章末复习
一、三角函数的定义
1．利用三角函数的定义，求三角函数值，以及利用三角函数定义判断三角函数值的符号是常见考查题型，含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论．
2．掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例1 已知角θ的终边经过点P(－，m)(m≠0)且sin θ＝m，试判断角θ所在的象限，并求cos θ和tan θ的值．
解 由题意得，得r＝，
所以sin θ＝＝m.
因为m≠0，所以m＝±，故角θ是第二或第三象限角．
当m＝时，r＝2，点P的坐标为(－，)，角θ是第二象限角，
所以cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝－，
当m＝－时，r＝2，点P的坐标为(－，－)，角θ是第三象限角，
所以cos θ＝＝＝－，
tan θ＝＝＝.
反思感悟 利用三角函数定义求三角函数值，注意平方能出现增根，开方需取正，所以含参时要检验或分类讨论．
跟踪训练1 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
解析 sin α<0，∴α终边在第三或第四象限，
tan α＞0，∴α终边在第一或第三象限，
故α是第三象限角．
(2)若角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α.
解 当α终边在第一象限时，取α终边上点P(1,3)．
∴|OP|＝，∴sin α＝＝，cos α＝，tan α＝3，
当sin α终边在第三象限时，取α终边上一点P(－1，－3)
∴|OP|＝，∴sin α＝－，cos α＝－，tan α＝3.
二、同角三角函数的基本关系式
1．同角三角函数有两个基本关系式，重点考查给值求值和给式求值以及简单的三角函数式的化简、证明．在求值过程中注意角的范围、三角函数值的正负判断，在化简、证明中充分利用“1”的作用．
2．掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系，会知一求二，重点提升逻辑推理和数学运算素养．
例2 已知α∈，且cos α＝，求sin2α＋sin αcos α的值．
解 α∈且cos α＝.
∴sin α＝－＝－，
∴tan α＝－2，
sin2α＋sin αcos α＝＝＝＝.
反思感悟 利用同角三角函数的基本关系式．sin α，cos α，tan α三者知一可求二，但应注意角的范围、三角函数值的正负．
跟踪训练2 已知sin α是方程5x2－7x－6＝0的根，α是第三象限角，求·tan2(π－α)的值．
解 方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－，x2＝2，
由α是第三象限角，得sin α＝－，则cos α＝－，
∴·tan2(π－α)
＝·tan2α
＝·tan2α＝－tan2α＝－＝－.
三、三角函数的图像与性质
1．三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧．
2．“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像．
3．掌握三角函数的图像和性质，重点培养直观想象和数学运算素养．
例3 函数f?(x)＝3sin的部分图像如图所示．
(1)写出f?(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；
(2)求f?(x)的单调递减区间；
(3)求f?(x)在区间上的最大值和最小值．
解 (1)f?(x)的最小正周期为π，令2x＋＝＋kπ，k∈Z，则x＝＋，k∈Z，当k＝2时，x0＝，y0＝3.
(2)令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z.
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f?(x)的单调递减区间为k∈Z.
(3)因为x∈，所以2x＋∈，于是当2x＋＝0，即x＝－时，f?(x)取得最大值0；当2x＋＝－，即x＝－时，f?(x)取得最小值－3.
反思感悟 三角函数的三条性质
(1)单调性：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间．
(2)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
(3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式．
跟踪训练3 (1)函数f?(x)＝tan的单调递增区间是( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
(2)函数y＝sin的图像的对称中心和对称轴方程分别为______________________．
答案 (1)B
(2)k∈Z，x＝＋，k∈Z
解析 (1)令－＋kπ＜2x－＜＋kπ，k∈Z.
解得－＋＜x＜＋，k∈Z.
∴f?(x)的递增区间为k∈Z，故选B.
(2)令2x－＝kπ，k∈Z，
∴x＝＋，k∈Z，
∴f?(x)的对称中心为(k∈Z)．
令2x－＝＋kπ，k∈Z，∴x＝＋，k∈Z.
∴f?(x)的对称轴方程为x＝＋，k∈Z.
