再练一课(范围：7.1～7.2)
1．若角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，则cos α为( )
A．1 B．－1 C. D．－
答案 C
解析 ∵角α的终边上一点的坐标为(1，－1)，它与原点的距离r＝＝，
∴cos α＝＝＝.
2．若角α，β的终边相同，则α－β的终边在( )
A．x轴的正半轴上 B．y轴的正半轴上
C．x轴的负半轴上 D．y轴的负半轴上
答案 A
解析 由于角α，β的终边相同，所以α＝k·360°＋β，k∈Z，所以α－β＝k·360°，k∈Z，
则α－β的终边在x轴的正半轴上，故选A.
3．把－表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )
A．－ B．－2π C．π D．－π
答案 A
解析 ∵－＝－2π＋
＝2×(－1)π＋，
∴θ＝－.
4．sin π等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 A
解析 sin ＝sin＝sin ＝.
5．函数y＝＋的定义域是( )
A．(2kπ，2kπ＋π)，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D．[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z
答案 B
解析 由sin x≥0，－cos x≥0，
得x为第二象限角或终边在y轴正半轴上的角或终边在x轴负半轴上的角，
所以2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z.
6．若α是第三象限角且cos α＝－，则sin α＝________，tan α＝________.
答案 －
解析 ∵α是第三象限角且cos α＝－，
∴sin α＝－＝－；
∴tan α＝＝.
7．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a)，则a的值为________．
答案 －4
解析 由三角函数定义知，tan 420°＝－，
又tan 420°＝tan(360°＋60°)＝tan 60°＝，
∴－＝，∴a＝－4.
8．化简：cos2＋cos2＝________.
答案 1
解析 原式＝sin2＋cos2
＝sin2＋cos2＝1.
9．已知f?(x)＝.
(1)化简f?(x)；
(2)当x＝时，求f?(x)的值；
(3)若f?(x)＝1，求的值．
解 (1)f?(x)＝＝tan x.
(2)当x＝时，f?(x)＝tan ＝.
(3)若f?(x)＝1，则tan x＝1，
所以＝＝－＝－1.
10．如图，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)的长；
(2)弓形(阴影部分)的面积．
解 (1)∵120°＝＝，∴＝6×＝4π，
∴的长为4π.
(2)过点O作OD⊥AB于点D，则D为AB的中点，
AB＝2BD＝2·OB·cos 30°＝2×6×＝6.
OD＝OB·sin 30°＝6×＝3.
∵S扇形AOB＝·OB＝×4π×6＝12π，
S△OAB＝·AB·OD＝×6×3＝9.
∴S弓形＝S扇形AOB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形的面积为12π－9.
11．下列说法中错误的是( )
A．若0<α<，则sin αB．若α为第二象限角，则为第一象限角或第三象限角
C．若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝
D．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度
答案 C
解析 若0<α<，则sin α若α为第二象限角，则2kπ＋<α<2kπ＋π，k∈Z.所以kπ＋<若角α的终边过点P(3k,4k)(k≠0)，则sin α＝＝，不一定等于，故C中说法错误；
若扇形的周长为6，半径为2，则弧长为6－2×2＝2，故其圆心角的大小为＝1(弧度)，故D中说法正确，故选C.
12.《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝(弦×矢＋矢2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，半径等于4米的弧田，按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(≈1.73)( )
A．6平方米 B．9平方米
C．12平方米 D．15平方米
答案 B
解析 由题意可得，∠AOB＝，OA＝4米，在Rt△AOD中，可得∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×4＝2(米)，可得，矢＝4－2＝2(米)，由AD＝AO·sin ＝4×＝2(米)，可得，弦＝2AD＝2×2＝4(米)，所以，弧田面积＝(弦×矢＋矢2)＝(4×2＋22)＝4＋2≈9(平方米)．
13．若θ是△ABC的一个内角，且sin θcos θ＝－，则sin θ－cos θ的值为( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 由题意知θ∈，所以sin θ－cos θ>0，
sin θ－cos θ＝
＝＝，故选D.
14．计算：cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＋cos ＝________.
答案 0
解析 原式＝cos ＋cos ＋cos ＋cos＋cos＋cos
＝cos ＋cos ＋cos －cos －cos －cos ＝0.
