章末复习
一、向量数量积的计算
1．求平面向量的数量积主要有三种方法：一是利用定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；二是利用向量数量积的几何意义：a·b＝(|a|cos〈a，b〉)·|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；三是利用数量积的坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a·b＝x1x2＋y1y2.
2．掌握向量数量积的概念以及求向量数量积的基本方法，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例1 如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，求·.
解 由＝3，得＝＝，
＝＋＝＋，
＝－＝＋－＝－.
因为·＝2，
所以·＝2，
即2－·－2＝2.
又因为2＝25，2＝64，所以·＝22.
反思感悟 求数量积的两种常用方法：一是找基底，用基底表示已知和未知向量．从而转化成基底之间的运算；二是建系进行坐标运算．
跟踪训练1 已知在△ABC中，A＝，AB＝2，AC＝4，＝，＝，＝，则·的值为________．
答案 －
解析 E为AC的中点，F为AB的中点，D为BC的四等分点，以点A为原点建立直角坐标系，如图所示，
A(0,0)，B(2,0)，C(0,4)，∴F(1,0)，E(0,2)，D，
∴＝，＝.
∴·＝×＋1×(－1)＝－1＝－.
二、向量数量积的应用
1．主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算．
2．掌握向量的求模、求夹角公式以及向量垂直的数量积表示，提升逻辑推理和数学运算素养．
例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝|a－kb|(k>0)．
(1)用k表示数量积a·b；
(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小．
解 (1)由|ka＋b|＝|a－kb|，
得(ka＋b)2＝3(a－kb)2，
∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.
∵|a|＝＝1，|b|＝＝1，
∴k2－3＋8ka·b＋1－3k2＝0，∴a·b＝＝.
(2)由(1)知a·b＝＝.
由函数的单调性可知，f?(k)＝在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，
∴当k＝1时，f?(k)min＝f?(1)＝×(1＋1)＝，
此时a与b的夹角θ的余弦值cos θ＝＝，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
反思感悟 数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题
①设a＝(x1，y1)，则|a|＝.
②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π，a，b为非零向量)
cos θ＝＝ .
跟踪训练2 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小．
解 以BC的中点为坐标原点，BC，BC边上的高所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，设A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，
＝(0，a)，＝(c，a)，＝(c,0)，＝(2c,0)．
因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线，
所以＝(＋)＝，
同理＝.
因为⊥，所以·＝0，即－＋＝0，
化简得a2＝9c2.
又因为cos A＝＝＝＝，
所以顶角A的余弦值为.
三、三角函数式求值
1．三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角．注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换．
2．掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式并会灵活运用，提升逻辑推理与数学运算素养．
例3 已知α，β为锐角，cos α＝，tan(α－β)＝－，求cos β的值．
解 ∵α是锐角，cos α＝，∴sin α＝，tan α＝.
∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝＝.
∵β是锐角，∴cos β＝.
反思感悟 求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]，β＝[(α＋β)－(α－β)]等．
跟踪训练3 已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A. B．π或
C. D．2kπ＋(k∈Z)
答案 C
解析 由sin α＝，cos β＝且α，β为锐角，
可知cos α＝，sin β＝，
故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝×－×＝，
又0<α＋β<π，故α＋β＝.
四、三角函数式的化简与证明
1．三角函数式的化简与证明是常用内容，重点考查三角公式的正用、逆用以及变形用等等，要熟记公式以及公式的变形形式．
2．掌握三角函数公式以及变形形式并会灵活运用，提升逻辑推理素养．
例4 化简：(－π<α<0)．
解 原式＝
＝
＝＝.
因为－π<α<0，所以－<<0，所以sin <0，
所以原式＝＝cos α.
反思感悟 三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路
(1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系．
(2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来．
(3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一．
跟踪训练4 求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.
证明 左边＝－
＝
＝(cos 2Acos 2B－sin 2Asin 2B＋cos 2Acos 2B＋sin 2Asin 2B)
＝cos 2Acos 2B＝右边，所以等式成立．
五、三角恒等变换的应用
1．利用三角恒等变换研究函数的性质是重点考查题型，关键在于熟练运用三角公式，对解析式变形．常用倍角的降幂公式，辅助角公式以及积化和差与和差化积公式进行化简．
2．掌握利用三角公式及变形形式对函数式化简，重点提升逻辑推理与数学运算素养．
例5 已知函数f?(x)＝sinsin x－cos2x.
(1)求f?(x)的最小正周期和最大值；
(2)求f?(x)的单调递减区间．
解 (1)f?(x)＝sinsin x－cos2x
＝cos xsin x－(1＋cos 2x)＝sin 2x－cos 2x－＝sin－.
