再练一课(范围：8.2.1～8.2.4)
1．cos 555°的值为( )
A. B．－
C. D.
答案 B
解析 cos 555°＝cos(720°－165°)＝cos 165°＝－cos 15°
＝－cos 45°cos 30°－sin 45°sin 30°＝－.
2．已知向量a＝(sin α，cos α)，b＝(cos β，sin β)，α，β∈，且a∥b，则α＋β等于( )
A．0 B. C. D．π
答案 B
解析 ∵a∥b，
∴sin αsin β－cos αcos β＝0，
∴cos αcos β－sin αsin β＝0，
∴cos(α＋β)＝0，又∵α，β∈，
∴α＋β∈[0，π]，∴α＋β＝.
3．已知θ为第二象限角，且cos ＝－，那么的值是( )
A．－1 B. C．1 D．2
答案 C
解析 ∵cos ＝－，且θ为第二象限角，
∴sin ＝－，
∴原式＝＝＝＝1.
4．已知cos(α－β)＝，sin β＝－，且α∈，β∈，则cos α等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 B
解析 ∵sin β＝－，且β∈，∴cos β＝，
又α∈，∴α－β∈(0，π)，
∴sin(α－β)＝，
∴cos α＝cos[(α－β)＋β]＝cos(α－β)cos β－sin(α－β)sin β
＝×－×
＝＋＝.
5．函数f?(x)＝sin x－cos的值域为( )
A．[－2,2] B．[－，]
C．[－1,1] D.
答案 B
解析 f?(x)＝sin x－
＝sin x－cos x
＝
＝sin
∴值域为[－，]．
6．若＝，则tan 2α＝________.
答案
解析 因为＝，整理得tan α＝－3，
所以tan 2α＝＝＝.
7．已知2π<θ<4π，且sin θ＝－，cos θ<0，则tan 的值为________．
答案 －3
解析 ∵2π<θ<4π，且sin θ<0，cos θ<0，
∴3π<θ<，cos θ＝－，
∴<<，∴tan <0，
∴tan ＝－＝－＝－3.
8．已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈，则β＝________.
答案
解析 ∵α∈，cos α＝，
∴sin α＝，又α，β∈，
∴α－β∈，
∴cos(α－β)＝，
∴sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×
＝－＝.
∵β∈，∴β＝.
9．已知α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－.
(1)求sin 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解 (1)已知α，β为锐角，cos α＝，所以sin α＝，
则sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝.
(2)由于α，β为锐角，则0<α＋β<π，
又cos(α＋β)＝－?sin(α＋β)＝，
由(1)知tan α＝＝，
所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α
＝－×＋×＝，
则tan β＝2，
故tan(α－β)＝＝＝－.
10．已知函数f?(x)＝(sin x＋cos x)2＋2cos2x－1.
(1)求f?(x)的最小正周期；
(2)求f?(x)在上的单调区间．
解 由已知得，f?(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1
＝sin＋1.
(1)函数的最小正周期T＝＝π.
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)得，
kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
又x∈，∴ x∈，
∴f?(x)的单调递增区间为，
同理可求f?(x)的单调递减区间为.
11．设a＝cos 6°－sin 6°，b＝2sin 13°cos 13°，c＝ ，则有( )
A．c
C．a答案 C
解析 a＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°，
b＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，
c＝sin 25°，
∵当0°≤x≤90°时，y＝sin x是增函数，
∴a12．函数y＝sincos x的最大值为( )
A. B. C．1 D.
答案 B
解析 y＝sincos x
＝
＝
＝sin－.
∴ymax＝－＝.
13．已知向量a＝(sin α，1)，b＝(2,2cos α－).若a⊥b，则sin等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 D
解析 ∵a⊥b，
∴a·b＝2sin α＋2cos α－＝2sin－＝0，
∴sin＝.
∵<α<π，∴<α＋<，
∴cos＝－.
∴sin＝－sin＝－cos＝.
14.＋＝________.
答案
解析 ＋
＝＋
＝
＝
＝
＝
＝2cos 30°＝.
15．已知＝，则tan α＋＝________.
答案 －8
解析 ∵＝，∴＝，
∴＝，
∴cos α－sin α＝，平方有1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－，tan α＋＝＋＝＝－8.
16．已知函数f?(x)＝cos2x＋2sin xcos x－sin2x.
