8．2.4 三角恒等变换的应用
学习目标 1.能用倍角公式推导半角公式，体会其中的三角恒等变换的思想.2.了解积化和差、和差化积两组公式的推导过程.3.掌握三角恒等变换的简单应用．
知识点一 半角公式
：sin ＝±.
：cos ＝±.
：tan ＝±.
其中根号前的正负号，由角所在象限决定．
知识点二 积化和差公式
1．cos αcos β＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]．
2．sin αsin β＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]．
3．sin αcos β＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]．
4．cos αsin β＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]．
知识点三 和差化积公式
1．cos x＋cos y＝2cos cos .
2．cos x－cos y＝－2sin sin .
3．sin x＋sin y＝2sin cos .
4．sin x－sin y＝2cos sin .
1．sin 22.5°＝________.
答案
2．已知cos α＝，α∈，则tan ＝________.
答案
3．sin 45°cos 15°＝________.
答案
4．sin 75°＋sin 15°＝________.
答案
一、利用半角公式求值
例1 已知cos α＝，α为第四象限角，求sin ，cos ，tan .
解 sin ＝±＝±＝±，
cos ＝±＝±＝±，
tan ＝±＝±＝±.
∵α为第四象限角，∴为第二、四象限角．
当为第二象限角时，
sin ＝，cos＝－，tan ＝－；
当为第四象限角时，
sin ＝－，cos ＝，tan ＝－.
反思感悟 利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解．
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围．
(3)选公式：涉及半角公式的正切值时，常用tan ＝＝，其优点是计算时可避免因开方带来的求角的范围问题；涉及半角公式的正、余弦值时，常先利用sin2＝，cos2＝计算．
(4)下结论：结合(2)求值．
跟踪训练1 已知sin θ＝，＜θ＜3π，求cos 和tan .
解 ∵sin θ＝，且＜θ＜3π，
∴cos θ＝－＝－，
∴cos ＝－＝－，
tan ＝＝＝2.
二、利用积化和差、和差化积公式化简、求值
例2 求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.
解 原式＝cos 20°＋＋(cos 100°＋cos 140°)
＝cos 20°＋＋2cos 120°cos 20°
＝cos 20°＋－cos 20°＝.
反思感悟 套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来．
跟踪训练2 求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.
解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°
＝(sin 90°－sin 50°)－(cos 60°－cos 40°)
＝－sin 50°＋cos 40°
＝－sin 50°＋sin 50°＝.
三、积化和差、和差化积公式的应用
例3 已知函数f?(x)＝sincos.
(1)求f?(x)的值域；
(2)若x∈[0,2π]，求f?(x)的零点．
解 由积化和差公式可知f?(x)＝
＝
＝sin－，
∵sin∈[－1,1]，
∴f?(x)的值域为[－1,0]．
(2)令f?(x)＝0，∴sin＝1，
∴2x－＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ，k∈Z，∵x∈[0,2π]，
∴x＝或x＝，
∴f?(x)的零点为，.
反思感悟 求三角函数的周期、最值、值域、对称等性质，先利用积化和差、和差化积公式把函数化简成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再利用整体代换思想求性质．
跟踪训练3 已知函数f?(x)＝sin－sin.
(1)求f?(x)的周期；
(2)求f?(x)的最小值及最小值点．
解 (1)由和差化积公式可知f?(x)＝2cos·sin
＝2cossin
＝2cos·
＝－cos.
∴f?(x)的周期T＝π.
(2)令2x＋＝2kπ，k∈Z，得x＝－＋kπ，k∈Z，
∴当x＝－＋kπ，k∈Z时，f?(x)min＝－.
三角恒等式的证明
典例 (1)证明：＝tan ＋.
证明 ∵左边＝
＝＝
＝＝tan ＋＝右边，
∴原等式成立．
(2)在△ABC中，求证：sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝4sin Asin Bsin C.
证明 左边＝sin 2A＋sin 2B＋sin 2C
＝2sincos＋sin 2C
＝2sin(A＋B)cos(A－B)－2sin(A＋B)cos(A＋B)
＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]
＝2sin C·(－2)sin·sin
＝4sin Asin Bsin C＝右边，
[素养提升] 证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证．对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法．常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式的变形法等等，体现了逻辑推理和数学运算的核心素养．
1．若cos α＝，α∈(0，π)，则cos 的值为( )
A. B．－ C．± D．±
答案 A
解析 由题意知，∈，
∴cos >0，cos ＝＝.
