8．2.2 两角和与差的正弦、正切(一)
学习目标 1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、计算等.3.能利用辅助角公式研究形如f?(x)＝asin x＋bcos x的函数的性质．
知识点一 两角和与差的正弦
Sα＋β：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.
Sα－β：sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.
其中α，β是任意角．
知识点二 辅助角公式
asin x＋bcos x
＝
＝sin(x＋φ)．
其中cos φ＝，sin φ＝.
1．sin 15°＝ .
答案
2．sin 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝ .
答案
3．sin α＝，α∈，则sin＝ .
答案
4．化简：sin x－cos x＝ .
答案 sin
一、公式的正用、逆用
例1 化简求值．
(1)sin 165°；
(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；
(3).
解 (1)sin 165°＝sin(120°＋45°)
＝sin 120°cos 45°＋cos 120°sin 45°
＝×－×＝.
(2)原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)
＝sin 30°
＝.
(3)
＝
＝
＝
＝sin 30°＝.
反思感悟 解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形．
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式．
跟踪训练1 计算：(1)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；
(2).
解 (1)原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.
(2)原式＝
＝
＝＝－.
二、给值求值(角)
例2 已知sin＝，cos＝，且0<α<<β<，求cos(α＋β)．
解 ∵0<α<<β<，
∴<＋α<π，－<－β<0.
又∵sin＝，cos＝，
∴cos＝－，sin＝－.
∴cos(α＋β)＝sin
＝sin
＝sincos－cossin
＝×－×＝－.
反思感悟 (1)给值求值的策略
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式．
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解．
跟踪训练2 已知α∈，β∈，且cos(α－β)＝，sin β＝－，求α的值．
解 ∵α∈，β∈，∴α－β∈(0，π)．
∵cos(α－β)＝，∴sin(α－β)＝.
∵sin β＝－，∴cos β＝.
∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β
＝×＋×＝.
又α∈，∴α＝.
三、辅助角公式及应用
例3 已知f?(x)＝sin＋cos.
(1)求f?(x)的最大值及相应x的取值集合；
(2)若x∈，求f?(x)的取值范围．
解 (1)f?(x)＝
＝
＝sin
＝sin.
当x＋＝＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，f?(x)max＝，
此时x的取值集合为.
(2)∵x∈，
∴x＋∈，
∴sin∈，
∴f?(x)∈，
∴当x∈时，f?(x)的取值范围是.
反思感悟 asin x＋bcos x化简的步骤
(1)提常数，提出得到·.
(2)定角度，确定一个角θ满足：cos θ＝，sin θ＝一般θ为特殊角，则得到(cos θsin x＋sin θcos x)(或(sin θsin x＋cos θcos x))．
(3)化简、逆用公式得asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(或asin x＋bcos x＝cos(x－θ))
跟踪训练3 已知函数f?(x)＝cos 2x－sin 2x，x∈R.
(1)求f?(x)的最小正周期与值域；
(2)求f?(x)的单调递增区间．
解 (1)f?(x)＝－sin 2x＋cos 2x
＝－2
＝－2
＝－2sin，x∈R.
∴f?(x)的最小正周期T＝＝π，值域为[－2,2]．
(2)由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.
∴函数的单调递增区间为(k∈Z)．
1．sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝.
2．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 A
3．已知cos＝(α为锐角)，则sin α等于( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 因为α∈，
所以α＋∈.
所以sin＝
＝＝.
所以sin α＝sin
＝sincos －cossin
＝×－×＝.
4．函数f?(x)＝sin x＋cos x(x∈R)的值域是 ．
答案 [－2,2]
解析 ∵f?(x)＝2＝2sin.
∴f?(x)∈[－2,2]．
5．已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α－β为第 象限角．
答案 四
解析 ∵α，β为锐角，∴－<α－β<，
又sin α＝，cos β＝，
∴cos α＝，sin β＝.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝×－×
＝－.