所以f?(x)的最小正周期为π，最大值为.
(2)令＋2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)，
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
∴f?(x)的单调递减区间为(k∈Z)．
反思感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质．
跟踪训练5 已知函数f?(x)＝sincos.
(1)求f?(x)的周期；
(2)若x∈，求f?(x)的值域．
解 (1)由积化和差公式可知f?(x)＝
＝sin＋sin
＝sin－，∴T＝＝.
(2)∵x∈，∴4x－∈，
∴sin∈，
∴f?(x)∈，
∴f?(x)的值域为.
1．设向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，若m⊥n，则实数x的值为( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
答案 C
解析 因为向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，m⊥n，
所以m·n＝(2x－1)×1＋3×(－1)＝2x－1－3＝0，解得x＝2.
2．如图，正方形ABCD的边长为2，＝，＝2，则·的值为( )
A．0 B．－1 C．2 D．－2
答案 A
解析 如图建系，依题意E为AB的中点，F为AD的中点，
∴C(2,2)，E(1,0)，B(2,0)，F(0,1)，∴＝(－1，－2)，＝(－2,1)，
∴·＝(－1)×(－2)＋(－2)×1＝0.
3．若＝－，则sin α＋cos α的值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 由题意得＝－(sin α＋cos α)＝－，所以sin α＋cos α＝.
4．已知f?(x)＝sin xcos x＋sin2x，则f?(x)的最大值为( )
A. B. C. D．3
答案 A
解析 ∵f?(x)＝sin 2x＋＝sin 2x－cos 2x＋＝＋
＝sin＋.∴f?(x)max＝.
5．已知sin α＋cos β＝，sin β－cos α＝，则sin(α－β)＝________.
答案 －
解析 由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝，
得2sin(α－β)＝－，即sin(α－β)＝－.
课件39张PPT。章末复习第八章 向量的数量积与三角恒等变换NEI RONG SUO YIN内容索引知识网络考点突破随堂演练1知识网络PART ONE2考点突破PART TWO一、向量数量积的计算1.求平面向量的数量积主要有三种方法：一是利用定义a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；二是利用向量数量积的几何意义：a·b＝(|a|cos〈a，b〉)·|b|，即a·b为a在b上的投影的数量与b的模的乘积；三是利用数量积的坐标运算：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，∴a·b＝x1x2＋y1y2.
2.掌握向量数量积的概念以及求向量数量积的基本方法，重点提升逻辑推理和数学运算素养.求数量积的两种常用方法：一是找基底，用基底表示已知和未知向量.从而转化成基底之间的运算；二是建系进行坐标运算.解析 E为AC的中点，F为AB的中点，D为BC的四等分点，
以点A为原点建立直角坐标系，如图所示，二、向量数量积的应用1.主要考查利用向量的数量积求向量的模、夹角，以及向量的数量积与向量垂直的关系，熟记公式，掌握向量运算，以及向量坐标运算.
2.掌握向量的求模、求夹角公式以及向量垂直的数量积表示，提升逻辑推理和数学运算素养.例2 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且|ka＋b|＝ |a－kb|(k>0).
(1)用k表示数量积a·b；∴k2a2＋2ka·b＋b2＝3a2－6ka·b＋3k2b2，
∴(k2－3)a2＋8ka·b＋(1－3k2)b2＝0.(2)求a·b的最小值，并求出此时a与b的夹角θ的大小.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.数量积运算是向量运算的核心，利用向量数量积可以解决以下问题
(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(2)求向量的夹角和模的问题②两向量夹角的余弦(0≤θ≤π，a，b为非零向量)跟踪训练2 已知在等腰△ABC中，BB′，CC′是两腰上的中线，且BB′⊥CC′，求顶角A的余弦值的大小.解 以BC的中点为坐标原点，BC，BC边上的高所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
设A(0，a)，C(c,0)，则B(－c,0)，因为BB′，CC′为AC，AB边上的中线，化简得a2＝9c2.三、三角函数式求值1.三角函数式求值主要有三种类型：(1)给角求值；(2)给值求值；(3)给值求角.注意观察已知角与所求角之间的关系，根据需要灵活地进行拆角和凑角的变换.
2.掌握两角和与差的余弦、正弦、正切公式并会灵活运用，提升逻辑推理与数学运算素养.求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2· ，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝ [(α＋β)＋(α－β)]，β＝ [(α＋β)－(α－β)]等.√故cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β1.三角函数式的化简与证明是常用内容，重点考查三角公式的正用、逆用以及变形用等等，要熟记公式以及公式的变形形式.