15．若sin α＋cos α＝1，则sinnα＋cosnα(n∈N＋)的值为________．
答案 1
解析 ∵sin α＋cos α＝1，∴(sin α＋cos α)2＝1，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴sin αcos α＝0，∴sin α＝0或cos α＝0.
当sin α＝0时，cos α＝1，
此时有sinnα＋cosnα＝1；
当cos α＝0时，sin α＝1，也有sinnα＋cosnα＝1，
∴sinnα＋cosnα＝1.
16．证明：sin α(1＋tan α)＋cos α＝＋.
证明 左边＝sin α＋cos α
＝sin α＋＋cos α＋
＝＋＝＋＝右边．
即原等式成立．
再练一课(范围：7.3.2～7.3.3)
1．若y＝sin x是减函数，y＝cos x是增函数，那么角x在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
2．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin D．y＝cos
答案 A
解析 因为函数周期为π，所以排除C，D.又因为y＝cos＝－sin 2x在上为增函数，故B不符合．故选A.
3．下列函数中，图像的一部分如图所示的是( )
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝cos D．y＝cos
答案 D
解析 由题图知T＝4×＝π，
∴ω＝＝2.
又x＝时，y＝1，
经验证，只有D项解析式符合题目要求．
4．把函数y＝sin x(x∈R)的图像上所有的点向左平移个单位，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )
A．y＝sin，x∈R B．y＝sin，x∈R
C．y＝sin，x∈R D．y＝sin，x∈R
答案 C
解析 把函数y＝sin x的图像上所有的点向左平移个单位后得到函数y＝sin的图像，再把所得图像上所有的点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数y＝sin的图像．
5．若函数y＝sin(x＋φ)的一个对称中心为，则函数y＝cos(x＋φ)的一条对称轴为( )
A．x＝－ B．x＝ C．x＝ D．x＝
答案 B
解析 ∵函数y＝sin(x＋φ)的对称中心和y＝cos(x＋φ)的对称轴在一条直线上，
∴若y＝sin(x＋φ)的对称中心为，
则函数y＝cos(x＋φ)的一条对称轴为x＝.
6．若函数f?(x)＝2sin的最小正周期为T，且T∈(1,4)，则正整数ω的最大值为________．
答案 6
解析 ∵T＝，1＜＜4，则＜ω＜2π.ω为正整数，
∴ω的最大值是6.
7．已知函数f?(x)＝cos，则f?(x)的最小正周期是________；f?(x)的对称中心是________．
答案 4π ，k∈Z
解析 由f?(x)＝cos，得T＝＝4π；令＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝2kπ＋，k∈Z，可得f?(x)的对称中心是，k∈Z.
8．函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值与最小值之和为________．
答案 2π
解析 由图可知，
b－a的最大值为－＝，
b－a的最小值为－＝.
所以最大值与最小值之和为＋＝2π.
9．已知函数f?(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的图像与x轴的交点中，相邻两个交点的距离为，且图像上一个最低点为M.
(1)求f?(x)的解析式；
(2)若x∈，求f?(x)的取值范围．
解 (1)由最低点M，得A＝2.
∵在x轴上两相邻交点之间的距离为，
故＝，即T＝π，ω＝＝＝2.
由点M在图像上得
2sin＝－2，即sin＝－1，
故＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
∴φ＝2kπ－(k∈Z)．
又φ∈，∴φ＝.故f?(x)＝2sin.
(2)∵x∈，∴2x＋∈，
当2x＋＝－，即x＝－时，
f?(x)min＝2sin＝－，
当2x＋＝，即x＝时，f?(x)max＝2sin ＝2.
∴f?(x)的取值范围是[－，2]．
10．已知函数f?(x)＝sin(2x＋φ)，φ∈(0，π)，且f?(x)的图像关于x＝对称．
(1)求f?(x)；
(2)将f?(x)的图像上所有点向左平移m(m>0)个单位，得到y＝g(x)的图像，若y＝g(x)的图像关于点对称，求当m取最小值时，函数y＝g(x)的单调递增区间．
解 (1)依题意有2x＋φ＝＋kπ，k∈Z.