∴α－β为第四象限角．
1．知识清单：
(1)公式的推导．
(2)公式的正用、逆用、变形用．
(3)给值求值、求角．
(4)辅助角公式及应用．
2．方法归纳：公式的构造，角的构造．
3．常见误区：求值或求角时忽视角的范围．
1．下面各式中，不正确的是( )
A．sin＝sin cos ＋cos
B．cos ＝sin －cos cos
C．cos＝cos cos ＋
D．cos ＝cos －cos
答案 D
解析 ∵sin ＝，∴A正确；
∵cos ＝－cos ＝－cos，∴B正确；
∵cos＝cos，∴C正确；
∵cos ＝cos≠cos －cos ，
∴D不正确．
2．化简sin＋sin等于( )
A．－sin x B．sin x C．－cos x D．cos x
答案 B
解析 sin＋sin
＝sin x＋cos x＋sin x－cos x＝sin x.
3．计算cos ＋sin 的值是( )
A. B．2 C．2 D.
答案 B
解析 cos ＋sin
＝2
＝2
＝2sin
＝2sin ＝2.
4．在△ABC中，A＝，cos B＝，则sin C等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)
＝sin Acos B＋cos Asin B＝(cos B＋)
＝×＝.
5．已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0<β<α<，那么β等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵0<β<α<，∴0<α－β<，
由cos α＝得sin α＝，
由cos(α－β)＝得sin(α－β)＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝＝，
∴β＝.
6．已知cos＝sin，则tan α＝ .
答案 1
7．已知函数f?(x)＝sin 2x－cos 2x，则f?(x)的对称轴方程为 ．
答案 x＝π＋，k∈Z
解析 f?(x)＝2＝2sin.
令2x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝π＋，k∈Z.
8．已知cos＝，则sin＝ .
答案
解析 由于0<α－<，cos＝，
所以sin＝.
所以sin＝sin
＝sin·＋cos·
＝×＋×＝.
9．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，求sin的值．
解 ∵sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α
＝sin(α－β)cos α－cos(α－β)sin α
＝sin(α－β－α)＝sin(－β)＝－sin β＝，
∴sin β＝－，
又β是第三象限角，
∴cos β＝－＝－，
∴sin＝sin βcos ＋cos βsin
＝×＋×＝－.
10．已知函数f?(x)＝3sin ωx－cos ωx(ω>0)，f?(x)的最小正周期为π.
(1)求f?(x)；
(2)将f?(x)的图像向右平移φ个单位得到g(x)的图像，若g(x)为奇函数，求最小正数φ.
解 (1)f?(x)＝2
＝2sin，
∵周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
∴f?(x)＝2sin.
(2)g(x)＝2sin
＝2sin，
∵g(x)为奇函数，
∴－2φ－＝kπ，
∴φ＝－－，k∈Z，∵φ>0，
∴φmin＝.
11．在△ABC中，若sin A＝2sin Bcos C，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
答案 D
解析 ∵∠A＝180°－(∠B＋∠C)，
∴sin A＝sin(B＋C)＝2sin Bcos C.
又∵sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C，
∴sin Bcos C－cos Bsin C＝sin(B－C)＝0.
∴∠B＝∠C，故△ABC为等腰三角形．
12．函数f?(x)＝cos x－cos，x∈，则f?(x)的最小值为( )
A．－ B．－ C．－1 D．0
答案 B
解析 f?(x)＝cos x－cos x＋sin x＝cos x＋sin x＝sin，∵x∈，
∴x＋∈，∴当x＋＝－，即x＝－时f?(x)min＝－.
13．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)等于( )
A．0 B．1 C．－ D.
答案 C
解析 ∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1，①
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0，②
①②两式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
∴sin(α＋β)＝－.
14.＝ .
答案 1
解析 原式＝
＝
＝tan 45°＝1.
15．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cos α，sin α)．若·＝－1，则sin＝ .
