8．2 三角恒等变换
8．2.1 两角和与差的余弦
学习目标 1.了解两角差的余弦公式的推导过程.2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
知识点 两角和与差的余弦公式
对任意α与β，都有
Cα－β：cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.
Cα＋β：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.
1．cos(40°－30°)＝cos 40°－cos 30°.( × )
2．对任意α与β，都有cos(α－β)＝sin βsin α＋cos βcos α.( √ )
3．cos(α－β)＝cos α－cos β一定不成立．( × )
4．cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( √ )
一、公式的正用与逆用
例1 计算下列各式的值．
(1)cos；
(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；
(3)cos 75°－sin 75°.
解 (1)cos＝cos
＝cos
＝cos cos ＋sin sin
＝×＋×
＝.
(2)原式＝－sin 100° sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)
＝－cos 60°＝－.
(3)cos 75°－sin 75°
＝cos 60°cos 75°－sin 60°sin 75°
＝cos(60°＋75°)
＝cos 135°
＝－cos 45°
＝－.
反思感悟 两角和与差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解．
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解．
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和与差，然后利用两角和与差的余弦公式求解．
跟踪训练1 化简下列各式：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；
(2)cos 15°－sin 15°.
解 (1)原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)]
＝cos 45°＝.
(2)原式＝
＝(cos 45°cos 15°－sin 45°sin 15°)
＝cos(45°＋15°)
＝cos 60°
＝.
二、给值求值
例2 已知cos α＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，求cos β的值．
解 ∵α，β∈，∴α＋β∈(0，π)．
又∵cos α＝，cos(α＋β)＝－，
∴sin α＝＝，
sin(α＋β)＝＝.
又∵β＝(α＋β)－α，
∴cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝×＋×＝.
延伸探究
本例中若把α，β∈改为α，β∈(0，π)，求cos β的值．
解 α，β∈(0，π)，∴α＋β∈(0,2π)，
又cos α＝，∴sin α＝，
cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝±，
当sin(α＋β)＝时，cos β＝，
当sin(α＋β)＝－时，
cos β＝×＋×＝－.
反思感悟 给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换．常见角的变换有
①α＝(α－β)＋β.
②α＝＋.
③2α＝(α＋β)＋(α－β)．
④2β＝(α＋β)－(α－β)．
跟踪训练2 已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求cos 2α的值．
解 ∵<β<α<，
∴0<α－β<，π<α＋β<，
∴sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－.
∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]
＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)
＝×－×＝－.
三、给值求角
例3 已知α，β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．
解 ∵α，β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝.
∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
＝×＋×＝.
又sin α
故α－β＝－.
反思感悟 已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围．
(2)求所求角的某种三角函数值．
(3)结合三角函数值及角的范围求角．
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案．
跟踪训练3 已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，求β的值．
解 由cos α＝，0<α<，得
sin α＝＝＝.
由0<β<α<，
得0<α－β<.
又∵cos(α－β)＝，
∴sin(α－β)＝
＝＝.
∵β＝α－(α－β)，
∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝×＋×＝.
∵0<β<，∴β＝.
1．计算cos cos ＋cos sin 的值是( )
A．0 B. C. D.
答案 C
解析 cos cos ＋cos sin
＝cos cos ＋sin sin ＝cos
＝cos ＝.
2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b等于( )
A. B. C. D．－
答案 A
解析 a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°
＝cos(60°－15°)＝cos 45°＝.
3．已知cos α＝，α∈，则cos的值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为α∈，所以sin α＝－，
所以cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝×＋×＝.
4．已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos β的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，
所以sin α＝，sin(α＋β)＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α
＝×＋×＝.
5．sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°＝ .
答案
解析 sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°
＝cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°
＝cos(50°＋10°)＝cos 60°＝.
1．知识清单：
(1)两角和与差的余弦公式的推导．
(2)给角求值，给值求值，给值求角．
2．方法归纳：角的构造．
3．常见误区：求角时忽视角的范围．
1．化简cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)的结果为( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 原式＝cos(α－45°)cos(α＋15°)＋sin(α－45°)sin(α＋15°)＝cos[(α－45°)－(α＋15°)]
＝cos(－60°)＝.
2．计算sin 53°cos 23°－sin 37°cos 67°的值为( )
A．－ B. C. D．－
答案 B
解析 sin 53°cos 23°－sin 37°cos 67°
＝cos 37°cos 23°－sin 37°sin 23°
＝cos(37°＋23°)
＝cos 60°
＝.
3．已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 ∵cos α＝－，α∈，∴sin α＝.
又sin β＝－，β是第三象限角，
∴cos β＝－.
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α
＝－×＋×＝－.
4．已知cos＝，0＜θ＜，则cos θ等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 ∵θ∈，∴θ＋∈，
∴sin＝＝，
∴cos θ＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝×＋×＝.
5．若cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 因为α，β∈，
所以α＋β∈(0，π)，β－∈.
又因为cos(α＋β)＝，sin＝，
所以sin(α＋β)＝＝，
cos＝＝，
所以cos
＝cos
＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin
＝×＋×＝.
故选C.
6．cos 75°－cos 15°的值等于 ．
答案 －
解析 原式＝cos(120°－45°)－cos(45°－30°)
＝cos 120°cos 45°＋sin 120°sin 45°－(cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°)
＝－×＋×－×－×＝－.
7．已知cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α＝m，且β为第三象限角，则sin β＝ .
答案 －
解析 ∵cos(α－β)cos α＋sin(α－β)sin α
＝cos[(α－β)－α]＝cos(－β)＝m，∴cos β＝m.
又∵β为第三象限角，
∴sin β＝－＝－.
8．在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos C＝ .