代入x＝有＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
又φ∈(0，π)，
∴φ＝，
∴f?(x)＝sin.
(2)将y＝f?(x)向左平移m(m>0)个单位，
得到y＝g(x)＝sin.
∵y＝g(x)的图像关于点对称，
∴sin＝0，
∴＋2m＝kπ，k∈Z，
∴m＝－，k∈Z，
∵m>0，
∴当k＝1时，m有最小值.
∴g(x)＝sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，得，k∈Z.
∴函数的单调递增区间是，k∈Z.
11．函数f?(x)＝2sin(ω>0)的图像在[0,1]上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为( )
A．[2π，4π] B.
C. D.
答案 C
解析 由题意得ω＋≥，ω＋<，
∴≤ω<，故选C.
12．已知函数f?(x)＝cos(x∈R，ω>0)的最小正周期为，要得到函数g(x)＝sin ωx的图像只需将y＝f?(x)的图像( )
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
答案 D
解析 由题意得，ω＝＝4，
f?(x)＝cos＝sin＝sin＝sin.
g(x)＝sin 4x，
∴将y＝f?(x)向右平移个单位即可得到
y＝g(x)的图像，故选D.
13．在(0,2π)内使sin x>|cos x|的x的取值范围是( )
A. B.∪
C. D.
答案 A
解析 ∵sin x>|cos x|，
∴sin x>0，
∴x∈(0，π)，在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cos x|，x∈(0，π)的图像，
观察图像易得x∈.
14．函数y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)的图像向右平移个单位后，与函数y＝sin的图像重合，则φ＝________.
答案
解析 将y＝sin的图像向左平移个单位，得到y＝sin＝sin＝cos.由题意知y＝cos(2x＋φ)(－π≤φ<π)与y＝cos重合，故φ＝.
15．已知奇函数f?(x)在[－1,0]上单调递减，α，β为锐角三角形两内角，则( )
A．f?(cos α)>f?(cos β) B．f?(sin α)>f?(sin β)
C．f?(sin α)>f?(cos β) D．f?(sin α)答案 D
解析 由题意，得α＋β>，
∴>α>－β>0，
∴sin α>sin，
即1>sin α>cos β>0，
∴－1<－sin α<－cos β<0.
∵奇函数f?(x)在[－1,0]上单调递减，
∴f?(－sin α)>f?(－cos β)，
∴－f?(sin α)>－f?(cos β)，
∴f?(sin α)16．已知函数f?(x)＝2sin，求f?(0)＋f?(1)＋f?(2)＋f?(3)＋…＋f?(2 021)的值．
解 根据题意f?(x)＝2sin为周期函数且T＝＝4，
又f?(0)＝2sin ＝，
f?(1)＝2sin＝1，
f?(2)＝2sin＝－，
f?(3)＝2sin＝－1.
所以f?(0)＋f?(1)＋f?(2)＋f?(3)＝0，
又2 022＝505×4＋2，
∴f?(0)＋f?(1)＋f?(2)＋f?(3)＋…＋f?(2 021)
＝505[f?(0)＋f?(1)＋f?(2)＋f?(3)]＋f?(0)＋f?(1)
＝＋1.
微专题1 三角函数中的最值问题
三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变形及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题．
一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题
例1 y＝3sin在区间上的值域是________．
答案
解析 ∵x∈，∴2x－∈，
∴sin∈，
∴y∈.
故该函数的值域为.
反思感悟 化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值．也可以利用y＝sin x的图像找最值．
二、可化为y＝f?(sin x)型的最值问题
例2 函数y＝2cos2x＋2sin x－1的最大值为( )
A. B．1 C. D．2
答案 C
解析 y＝2cos2x＋2sin x－1＝2(1－sin2x)＋2sin x－1＝－2sin2x＋2sin x＋1，
设t＝sin x，则－1≤t≤1，
所以原函数可以化为
y＝－2t2＋2t＋1＝－22＋，
所以当t＝时，函数y取得最大值为.故选C.