答案 －
解析 ∵＝(cos α－3，sin α)，＝(cos α，sin α－3)，
∴·＝(cos α－3)cos α＋sin α(sin α－3)
＝cos2α－3cos α＋sin2α－3sin α＝1－3(sin α＋cos α)＝－1.
∴sin α＋cos α＝，
∴sin＝，
∴sin＝，
∴sin＝sin
＝－sin
＝－sin
＝－.
16．已知函数f?(x)＝sin(ωx＋φ)的图像关于直线x＝对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若f?＝，求cos的值．
解 (1)因为f?(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，
所以f?(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.
又因为f?(x)的图像关于直线x＝对称，
所以2·＋φ＝kπ＋，k∈Z，
由－≤φ<，得k＝0，
所以φ＝－＝－.
(2)由(1)得f?＝sin＝，
所以sin＝.
由<α<得0<α－<，
所以cos＝
＝ ＝.
因此cos＝－cos＝sin α
＝sin
＝sincos ＋cossin
＝×＋×＝.
课件35张PPT。8.2.2 两角和与差的正弦、正切(一)第八章 8.2 三角恒等变换学习目标XUE XI MU BIAO1.掌握由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦公式.
2.会用两角和与差的正、余弦公式进行简单的三角函数的化简、求值、
计算等.
3.能利用辅助角公式研究形如f?(x)＝asin x＋bcos x的函数的性质.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 两角和与差的正弦Sα＋β：sin(α＋β)＝ .
Sα－β：sin(α－β)＝ .
其中α，β是任意角.sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β知识点二 辅助角公式asin x＋bcos x其中cos φ＝ ，sin φ＝ .1.sin 15°＝ .预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN2.sin 45°cos 15°＋sin 45°sin 15°＝ .2题型探究PART TWO一、公式的正用、逆用例1 化简求值.
(1)sin 165°；解 sin 165°＝sin(120°＋45°)
＝sin 120°cos 45°＋cos 120°sin 45°(2)sin 14°cos 16°＋sin 76°cos 74°；解 原式＝sin 14°cos 16°＋cos 14°sin 16°
＝sin(14°＋16°)
＝sin 30°解决给角求值问题的方法
(1)对于非特殊角的三角函数式求值问题，一定要本着先整体后局部的基本原则，如果整体符合三角函数公式的形式，则整体变形，否则进行各局部的变形.
(2)一般途径有将非特殊角化为特殊角的和或差的形式，化为正负相消的项并消项求值，化分子、分母形式进行约分，解题时要逆用或变用公式.跟踪训练1 计算：(1)sin(54°－x)cos(36°＋x)＋cos(54°－x)sin(36°＋x)；解 原式＝sin[(54°－x)＋(36°＋x)]＝sin 90°＝1.二、给值求值(角)(1)给值求值的策略
①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)给值求角本质上为给值求值问题，解题时应注意对角的范围加以讨论，以免产生增解或漏解.∴sin α＝sin[(α－β)＋β]
＝sin(α－β)cos β＋cos(α－β)sin β三、辅助角公式及应用(1)求f?(x)的最大值及相应x的取值集合；asin x＋bcos x化简的步骤(1)求f?(x)的最小正周期与值域；(2)求f?(x)的单调递增区间.3随堂演练PART THREE1.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°等于√12345解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°
＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°√12345√123451234512345[－2,2]∴f?(x)∈[－2,2].∴α－β为第四象限角.四∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β123451.知识清单：
(1)公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
(3)给值求值、求角.
(4)辅助角公式及应用.
2.方法归纳：公式的构造，角的构造.
3.常见误区：求值或求角时忽视角的范围.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束8．2.2 两角和与差的正弦、正切(二)
学习目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．
知识点 两角和与差的正切公式
名称
简记符号
公式
使用条件
两角和的正切公式
Tα＋β
tan(α＋β)＝
α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)
两角差的正切公式
Tα－β
tan(α－β)＝
α，β，α－β均不等于kπ＋(k∈Z)
1．若tan α＝2，tan β＝，则tan(α－β)＝________.