四、三角函数的图像变换
1．重点考查三角函数的平移变换，伸缩变换和解析式的确定，通过对图像的描述、观察来讨论函数的有关性质．
2．掌握平移和伸缩变换，以及由图像求解析式，重点提升直观想象和逻辑推理素养．
例4 如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的部分图像．
(1)求此函数的解析式；
(2)分析该函数的图像是由y＝sin x的图像如何变换得来的？
解 (1)由图像知A＝＝，
k＝＝－1，T＝2×＝π，
∴ω＝＝2，
∴y＝sin(2x＋φ)－1.
当x＝时，2×＋φ＝＋2nπ，n∈Z，∴φ＝＋2nπ，n∈Z，又|φ|＜，
∴φ＝，
故所求函数的解析式为y＝sin－1.
(2)把y＝sin x的图像向左平移个单位，得到y＝sin的图像，然后将得到的图像上点的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的，得到y＝sin的图像；再将得到的图像上点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的，得到y＝sin的图像，最后把函数y＝sin的图像向下平移1个单位，得到y＝sin－1的图像．
反思感悟 (1)由图像求解析式一般采用待定系数法求A，ω，φ.求φ时一般代入函数图像上的最高点或最低点．
(2)先平移后伸缩后与先伸缩后平移，两者平移的量是不同的．左右平移只是把x变成x±φ，其它不变，左右伸缩只是把x变成x，其它不变．
跟踪训练4 (1)把函数y＝f?(x)的图像上的各点向右平移个单位，再将纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，最后将横坐标不变，纵坐标缩短到原来的倍，所得图像的解析式是y＝2sin，求f?(x)的解析式．
解 y＝2sin
y＝3sin
y＝3sin
y＝3sin＝3sin＝3cos x.
所以f?(x)＝3cos x.
(2)将函数f?(x)＝sin向右平移m(m>0)个单位后得到y＝g(x)的图像，若g(x)为奇函数，求m的最小值．
解 g(x)＝sin＝sin.
∵g(x)为奇函数，∴2×0－2m－＝kπ，k∈Z，
∴m＝－－，k∈Z，又m>0，
∴当k＝－1时，m＝，∴m的最小值为.
1．已知f?(α)＝，则f?的值为( )
A. B．－ C．－ D.
答案 C
解析 ∵f?(α)＝＝＝－cos α，
∴f?＝－cos＝－cos
＝－cos＝－cos ＝－.
2．将函数y＝cos的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图像的一条对称轴是( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝π D．x＝
答案 D
解析 y＝cos
y＝cos
y＝cos，即y＝cos.
由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，又当x＝时，y＝cos＝1，故选D.
3．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮旋转5分钟后离地面的高度为( )
A．41米 B．43米 C．78米 D．118米
答案 B
解析 摩天轮转轴离地面高160－＝82(米)，ω＝＝，摩天轮上某个点P离地面的高度h米与时间t分钟的函数关系是h＝82－78cos t，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h＝82－78cos＝82－78×＝43(米)．
4．已知tan α＝，α∈，则sin α－cos α＝________.
答案 －
解析 因为tan α＝＝，α∈，
由解得
所以sin α－cos α＝－＝－.
5．已知函数f?(x)＝2sin＋a，a为常数．
(1)求函数f?(x)的最小正周期；
(2)求函数f?(x)的单调递增区间；
(3)若x∈时，f?(x)的最小值为－2，求a的值．
解 (1)f?(x)＝2sin＋a，
所以f?(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
所以f?(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(3)当x∈时，2x－∈，
所以当x＝0时，f?(x)取得最小值，
即2sin＋a＝－2，故a＝－1.
课件43张PPT。章末复习第七章 三角函数NEI RONG SUO YIN内容索引知识网络考点突破随堂演练1知识网络PART ONE2考点突破PART TWO一、三角函数的定义1.利用三角函数的定义，求三角函数值，以及利用三角函数定义判断三角函数值的符号是常见考查题型，含参时要注意检验是否出现增根或分类讨论.