反思感悟 可化为y＝f?(sin x)型三角函数的最值或值域，也可通过换元法转为其他函数的最值或值域．
三、函数图像平移距离的最小值问题
例3 将函数f?(x)＝sin 4x图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图像向左平移φ(φ>0)个单位，得到了一个偶函数的图像，则φ的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 伸长后得y＝sin 2x，平移后得y＝sin[2(x＋φ)]＝sin(2x＋2φ)，该函数为偶函数，则只要2φ＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝＋(k∈Z)，取k＝0，得φ的最小值为.故选D.
反思感悟 函数图像平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图像平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值．
四、由三角函数的值域，求定义域中参数的最值
例4 已知函数f?(x)＝sin，其中x∈，若f?(x)的值域是，则实数a的取值范围是________．
答案
解析 令t＝x＋，∵x∈，
∴t∈.
∴函数y＝sin t，t∈的值域为，作出y＝sin t的图像．
图中点A的坐标为，
所以≤a＋≤，即≤a≤π.
反思感悟 由值域求定义域，充分利用正余弦函数的图像，要用整体代换、换元思想，转换成最简单的正弦、余弦曲线．
五、求ω的最值问题
例5 (1)已知函数f?(x)＝2cos－1(ω>0)的图像向左平移个单位后与原图像重合，则ω的最小值是( )
A．3 B. C. D.
答案 B
解析 依题意知，＝k·T，k∈N＋，
∴＝k·，k∈N＋，
∴ω＝k，k∈N＋，
∴ω的最小值为.
(2)先将函数f?(x)＝sin x的图像上的各点向左平移个单位，再将各点的横坐标变为原来的(其中ω∈N＋且纵坐标不变)，得到函数g(x)的图像，若g(x)在区间上单调递增，则ω的最大值为________．
答案 9
解析 由题意易知g(x)＝sin在区间上单调递增，
所以有k∈Z，即12k－4≤ω≤8k＋，k∈Z.
由12k－4≤8k＋可得k≤，当k＝1时，ω∈，
所以正整数ω的最大值为9.
反思感悟 已知三角函数在某区间递增(减)求ω的范围，一般先求函数的递增(减)区间，再利用已知区间是递增(减)区间的子集，列关于ω的不等式求范围或最值．
课件16张PPT。微专题1 三角函数中的最值问题第七章 三角函数三角函数的最值问题是三角函数的基本内容，它对三角函数的恒等变形及综合应用要求较高，解决该类问题的基本途径一方面是自身的特殊性(如有界性等)，另一方面可转化为所熟知的函数最值问题.一、y＝Asin(ωx＋φ)＋B型的最值问题化为y＝Asin(ωx＋φ)＋B的形式求最值时，特别注意自变量的取值范围对最大值、最小值的影响，可通过比较闭区间端点的取值与最高点、最低点的取值来确定函数的最值.也可以利用y＝sin x的图像找最值.二、可化为y＝f?(sin x)型的最值问题例2 函数y＝2cos2x＋2sin x－1的最大值为√解析 y＝2cos2x＋2sin x－1＝2(1－sin2x)＋2sin x－1＝－2sin2x＋2sin x＋1，
设t＝sin x，则－1≤t≤1，
所以原函数可以化为可化为y＝f?(sin x)型三角函数的最值或值域，也可通过换元法转为其他函数的最值或值域.三、函数图像平移距离的最小值问题例3 将函数f?(x)＝sin 4x图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将它的图像向左平移φ(φ>0)个单位，得到了一个偶函数的图像，则φ的最小值为√解析 伸长后得y＝sin 2x，平移后得y＝sin[2(x＋φ)]＝sin(2x＋2φ)，函数图像平移后函数解析式发生了变化，解题时首先确定函数图像平移后的解析式，再根据新函数具备的性质求出平移距离的通解，再从通解中确定其最小值.四、由三角函数的值域，求定义域中参数的最值由值域求定义域，充分利用正余弦函数的图像，要用整体代换、换元思想，转换成最简单的正弦、余弦曲线.√五、求ω的最值问题9所以正整数ω的最大值为9.已知三角函数在某区间递增(减)求ω的范围，一般先求函数的递增(减)区间，再利用已知区间是递增(减)区间的子集，列关于ω的不等式求范围或最值.本课结束