答案
2．已知tan α＝2，则tan＝________.
答案 －3
3.＝________.
答案
4．tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β＝________.
答案
一、化简求值
例1 计算：
(1)tan 105°；
(2)；
(3)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)．
解 (1)tan 105°＝tan(60°＋45°)＝＝＝－2－.
(2)原式＝＝tan(60°－15°)＝tan 45°＝1.
(3)原式＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°·tan 24°，
∵tan 45°＝tan(21°＋24°)＝＝1，
∴tan 21°＋tan 24°＝1－tan 21°·tan 24°.
∴原式＝1＋(1－tan 21°·tan 24°)＋tan 21°·tan 24°＝2.
延伸探究
根据本例(3)，试计算：(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)·(1＋tan 23°)·(1＋tan 24°)．
解 由(3)知(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，
同理(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
∴原式＝2×2＝4.
反思感悟 公式Tα±β的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在Tα±β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，
如＝tan；＝tan.
(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑将Tα±β变形使用．
跟踪训练1 计算：
(1)；
(2)tan 23°＋tan 37°＋tan 23°·tan 27°.
解(1) 方法一 原式＝＝＝
＝＝－1.
方法二 原式＝
＝
＝tan(30°－75°)
＝tan(－45°)
＝－1.
(2)∵tan 60°＝tan(23°＋37°)
＝＝，
∴tan 23°＋tan 37°＝－tan 23°·tan 37°，
∴原式＝－tan 23°·tan 37°＋tan 23°·tan 37°＝.
二、条件求值
例2 (1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为( )
A．－3 B．－1 C．1 D．3
答案 A
解析 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，
所以tan(α＋β)＝＝＝－3.
(2)已知tan(α＋β)＝，tan＝，则tan＝________.
答案
解析 tan＝tan
＝
＝＝.
反思感悟 条件求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值．
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值．
跟踪训练2 已知sin α＝，α为第二象限的角，且tan(α＋β)＝－，则tan β的值为( )
A．－ B. C．－ D.
答案 C
解析 ∵α为第二象限角，∴cos α<0，cos α＝－，
∴tan α＝－.
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝－.
三、给值求角(值)
例3 已知tan α＝，tan β＝－2，且0<α<<β<π，
求：(1)tan(α－β)的值；
(2)角α＋β的值．
解 (1)tan(α－β)＝
＝＝7.
(2)∵tan(α＋β)＝＝＝－1，
又0<α<，<β<π，
∴<α＋β<，
∴α＋β＝.
反思感悟 利用公式求角的步骤
(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值．
(2)讨论角的范围：必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围．
(3)求角：借助角的范围及角的三角函数值求值．
跟踪训练3 已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 ∵tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]
＝＝＝－1，
∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，
∴α＝－＋(k∈Z)．
又∵α为锐角，
∴α＝－＝.
1．若tan α＝3，tan β＝，则tan(α－β)等于( )
A. B．－ C．3 D．－3
答案 A
解析 tan(α－β)＝＝＝.
2．若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于( )
A. B．－ C．1 D．－1
答案 A
解析 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝.
3．与相等的是( )
A．tan 66° B．tan 24° C．tan 42° D．tan 21°
答案 B
解析 原式＝＝tan(45°－21°)
＝tan 24°.
4．若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于( )
A.m B.(1－m) C.(m－1) D.(m＋1)
答案 B
解析 ∵28°＋32°＝60°，
∴tan 60°＝tan(28°＋32°)＝＝，
∴tan 28°＋tan 32°＝(1－m)．
5．在△ABC中，已知∠A，∠B都是锐角，且tan A＝，sin B＝，则∠C＝________.