2．已知tan ＝3，则cos θ等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 cos θ＝＝＝＝－.
3．sin 105°＋sin 15°等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 sin 105°＋sin 15°＝2sincos
＝2sin 60°cos 45°＝.
4．sin 37.5° cos 7.5°等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 sin 37.5°cos 7.5°
＝[sin(37.5°＋7.5°)＋sin(37.5°－7.5°)]
＝(sin 45°＋sin 30°)＝×＝.
故选C.
5．已知函数f?(x)＝cossin，则f?(x)的周期为________，最大值为________．
答案 －
解析 f?(x)＝
＝
＝sin－.
T＝＝，f?(x)max＝－.
1．知识清单：
(1)半角公式．
(2)积化和差公式．
(3)和差化积公式．
2．方法归纳：分类讨论，整体代换思想．
3．常见误区：积化和差、和差化积公式易记错、易混淆．
1．已知180°<α<360°，则cos 的值等于( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 C
2．化简的结果为( )
A．tan α B．tan 2α C. D.
答案 B
解析 ＝
＝＝tan 2α.
3．已知sin －cos ＝－，450°＜α＜540°，则tan 的值为( )
A．2 B. C．－2 D．－
答案 A
解析 已知等式两边平方得sin α＝，
又450°＜α＜540°，
所以225°<<270°，cos α＝－，
所以tan ＝＝2.
4．若cos(α＋β)cos(α－β)＝，则cos2α－sin2β等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 ∵cos(α＋β)cos(α－β)＝(cos 2α＋cos 2β)
＝[(2cos2α－1)＋(1－2sin2β)]＝cos2α－sin2β，
∴cos2α－sin2β＝.
5．函数y＝coscos的最大值为( )
A. B．－ C．1 D.
答案 D
解析 y＝
＝
＝－cos 2x，
因为－1≤cos 2x≤1，所以ymax＝.
6．设5π＜θ＜6π，cos＝a，则sin 的值为________．
答案 －
解析 sin2＝，
∵θ∈(5π，6π)，∴∈.
∴sin ＝－＝－.
7.＝________.
答案 2
解析 ＝
＝＝2.
8．已知α－β＝，且cos α＋cos β＝，则cos(α＋β)＝________.
答案 －
解析 ∵cos α＋cos β＝2cos cos
＝2cos ·cos ＝cos ＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1＝2×－1＝－.
9．已知tan＝3，求sin θ－2cos2的值．
解 ∵tan＝3，∴＝3，
∴tan＝，
∴sin θ－2cos2＝sin θ－cos θ－1
＝－－1
＝－－1＝－.
10．已知函数f?(x)＝－＋，x∈(0，π)．
(1)将f?(x)表示成cos x的多项式；
(2)求f?(x)的最小值．
解 (1)f?(x)＝＝
＝2cos cos ＝cos 2x＋cos x
＝2cos2x＋cos x－1.
(2)∵f?(x)＝22－且－1∴当cos x＝－时，f?(x)取最小值－.
11．在△ABC中，若sin Asin B＝cos2，则△ABC是( )
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
答案 B
解析 ∵sin Asin B＝cos2，
∴－[cos(A＋B)－cos(A－B)]＝，
∴－cos(A＋B)＋cos(A－B)＝，
∴cos C＋cos(A－B)＝，
cos(A－B)＝，
cos(A－B)＝1，∵A，B∈(0，π)，
∴A－B＝0，∴A＝B，△ABC为等腰三角形．
12．已知sin θ＝，cos θ＝，则tan 等于( )
A．－ B．5
C．－5或 D．－或5
答案 B
解析 由sin2θ＋cos2θ＝1，得2＋2＝1，
解得m＝0或8.当m＝0时，sin θ＜0，不符合＜θ＜π.
∴m＝0舍去．故m＝8，sin θ＝，cos θ＝－，
tan ＝＝＝5.
13．若A＋B＝，则cos2A＋cos2B的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 cos2A＋cos2B＝＋
＝1＋(cos 2A＋cos 2B)
＝1＋cos ·cos
＝1＋cos(A＋B)·cos(A－B)
＝1＋cos ·cos(A－B)
＝1－cos(A－B)．
∵cos(A－B)∈[－1,1]，
∴cos2A＋cos2B∈.