2.掌握三角函数的定义，重点提升逻辑推理和数学运算素养.利用三角函数定义求三角函数值，注意平方能出现增根，开方需取正，所以含参时要检验或分类讨论.跟踪训练1 (1)若sin α＜0且tan α＞0，则α是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角√解析 sin α<0，∴α终边在第三或第四象限，
tan α＞0，∴α终边在第一或第三象限，
故α是第三象限角.(2)若角α的终边在直线y＝3x上，求sin α，cos α，tan α.解 当α终边在第一象限时，取α终边上点P(1,3).当sin α终边在第三象限时，取α终边上一点P(－1，－3)二、同角三角函数的基本关系式1.同角三角函数有两个基本关系式，重点考查给值求值和给式求值以及简单的三角函数式的化简、证明.在求值过程中注意角的范围、三角函数值的正负判断，在化简、证明中充分利用“1”的作用.
2.掌握正弦、余弦、正切值之间的基本关系，会知一求二，重点提升逻辑推理和数学运算素养.利用同角三角函数的基本关系式.sin α，cos α，tan α三者知一可求二，但应注意角的范围、三角函数值的正负.三、三角函数的图像与性质1.三角函数的性质包括定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性等，在研究性质时，将ωx＋φ看成一个整体，利用整体代换思想解题是常见的技巧.
2.“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像.
3.掌握三角函数的图像和性质，重点培养直观想象和数学运算素养.(1)写出f?(x)的最小正周期及图中x0，y0的值；解 f?(x)的最小正周期为π，(2)求f?(x)的单调递减区间；三角函数的三条性质
(1)单调性：求形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的函数的单调区间可以通过解不等式方法去解答，即把ωx＋φ视为一个“整体”，分别与正弦函数y＝sin x，余弦函数y＝cos x的单调递增(减)区间对应解出x，即得所求的单调递增(减)区间.
(2)周期性：函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为 ，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为 .
(3)奇偶性：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋B的形式.√1.重点考查三角函数的平移变换，伸缩变换和解析式的确定，通过对图像的描述、观察来讨论函数的有关性质.
2.掌握平移和伸缩变换，以及由图像求解析式，重点提升直观想象和逻辑推理素养.四、三角函数的图像变换(1)求此函数的解析式；(2)分析该函数的图像是由y＝sin x的图像如何变换得来的？(1)由图像求解析式一般采用待定系数法求A，ω，φ.求φ时一般代入函数图像上的最高点或最低点.
(2)先平移后伸缩后与先伸缩后平移，两者平移的量是不同的.左右平移只是把x变成x±φ，其它不变，左右伸缩只是把x变成 x，其它不变.所以f?(x)＝3cos x.3随堂演练PART THREE√12345√1234512345由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图像的最高点或最低点，3.中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮旋转5分钟后离地面的高度为
A.41米 B.43米 C.78米 D.118米√1234512345摩天轮上某个点P离地面的高度h米与时间t分钟的函数关系是当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为1234512345(1)求函数f?(x)的最小正周期；(2)求函数f?(x)的单调递增区间；1234512345所以当x＝0时，f?(x)取得最小值，本课结束章末检测试卷一(第七章)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．简谐运动y＝4sin的相位与初相是( )
A．5x－， B．5x－，4
C．5x－，－ D．4，
答案 C
解析 相位是5x－，当x＝0时的相位为初相即－.
2．若sin x·tan x<0，则角x的终边位于( )
A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第二、四象限 D．第三、四象限
答案 B
3．已知扇形的周长为8 cm，圆心角为2 rad，则该扇形的面积为( )
A．4 cm2 B．6 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
答案 A
解析 由题意，得解得
故S＝lr＝×4×2＝4(cm2)．
4．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )
A．－4 B．±4 C. D．4
答案 A
解析 因为tan 600°＝＝tan(540°＋60°)
＝tan 60°＝，
故a＝－4.
5．设α为第二象限角，则·等于( )
A．1 B．tan2α C．－tan2α D．－1
答案 D
解析 ∵α为第二象限角，
∴cos α＜0，sin α＞0，·
＝·＝·
＝·
＝·＝－1.