答案
解析 ∵∠B为锐角，sin B＝，
∴cos B＝，∴tan B＝，
∴tan(A＋B)＝＝＝1.
∵0<∠A＋∠B<π，
∴∠A＋∠B＝，
∴∠C＝π－＝.
1．知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导．
(2)公式的正用、逆用、变形用．
(3)利用公式求值、求角．
2．方法归纳：整体思想，角的构造．
3．常见误区：公式中加减符号易记错．
1．计算：的值为( )
A. B．tan 6° C. D.
答案 C
解析 原式＝＝＝.
2．设sin α＝，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 C
解析 ∵sin α＝，∴tan α＝－.
∵tan(π－β)＝，∴tan β＝－.
∴tan(α－β)＝＝－.
3．已知tan α＝，tan(α－β)＝－，那么tan(β－2α)的值为( )
A．－ B．－ C．－ D.
答案 B
解析 tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝＝.
∴tan(β－2α)＝－tan(2α－β)＝－.
4．若A，B，C是△ABC的三个内角，且tan A，tan B是方程3x2－5x＋1＝0的两个实数根，则△ABC是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．无法确定
答案 A
解析 ∵tan A＋tan B＝，tan A·tan B＝，
∴tan(A＋B)＝，∴tan C＝－tan(A＋B)＝－，
∴∠C为钝角，即△ABC为钝角三角形．
5．若α＋β＝，则(1－tan α)·(1－tan β)等于( )
A. B．2
C．1＋ D．2(tan A＋tan B)
答案 B
解析 (1－tan α)(1－tan β)
＝1－(tan α＋tan β)＋tan α·tan β，①
又α＋β＝，∴tan(α＋β)＝＝－1，
∴tan α＋tan β＝－(1－tan α·tan β)，②
将②代入①有(1－tan α)(1－tan β)＝1＋1－tan α·tan β＋tan α·tan β＝2.
6．已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为______．
答案 3
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
＝＝3.
7．已知cos θ＝－，θ∈，则tan＝________.
答案 －
解析 cos θ＝－，且θ∈，∴sin θ＝－，
∴tan θ＝，
∴tan＝＝＝－.
8．若tan＝，则tan α＝________.
答案
解析 方法一 ∵tan＝
＝＝.
∴6tan α－6＝1＋tan α(tan α≠－1)，∴tan α＝.
方法二 tan α＝tan
＝＝＝.
9．已知tan＝2，tan(α－β)＝，α∈，β∈.
(1)tan α的值；
(2)求2α－β的值．
解 (1)tan＝＝2，得tan α＝.
(2)因为tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]
＝＝1，
又α∈，β∈，
得2α－β∈，所以2α－β＝.
10．已知tan α，tan β是方程x2＋3x＋4＝0的两根，且－<α<，－<β<，求角α＋β.
解 由已知得
∴tan α，tan β均为负，∴－<α<0，－<β<0.
∴tan(α＋β)＝＝＝.
∵－π<α＋β<0，∴α＋β＝－.
11．已知tan＝，tan＝－，则tan 的值为( )
A．1 B．－ C. D.
答案 D
解析 tan ＝tan
＝＝.
12．在△ABC中，∠A＋∠B≠，且tan A＋tan B＋＝tan A·tan B，则角C的值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 依题意tan A＋tan B＝tan A·tan B－，
∴tan(A＋B)＝＝＝－，
又tan C＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝，
∠C∈(0，π)，∴∠C＝.
13．已知tan α＝lg(10a)，tan β＝lg ，且α＋β＝，则实数a的值为( )
A．1 B. C．1或 D．1或10
答案 C
解析 ∵α＋β＝，
∴tan(α＋β)＝＝1，
tan α＋tan β＝1－tan αtan β，
即lg(10a)＋lg ＝1－lg(10a)·lg ，
1＝1－lg(10a)·lg ，
∴lg(10a)·lg ＝0.
∴lg(10a)＝0或lg ＝0.