答案
解析 因为cos B＝－，且0所以所以sin B＝＝ ＝，
且0所以cos A＝＝＝，
cos C＝－cos(A＋B)＝－(cos Acos B－sin Asin B)
＝－＝.
9．若x∈，且sin x＝，求2cos＋2cos x的值．
解 因为x∈，sin x＝，所以cos x＝－.
所以2cos＋2cos x
＝2＋2cos x
＝2＋2cos x
＝sin x＋cos x
＝－＝.
10．已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.
(1)求sin(α＋π)的值；
(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．
解 (1)由角α的终边过点P得sin α＝－，
所以sin(α＋π)＝－sin α＝.
(2)由角α的终边过点P得cos α＝－，
由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.
由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，
所以cos β＝－或cos β＝.
11．函数f (x)＝cos 2xcos ＋sin 2xsin 的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 D
解析 f (x)＝cos 2xcos ＋sin 2xsin
＝cos 2xcos －sin 2xsin ＝cos.
由2kπ－π≤2x＋≤2kπ，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ－，k∈Z，
得该函数的单调增区间为(k∈Z)．
12．若cos(α－β)＝，cos 2α＝，并且α，β均为锐角且α<β，则α＋β的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵α，β∈，且α<β，
∴α－β∈，2α∈(0，π)，
∴sin(α－β)＝－，sin 2α＝，
∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]
＝cos 2αcos(α－β)＋sin 2αsin(α－β)
＝×＋×＝－，
∵α＋β∈(0，π)，
∴α＋β＝.
13．满足sin x－cos x＝－的角x等于 ．
答案 －
解析 因为sin x－cos x＝－
＝－cos＝－，
所以cos＝.
因为－所以x＋＝－，即x＝－.
14.的值是 ．
答案
解析 原式＝
＝
＝＝.
15．已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－，则cos(α－β)＝ .
答案
解析 将cos α－cos β＝两边平方，得
(cos α－cos β)2＝cos2α＋cos2β－2cos αcos β＝.①
将sin α－sin β＝－两边平方，得
(sin α－sin β)2＝sin2α＋sin2β－2sin αsin β＝.②
①＋②，得2－2(cos αcos β＋sin αsin β)＝，
∴cos αcos β＋sin αsin β＝，
∴cos(α－β)＝.
16．已知cos(2α－β)＝－，sin(α－2β)＝，且0<α<，0<β<，求α＋β的值．
解 因为0<α<，0<β<，
所以－<2α－β<π，
因为cos(2α－β)＝－<0，
所以<2α－β<π.
所以sin(2α－β)＝，
因为0<α<，0<β<，
所以－π<α－2β<.
因为sin(α－2β)＝>0，
所以0<α－2β<，
所以cos(α－2β)＝，
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β)
＝×＋×＝.
又因为0<α＋β<π，
所以α＋β＝.
课件30张PPT。8.2.1 两角和与差的余弦第八章 8.2 三角恒等变换学习目标XUE XI MU BIAO1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角和与差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进
行求值、计算.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 两角和与差的余弦公式对任意α与β，都有
Cα－β：cos(α－β)＝ .
Cα＋β：cos(α＋β)＝ .cos αcos β＋sin αsin βcos αcos β－sin αsin β1.cos(40°－30°)＝cos 40°－cos 30°.( )
2.对任意α与β，都有cos(α－β)＝sin βsin α＋cos βcos α.( )
3.cos(α－β)＝cos α－cos β一定不成立.( )
4.cos 30°cos 120°＋sin 30°sin 120°＝0.( )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU×√×√2题型探究PART TWO一、公式的正用与逆用例1 计算下列各式的值.(2)sin 460°sin(－160°)＋cos 560°cos(－280°)；解 原式＝－sin 100° sin 160°＋cos 200°cos 280°
＝－sin 100°sin 20°－cos 20°cos 80°
＝－(cos 80°cos 20°＋sin 80°sin 20°)＝cos 60°cos 75°－sin 60°sin 75°
＝cos(60°＋75°)
＝cos 135°
＝－cos 45°两角和与差的余弦公式常见题型及解法
(1)两特殊角和与差的余弦值，利用两角和与差的余弦公式直接展开求解.
(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角和与差的余弦公式求解.
(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的和与差，然后利用两角和与差的余弦公式求解.跟踪训练1 化简下列各式：
(1)cos(θ＋21°)cos(θ－24°)＋sin(θ＋21°)sin(θ－24°)；解 原式＝cos[θ＋21°－(θ－24°)](2)cos 15°－sin 15°.二、给值求值又∵β＝(α＋β)－α，∴cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α延伸探究解 α，β∈(0，π)，∴α＋β∈(0,2π)，给值求值的解题策略
(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有
①α＝(α－β)＋β.
③2α＝(α＋β)＋(α－β).
④2β＝(α＋β)－(α－β).∴cos 2α＝cos[(α－β)＋(α＋β)]
＝cos(α－β)·cos(α＋β)－sin(α－β)sin(α＋β)三、给值求角∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β已知三角函数值求角的解题步骤
(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.
(2)求所求角的某种三角函数值.
(3)结合三角函数值及角的范围求角.
提醒：在根据三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.∵β＝α－(α－β)，∴cos β＝cos[α－(α－β)]
＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)3随堂演练PART THREE√123452.若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b等于√12345解析 a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°√12345√所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α123455.sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°＝ .12345解析 sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°
＝cos 50°cos 10°－sin 50°sin 10°1.知识清单：
(1)两角和与差的余弦公式的推导.
(2)给角求值，给值求值，给值求角.
2.方法归纳：角的构造.
3.常见误区：求角时忽视角的范围.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束