14．若tan ＝3，则sin θ－cos θ的值是________．
答案
解析 因为tan ＝3，所以sin θ＝＝＝＝，
cos θ＝＝＝＝－.
所以sin θ－cos θ＝－＝.
15．在△ABC中，若B＝30°，则cos Asin C的取值范围为________．
答案
解析 由题意，得
cos Asin C＝[sin(A＋C)－sin(A－C)]
＝[sin(π－B)－sin(A－C)]＝－sin(A－C)．
∵B＝30°，
∴－150°＜A－C＜150°，
∴－1≤sin(A－C)≤1，
∴－≤－sin(A－C)≤.
∴cos Asin C的取值范围是.
16．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：(1)A＋C＝2B；
(2)＋＝－.求cos 的值．
解 ∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵－＝－2，∴＋＝－2.
∴cos A＋cos C＝－2cos Acos C.
由和差化积与积化和差公式，得
2cos cos ＝－[cos(A＋C)＋cos(A－C)]，
∴cos＝－.
化简，得4cos2＋2cos －3＝0.
∴＝0.
∵2cos ＋3≠0，
∴2cos －＝0，
∴cos ＝.
课件35张PPT。8.2.4 三角恒等变换的应用第八章 8.2 三角恒等变换学习目标XUE XI MU BIAO1.能用倍角公式推导半角公式，体会其中的三角恒等变换的思想.
2.了解积化和差、和差化积两组公式的推导过程.
3.掌握三角恒等变换的简单应用.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 半角公式其中根号前的正负号，由角 所在象限决定.知识点二 积化和差公式1.cos αcos β＝ .
2.sin αsin β＝ .
3.sin αcos β＝ .
4.cos αsin β＝ .1.cos x＋cos y＝ .
2.cos x－cos y＝ .
3.sin x＋sin y＝ .
4.sin x－sin y＝ .知识点三 和差化积公式1.sin 22.5°＝________.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN3.sin 45°cos 15°＝________.4.sin 75°＋sin 15°＝________.2题型探究PART TWO一、利用半角公式求值利用半角公式求值的思路
(1)看角：若已知三角函数式中的角是待求三角函数式中角的两倍，则求解时常常借助半角公式求解.
(2)明范围：由于半角公式求值常涉及符号问题，因此求解时务必依据角的范围，求出相应半角的范围.(4)下结论：结合(2)求值.二、利用积化和差、和差化积公式化简、求值例2 求值：cos 20°＋cos 60°＋cos 100°＋cos 140°.套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式，为了能够把三角函数式化为积的形式，有时需要把常数首先化为某个角的三角函数，然后再化积，有时函数不同名，要先化为同名再化积，化积的结果能求值则尽量求出值来.跟踪训练2 求值：sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°.解 sin 20°cos 70°＋sin 10°sin 50°三、积化和差、和差化积公式的应用(1)求f?(x)的值域；∴f?(x)的值域为[－1,0].(2)若x∈[0,2π]，求f?(x)的零点.求三角函数的周期、最值、值域、对称等性质，先利用积化和差、和差化积公式把函数化简成y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再利用整体代换思想求性质.(1)求f?(x)的周期；∴f?(x)的周期T＝π.(2)求f?(x)的最小值及最小值点.核心素养之逻辑推理与数学运算HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI YU SHU XUE YUN SUAN三角恒等式的证明∴原等式成立.(2)在△ABC中，求证：sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝4sin Asin Bsin C.证明 左边＝sin 2A＋sin 2B＋sin 2C＝2sin(A＋B)cos(A－B)－2sin(A＋B)cos(A＋B)
＝2sin C[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝4sin Asin Bsin C＝右边.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式的变形法等等，体现了逻辑推理和数学运算的核心素养.3随堂演练PART THREE√12345√123453.sin 105°＋sin 15°等于√123454.sin 37.5° cos 7.5°等于√12345解析 sin 37.5°cos 7.5°故选C.123451.知识清单：
(1)半角公式.
(2)积化和差公式.
(3)和差化积公式.
2.方法归纳：分类讨论，整体代换思想.
3.常见误区：积化和差、和差化积公式易记错、易混淆.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