6．已知sin＝，则cos等于( )
A．－ B. C. D．－
答案 A
解析 cos＝cos
＝－sin＝－.
7．同时具有性质“(1)最小正周期是π；(2)图像关于直线x＝对称；(3)在上单调递增”的一个函数是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
答案 C
解析 由(1)知T＝π＝，ω＝2，排除A.
由(2)(3)知x＝时，f?(x)取最大值，
验证知只有C符合要求．
8．把函数y＝sin的图像向右平移个单位，再把所得函数图像上各点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，所得函数解析式为( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
答案 D
解析 将函数y＝sin的图像向右平移个单位，得到函数为y＝sin＝sin，再把所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，可得到函数y＝sin的图像，故选D.
9．在区间内，函数y＝tan x与函数y＝sin x的图像的交点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 方法一 作出y＝tan x与y＝sin x在内的图像，
由图(图略)可知y＝tan x与y＝sin x有3个交点．
方法二 令tan x＝sin x，
∵－sin x＝0，
∴＝0，
∴sin x＝0或cos x＝1，且cos x≠0，
当x∈时，sin x＝0，x＝0，±π，
cos x＝1，x＝0.
综上有tan x＝sin x在x∈内有3个根，0，±π.
故y＝tan x与y＝sin x在内有3个交点．
10．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－ B．0
C．－1 D．－1－
答案 A
解析 因为0≤x≤9，所以0≤x≤，
－≤x－≤－，
即－≤x－≤，所以当x－＝－时，
y＝2sin(0≤x≤9)有最小值2sin＝－，
当x－＝时，
y＝2sin(0≤x≤9)有最大值2sin ＝2，
所以最大值与最小值之和为2－.
11.函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的图像如图所示，则此函数的解析式为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
答案 A
解析 由已知可得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图像经过点和点，则A＝2，T＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y＝2sin(2x＋φ)，将代入得－＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，当k＝0时，φ＝，此时y＝2sin，故选A.
12．已知函数f?(x)＝sin(ωx＋φ)，x＝－为f?(x)的零点，x＝为y＝f?(x)图像的对称轴，且f?(x)在上单调，则ω的最大值为( )
A．11 B．9 C．7 D．5
答案 B
解析 由f?(x)在上单调，得≥－，
∴ω≤12，依题意．
有(m，n∈Z)，
∴又|φ|≤，∴m＋n＝0或m＋n＝－1.当m＋n＝0时，ω＝4n＋1，φ＝，取n＝2，得ω＝9.f?(x)＝sin符合题意．当m＋n＝－1时，φ＝－，ω＝4n＋3，取n＝2，得ω＝11，f?(x)＝sin，此时，当x∈时，11x－∈，此时f?(x)不单调，不符合题意．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10 cm，则扇形的面积是________cm2.
答案
解析 根据题意得，
60°＝，∴弧长l＝×10＝(cm)，
∴S扇形＝lR＝×10×＝(cm2)．
14．函数y＝1＋的定义域为________．
答案
解析 由cos x－≥0，得cos x≥，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
∴函数y＝1＋的定义域为
.
15．函数f?(x)＝sin(2x＋φ)，|φ|<，将f?(x)的图像向右平移个单位后，得到的函数图像关于点对称，则φ＝________.
答案 －
解析 f?(x)＝sin(2x＋φ)
y＝sin＝sin.
∵y＝sin关于点对称，
∴2×－＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋kπ，k∈Z，
又|φ|<，∴φ＝－.
16．设函数f?(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图像如图所示，若x1，x2∈，x1≠x2，且f?(x1)＝f?(x2)，则f?(x1＋x2)＝________.
答案
解析 由图像可得A＝1，＝＝－＝，
解得ω＝2，
∴f?(x)＝sin(2x＋φ)．
点相当于y＝sin x中的(0,0)，
令2×＋φ＝0，解得φ＝，
满足|φ|<，符合题意，
∴f?(x)＝sin.
∵sin＝1，
∴图中点B的坐标为.
又x1，x2∈，
且f?(x1)＝f?(x2)(x1≠x2)，
∴x1＋x2＝×2＝，
∴f?(x1＋x2)＝sin＝.