2.掌握三角函数公式以及变形形式并会灵活运用，提升逻辑推理素养.四、三角函数式的化简与证明三角函数式的化简与证明，主要从三个方面寻求思路
(1)观察函数特点，已知和所求中包含什么函数，它们可以怎样联系.
(2)观察角的特点，它们之间可通过何种形式联系起来.
(3)观察结构特点，它们之间经过怎样的变形可达到统一.跟踪训练4 求证：cos2(A＋B)－sin2(A－B)＝cos 2Acos 2B.＝cos 2Acos 2B＝右边，所以等式成立.1.利用三角恒等变换研究函数的性质是重点考查题型，关键在于熟练运用三角公式，对解析式变形.常用倍角的降幂公式，辅助角公式以及积化和差与和差化积公式进行化简.
2.掌握利用三角公式及变形形式对函数式化简，重点提升逻辑推理与数学运算素养.五、三角恒等变换的应用(1)求f?(x)的最小正周期和最大值；(2)求f?(x)的单调递减区间.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.
(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、倍角公式、半角公式、和差化积与积化和差公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图像和性质.(1)求f?(x)的周期；3随堂演练PART THREE1.设向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，若m⊥n，则实数x的值为
A.－1 B.1 C.2 D.3√12345解析 因为向量m＝(2x－1,3)，向量n＝(1，－1)，m⊥n，
所以m·n＝(2x－1)×1＋3×(－1)＝2x－1－3＝0，解得x＝2.A.0 B.－1 C.2 D.－2√解析 如图建系，依题意E为AB的中点，F为AD的中点，∴C(2,2)，E(1,0)，B(2,0)，F(0,1)，12345√123454.已知f?(x)＝sin xcos x＋sin2x，则f?(x)的最大值为√1234512345本课结束章末检测试卷二(第八章)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．sin 53°cos 23°－cos 53°sin 23°等于( )
A. B．－
C．－ D.
答案 A
解析 原式＝sin(53°－23°)＝sin 30°＝.
2．已知向量e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，那么|e1＋2e2|等于( )
A．1 B. C．2 D.
答案 D
解析 e1＋2e2＝(1,2)，
|e1＋2e2|＝＝.
3．已知sin(45°＋α)＝，则sin 2α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 B
解析 sin(45°＋α)＝(sin α＋cos α)＝，
∴sin α＋cos α＝.
两边平方，得1＋sin 2α＝，
∴sin 2α＝－.
4．已知向量a＝(－2,1)，b＝(1，－4)，则a＋b在a上的投影的数量为( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 a＋b＝(－1，－3)，令a＋b与a的夹角为θ，
∴a＋b在a上的投影的数量为|a＋b|cos θ＝|a＋b|·＝
＝＝＝－.
5．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 ∵sin α＝，α∈，
∴cos α＝－＝－.
∴tan α＝＝－.
∵tan(π－β)＝，
∴tan β＝－.
∴tan(α－β)＝＝－.
6．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )
A．等腰非直角三角形 B．等边三角形
C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 ∵＝(4，－3)，＝(2，－4)，
∴＝－＝(－2，－1)，
∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0，
∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||.
∴△ABC是直角非等腰三角形．
7．已知sin x＋cos x＝2a－3，则a的取值范围是( )
A.≤a≤ B．a≤
C．a> D．－≤a≤－
答案 A
解析 ∵sin x＋cos x＝2
＝2sin，
∴－2≤2a－3≤2.
即≤a≤.
8．y＝sin－sin 2x的一个单调递增区间是( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 方法一 y＝sin－sin 2x
＝sin 2xcos －cos 2xsin －sin 2x
＝－sin 2x－cos 2x＝－sin.
y＝－sin的单调递增区间是y＝sin的单调递减区间，
令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.
令k＝0，得x∈.
方法二 由和差化积公式可知y＝sin－sin 2x
＝2cos·sin
＝2cos·sin
＝－cos.
令2kπ≤2x－≤π＋2kπ(k∈Z)．
解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，
令k＝0得x∈.
9．已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，则实数k的值为( )
A．－ B．0 C．3 D.
答案 C
解析 ∵2a－3b＝(2k－3，－6)．
又(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0，
即(2k－3)×2＋(－6)×1＝0，解得k＝3.
10．已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6，则的值为( )
A．－2 B．2 C．－ D.
答案 C
解析 设a，b的夹角为θ，
则a·b＝|a||b|cos θ＝－6，∴cos θ＝－1，
∴θ＝π，即a，b共线且反向，∴a＝－b，
∴x1＝－x2，y1＝－y2，∴＝－.