得a＝或a＝1.
14．如果tan α，tan β是方程x2－3x－3＝0的两根，则＝________.
答案 －
解析 ＝
＝＝＝－.
15.如图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.
答案
解析 ∵AD⊥BC且BD∶CD∶AD
＝2∶3∶6，
∴tan∠BAD＝＝，
tan∠CAD＝＝.
tan∠BAC＝tan(∠CAD－∠BAD)
＝＝＝.
16．是否存在锐角α，β，使得α＋2β＝且tan tan β＝2－成立？若存在，求出锐角α，β的值；若不存在，说明理由．
解 假设存在锐角α，β使得α＋2β＝和tan tan β＝2－同时成立．
由α＋2β＝得＋β＝，
所以tan＝＝.
又tan tan β＝2－，
所以tan ＋tan β＝3－，
因此tan ，tan β可以看成是方程x2－(3－)x＋2－＝0的两个根，
解得x1＝1，x2＝2－.
因为α为锐角，所以0<<，所以tan ≠1，
所以tan ＝2－，tan β＝1，
所以α＝，β＝，
此时tan
＝tan
＝tan
＝2－，
所以满足条件的α，β存在，且α＝，β＝.
课件31张PPT。8.2.2 两角和与差的正弦、正切(二)第八章 8.2 三角恒等变换学习目标XUE XI MU BIAO1.能利用两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.
2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.
3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 两角和与差的正切公式预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN－34.tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan α·tan β＝____.2题型探究PART TWO一、化简求值 例1 计算：
(1)tan 105°；(3)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°).解 原式＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°·tan 24°，∴tan 21°＋tan 24°＝1－tan 21°·tan 24°.
∴原式＝1＋(1－tan 21°·tan 24°)＋tan 21°·tan 24°＝2.延伸探究
根据本例(3)，试计算：(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)·(1＋tan 23°)·(1＋tan 24°).解 由(3)知(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，
同理(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
∴原式＝2×2＝4.公式Tα±β的逆用及变形应用的解题策略
(1)“1”的代换：在Tα±β中，如果分子中出现“1”常利用1＝tan 来代换，以达到化简求值的目的，(2)整体意识：若化简的式子中出现了“tan α±tan β”及“tan α·tan β”两个整体，常考虑将Tα±β变形使用.跟踪训练1 计算：＝tan(30°－75°)＝tan(－45°)＝－1.二、条件求值例2 (1)设tan α，tan β是方程x2－3x＋2＝0的根，则tan(α＋β)的值为
A.－3 B.－1 C.1 D.3√解析 由题意知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2，条件求值问题的两种变换
(1)式子的变换：分析已知式子的结构特点，结合两角和与差的三角函数公式，通过变形，建立与待求式间的联系以实现求值.
(2)角的变换：首先从已知角间的关系入手，分析已知角与待求角间的关系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等关系，把待求的三角函数与已知三角函数巧妙地建立等量关系，从而求值.√三、给值求角(值)求：(1)tan(α－β)的值；(2)角α＋β的值.利用公式求角的步骤
(1)求值：根据题设条件求角的某一三角函数值.
(2)讨论角的范围：必要时还需根据已知三角函数值缩小角的范围.
(3)求角：借助角的范围及角的三角函数值求值.跟踪训练3 已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则角α等于√解析 ∵tan 2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]3随堂演练PART THREE√123452.若tan β＝3，tan(α－β)＝－2，则tan α等于√1234512345A.tan 66° B.tan 24° C.tan 42° D.tan 21°√4.若tan 28°·tan 32°＝m，则tan 28°＋tan 32°等于√12345解析 ∵28°＋32°＝60°，123451.知识清单：
(1)两角和与差的正切公式的推导.
(2)公式的正用、逆用、变形用.
(3)利用公式求值、求角.
2.方法归纳：整体思想，角的构造.
3.常见误区：公式中加减符号易记错.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