(1)当x∈时，求f?(x)的值域；
(2)若f?(θ)＝，且<θ<，求cos 2θ的值；
(3)若f?(θ)＝，求tan2的值．
解 (1)f?(x)＝cos 2x＋sin 2x＝2sin.
∵x∈，∴≤2x＋≤，
∴－≤sin≤1，
∴当x∈时，f?(x)的值域为[－1,2]．
(2)∵f?(θ)＝，∴sin＝.
∵<θ<，∴<2θ＋<，
∴cos＝－，∴cos 2θ＝cos
＝coscos ＋sinsin
＝－×＋×
＝.
(3)∵f?(θ)＝，∴sin＝，
∴cos＝sin＝，
∴tan2＝＝
＝＝.
微专题2 辅助角公式及应用
辅助角公式的应用在考试中经常出现．三角函数问题一般都是先利用辅助角公式asin x＋bcos x＝·sin(x＋φ)化简成Asin(ωx＋φ)的形式，再求函数的性质等等．在应用过程中应理解φ的含义，sin φ＝，cos φ＝，tan φ＝.
一、利用辅助角公式化简
例1 化简：3sin＋3cos.
解 原式＝3
＝6
＝6sin
＝6sin.
二、利用辅助角公式求最值
例2 已知f?(x)＝2sin x－3cos x＋a，若对任意的x∈R有f?(x)≤0，求a的范围．
解 f?(x)≤0恒成立，即a≤－2sin x＋3cos x恒成立，
∵－2sin x＋3cos x＝sin(x＋φ)
＝sin(x＋φ)，
∴－2sin x＋3cos x的最小值为－，∴a≤－.
三、辅助角公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的含义
例3 已知函数f?(x)＝sin 2x＋mcos 2x，若f?(x)的图像关于x＝对称，求m的值．
解 方法一 f?(x)＝sin 2x＋mcos 2x＝·sin(2x＋φ)，
其中sin φ＝，cos φ＝，
∴tan φ＝m.
又∵f?(x)关于x＝对称，
∴2×＋φ＝＋kπ，k∈Z，
∴φ＝＋kπ，k∈Z，
∴tan φ＝tan＝1，∴m＝1.
方法二 f?(x)关于x＝对称，
∴当x＝时f?(x)最大或最小，
又f?(x)＝sin 2x＋mcos 2x＝sin(2x＋φ)，
∴f?＝±，
∴sin ＋mcos ＝±，
即(1＋m)＝±，平方有(1＋m)2＝1＋m2，得m2－2m＋1＝0，
∴(m－1)2＝0，∴m＝1.
例4 已知f?(x)＝5sin x－12cos x，若x0为f?(x)的最小值点，求cos x0.
解 f?(x)＝5sin x－12cos x＝sin(x＋φ)＝13sin(x＋φ)．
其中sin φ＝－，cos φ＝，
依题意x0＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
∴x0＝－φ－＋2kπ，k∈Z，
∴cos x0＝cos
＝cos
＝cos
＝－sin φ
＝.
四、向量与辅助角公式的综合应用
例5 已知a＝，b＝，且f?(x)＝a·b.
(1)求f?(x)的单调递减区间；
(2)当x∈时，求f?(x)的最大值和最小值．
解 f?(x)＝a·b＝3sin－3cos
＝6
＝6sin＝6sin.
(1)令＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
∴f?(x)的减区间为，k∈Z.
(2)∵x∈，∴2x－∈，
当2x－＝－，即x＝－时，f?(x)min＝－6，
当2x－＝，即x＝时，f?(x)max＝6sin ＝3.
课件12张PPT。微专题2 辅助角公式及应用第八章 向量的数量积与三角恒等变换一、利用辅助角公式化简二、利用辅助角公式求最值例2 已知f?(x)＝2sin x－3cos x＋a，若对任意的x∈R有f?(x)≤0，求a的范围．解 f?(x)≤0恒成立，即a≤－2sin x＋3cos x恒成立，三、辅助角公式asin x＋bcos x＝ sin(x＋φ)中φ的含义例3 已知函数f?(x)＝sin 2x＋mcos 2x，若f?(x)的图像关于x＝ 对称，求m的值．∴(m－1)2＝0，∴m＝1.例4 已知f?(x)＝5sin x－12cos x，若x0为f?(x)的最小值点，求cos x0.四、向量与辅助角公式的综合应用(1)求f?(x)的单调递减区间；本课结束