11．若0<α<，－<β<0，cos＝，cos＝，则cos等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 C
解析 ∵0<α<，∴<α＋<.
∵cos＝，∴sin＝.
∵－<β<0，∴<－<.
∵cos＝，
∴sin＝.
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝.
12．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 ∵m·n＝sin Acos B＋cos Asin B
＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，
∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sin C＋cos C
＝2sin＝1.
∴sin＝，
又∵0∴＋C＝或＋C＝(舍去)，
∴C＋＝，
∴C＝.
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知cos θ＝－，<θ<3π，那么sin ＝________.
答案 －
解析 由题意得<<，∴sin <0，
∴sin ＝－＝－＝－.
14．若sin(π－α)＝，α∈，则sin 2α－cos2 的值为________．
答案
解析 ∵sin(π－α)＝，∴sin α＝，
又∵α∈，
∴cos α＝＝(舍负)，
因此，sin 2α－cos2 ＝2sin αcos α－(1＋cos α)
＝2××－×＝－＝.
15．已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．
答案
解析 由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
|e1－e2|＝＝
＝＝2.
同理|e1＋λe2|＝.
所以cos 60°＝
＝＝＝，
解得λ＝.
16．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，∠B＝45°，AB＝2CD＝2，M为腰BC的中点，则·＝________.
答案 2
解析 以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立直角坐标系(图略)，
则由题意得A(0,0)，B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，M.
所以＝，＝，
所以·＝－＝2.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知＝(1,0)，＝(0,1)，＝(t，t)(t∈R)，O是坐标原点．
(1)若A，B，M三点共线，求t的值；
(2)当t取何值时，·取到最小值？并求出最小值．
解 (1)＝－＝(－1,1)，
＝－＝(t－1，t)．
∵A，B，M三点共线，∴与共线，
∴－t－(t－1)＝0，∴t＝.
(2)∵＝(1－t，－t)，＝(－t,1－t)，
∴·＝2t2－2t＝22－，
易知当t＝时，·取得最小值－.
18．(12分)已知函数f?(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋.
(1)求函数f?(x)的最小正周期；
(2)求f?(x)的单调递减区间．
解 (1)f?(x)＝2sin xcos x－2cos2x＋
＝sin 2x－cos 2x＝2sin，
所以函数f?(x)的最小正周期是π.
(2)当＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，函数f?(x)单调递减．
所以函数f?(x)的单调递减区间为，k∈Z.
19．(12分)已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．
(1)若|b|＝2，且a∥b，求b的坐标；
(2)若|c|＝，且2a＋c与4a－3c垂直，求a与c的夹角θ.
解 (1)设b＝(x，y)，
因为a∥b，所以y＝2x.①
又因为|b|＝2，所以x2＋y2＝20.②
由①②联立，解得b＝(2,4)或b＝(－2，－4)．
(2)由已知(2a＋c)⊥(4a－3c)，
得(2a＋c)·(4a－3c)＝8a2－3c2－2a·c＝0，
由|a|＝，|c|＝，解得a·c＝5，
所以cos θ＝＝，θ∈[0，π]，
所以a与c的夹角θ＝.
20．(12分)设向量a＝(cos(α＋β)，sin(α＋β))，b＝(cos(α－β)，sin(α－β))，且a＋b＝.
(1)求tan α的值；
(2)求的值．
解 (1)依题意有
化简有
由②÷①得tan α＝.
(2)＝＝
＝－.
21．(12分)已知cos＝－，sin＝，且α∈，β∈.求：
(1)cos ；
(2)tan(α＋β)．
解 (1)∵＜α＜π，0＜β＜，
∴＜α－＜π，－＜－β＜，
∴sin＝＝，
cos＝＝，
∴cos ＝cos
＝coscos＋sinsin
＝×＋×＝－.
(2)∵＜＜π，
∴sin ＝＝.
∴tan ＝＝－，
∴tan(α＋β)＝＝.
22．(12分)已知函数f?(x)＝sin＋cos＋2cos2x－1.
(1)若x∈，求f?(x)的值域；
(2)若α∈，且f?(α)＝，求cos 2α.
解 (1)∵f?(x)＝sin 2x－cos 2x＋cos 2x＋sin 2x＋cos 2x
＝sin 2x＋cos 2x＝sin，
∵x∈，
∴2x＋∈，
∴sin∈
∴f?(x)∈[－1，]，
∴f?(x)的值域为[－1，]．
(2)∵f?(α)＝.
∴sin＝，∴sin＝.
∵α∈，
∴≤2α＋≤.
∴cos＝－.
∴cos 2α＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝－×＋×＝－.
