 的图象交点坐标为（－ 2 ，－ ）
和（ 1 ， 3 ），如图，
所以当 x ＞ 1 或－ 2 ＜ x ＜ 0 时，一次函数 y = x + b 的值大于反比例函数 y =
的值．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
13. 答案： x ＜－ 4 ．
解析： 试题分析：求使 ax + b ＞ kx 的 x 的取值范围，即求对于相同的 x 的取值，
直线 x + b 落在直线 kx 的上方时，对应的 x 的取值范围．直接观察图象，可得出结
果．
试题解析：由图象可知，当 x ＜－ 4 时，直线 ax + b 落在直线 kx 的上方，
故使不等式 ax + b ＞ kx 成立时 x 的取值范围是： x ＜－ 4 ．
故答案是： x ＜－ 4 ．
考点 : 一次函数与一元一次不等式．
14. 答案： 6.
解析： 试题分析：本题考查待定系数法求函数解析式的知识，比较简单，注意掌
握待定系数法的运用．设 y = kx + b ，将（－ 1 ， m ）、（ 1 ， 2 ）、（ 2 ， n ）
代入即可得出答案．解：设一次函数解析式为： y = kx + b ，则可得：－ k + b = m
①； k + b =2 ②； 2 k + b = n ③； m +2 n = ① +2× ③ =3 k +3 b =3×2=6 ．故答案
为： 6 ．
考点：待定系数法求一次函数解析式．
15. 知识点： 一次函数图象与几何变换
答案： y =2 x +1.
解析： 试题分析：根据平移的性质，向上平移几个单位 b 的值就加几．
由题意得：向上平移 5 个单位后的解析式为： y =2 x － 4+5=2 x +1 ．
故填： y =2 x +1 ．
考点：一次函数图象与几何变换
16. 答案： 2
解析： 试题分析：∵ AB ⊥ x 轴，
∴ S △ AOB = ×|6|=3 ， S △ COB = ×|2|=1 ，
∴ S △ ACB = S △ AOB ﹣ S △ COB =2 ．
故答案为 2 ．
考点：反比例函数系数 k 的几何意义
17. 答案： （ 1 ）略 ……………… 3 分 ； （ 2 ）减小 …………………… 5 分
解析： 试题分析： y = kx + b 的图象经过点 A （－ 1 ， 3 ）和点 B （ 2 ，－ 3 ），
则有－ x + b =3 和 2 x + b = － 3 两个方程，从而求出 x = － 2 ， b =1 ， y = － 2 x
+1 ，故 y 随着 x 的增大而减小
考点：本题考查了一次函数的求解
点评： 此类试题属于难度一般的试题，考生只需把该一次函数解出即可
18. 答案： (1) B ′ （ 3 ， 5 ）， C ′ （ 5 ， ） ……………… 4 分 (2) （ n ，
m ） ………… 7 分
19. 答案： （ 1 ）① ；② ；（ 2 ）（－ 2 ，－ 2 ）
或（ 2 ， 2 ）．
解析： 试题分析：（ 1 ）①直接根据图象写出点 A 、 B 的坐标 .
②求出点 A ′ ， B ′ 的坐标，应用待定系数法求解 .
（ 2 ）看 AB 的垂直平分线与抛物线哪两点相交即可．
（ 1 ）① . …………………………………………………… 2 分
②把直线 AB 向右平移 5 个单位，再向上平移 5 个单位，得到 . ……
3 分
设平移后直线 A ′ B ′ 的解析式为 ，
则 ， 解得 . …………………………………………………… 4 分
∴平移后直线 A ′ B ′ 的解析式为 . ………………………………………… 5 分
（ 2 ） C 点的坐标为 C 1 （－ 2 ，－ 2 ）或 C 2 （ 2 ， 2 ）． ………………………………
7 分
考点： 1. 反比例函数综合题；一 2. 次函数图象与平移变换．
20. 答案： （ 1 ） ；（ 2 ）对称轴直线 ， 顶点坐标
.
解析： 试题分析：（ 1 ）根据一次函数解析式，求得点 A 的坐标，将点 A 坐标代
入反比例函数中，得到反比例函数解析式；（ 2 ）将点 B 坐标代入反比例函数中，
看是否满足该反比例函数 .
试题解析：（ 1 ）将 代入 中得： ， 解得： ， 即
，
将 代入反比例解析式中得： ， 则反比例解析式为 ； ………… 4
分
（ 2 ）将 代入反比例解析式得： ， 则点 在反比例图象
上． …… 8 分
【考点】因式分解
21. 知识点： 一元一次不等式组的应用、一次函数的应用、一次函数的性质
答案： （ 1 ）安排甲、乙两种货车有三种方案 …………………………………… 4 分
（ 2 ）方案一运费最少，最少运费是 2 040 元 …………………………………… 8 分
22. 答案：
方程组的解为 ……………………………………………… 3 分
解析： 试题分析： (1) 将方程组的两道方程分别对应的图象画在图中，两个函数图
象交点处即为方程组的解；
方程 x 3 =x 的解是 x = － 1 ， x = － 1 ， x =0 …………………………………………
9 分
题后反思：需要注意的是函数图象的交点横纵即为方程组的解 ，函数图象的交点
横坐标就是相应方 程的解。
23. 答案： （ 1 ） ， ；（ 2 ） .
解析： 试题分析：（ 1 ）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待
定系数法求得函数的解析式即可；（ 2 ）分别令两个函数的函数值为 30 ，解得两
个 x 的值相减即可得到答案 .
试题解析：（ 1 ）设加热过程中一次函数表达式为 ，
∵该函数图像经过点（ 0 ， 15 ），（ 5 ， 60 ），
∴ ，解得 .
∴一次函数表达式为 。
设加热停止后反比例函数表达式为 ，
该函数图像经过点（ 5 ， 60 ），∴ ， 解得 .
∴反比例函数表达式为 . ………………………………………………………… 4 分
（ 2 ）由题意得： ，解得 ； 解得 ，则
.
所以对该材料进行特殊处理所用的时间为 分钟 . ………………………………………………
8 分
考点： 1. 反比例函数和一次函数的应用； 2. 待定系数法的应用； 3. 曲线上点的坐
标与方程的关系