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)已知f?(α)＝.
(1)若α＝－，求f?(α)的值；
(2)若α为第二象限角，且cos＝，求f?(α)的值．
解 (1)∵f?(α)＝
＝＝cos α，
∴f?＝cos＝cos ＝.
(2)∵cos＝，∴sin α＝.
∵α为第二象限角，
∴f?(α)＝cos α＝－＝－.
18．(12分)已知函数f?(x)＝2asin＋a＋b的定义域是，值域是[－5,1]，求a，b的值．
解 ∵0≤x≤，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1.
当a>0时，f?(x)max＝3a＋b＝1，
f?(x)min＝－a＋a＋b＝b＝－5.
∴解得
当a<0时，f?(x)max＝－a＋a＋b＝b＝1，
f?(x)min＝2a＋a＋b＝3a＋b＝－5，
∴解得
∴a＝2，b＝－5或a＝－2，b＝1.
19．(12分)已知函数y＝2sin.
(1)试用“五点法”画出它的图像；
(2)求它的振幅、周期和初相；
(3)根据图像写出它的单调递减区间．
解 (1)令t＝＋，列表如下．
x
－
t
0
π
2π
y
0
2
0
－2
0
描点连线并向左右两边分别扩展，得到如图所示的函数图像．
(2)振幅A＝2，周期T＝4π，初相为.
(3)由图像得单调递减区间为(k∈Z)．
20．(12分)已知函数f?(x)＝2sin(ω>0)，且f?(x)图像中两条相邻的对称轴之间的距离为.
(1)求f?(x)的解析式及f?(x)的单调递增区间；
(2)将y＝f?(x)的图像上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后再将所得的图像沿x轴向右平移个单位，得到函数y＝g(x)的图像，写出函数y＝g(x)的解析式．
解 (1)依题意T＝π，∴ω＝2，f?(x)＝2sin，
∴令－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤＋kπ，k∈Z，
∴f?(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)y＝2sin
y＝2sin＝2sin
y＝2sin＝2sin x，
∴g(x)＝2sin x.
21．(12分)已知函数f?(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的一系列对应值如表：
x
－
f?(x)
－1
1
3
1
－1
1
3
(1)根据表格提供的数据求函数f?(x)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数y＝f?(kx)(k＞0)的周期为，当x∈时，方程f?(kx)＝m恰有两个不同的解，求实数m的取值范围．
解 (1)设f?(x)的最小正周期为T，
则T＝－＝2π，由T＝，得ω＝1，
又解得
令ω·＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
即＋φ＝＋2kπ，k∈Z，取φ＝－，
所以f?(x)＝2sin＋1.
(2)因为函数y＝f?(kx)＝2sin＋1的周期为，又k＞0，所以k＝3.令t＝3x－，
因为x∈，所以t∈，
如图，sin t＝s在上有两个不同的解，则s∈，所以方程f?(kx)＝m在x∈时恰好有两个不同的解，则m∈[＋1,3)，即实数m的取值范围是[＋1,3)．
22．(12分)已知函数f?(x)＝2sin.
(1)求函数f?(x)的最小值及f?(x)取到最小值时自变量x的集合；
(2)指出函数y＝f?(x)的图像可以由函数y＝sin x的图像经过哪些变换得到；
(3)当x∈[0，m]时，函数y＝f?(x)的值域为[－，2]，求实数m的取值范围．
解 (1)f?(x)min＝－2，此时2x－＝2kπ－，k∈Z，
即x＝kπ－，k∈Z，
即此时自变量x的集合是.
(2)把函数y＝sin x的图像向右平移个单位，得到函数y＝sin的图像，再把函数y＝sin的图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数y＝sin的图像，
最后再把函数y＝sin的图像上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，
得到函数y＝2sin的图像．
(3)如图，因为当x∈[0，m]时，y＝f?(x)取到最大值2，所以m≥.
又函数y＝f?(x)在上是减函数，f?(0)＝－，
故m的最大值为内使函数值为－的值，
令2sin＝－，得x＝，
所以m的取值范围是.
