7．1 任意角的概念与弧度制
7．1.1 角的推广
学习目标 1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.3.了解象限角的概念．
知识点一 角的相关概念
1．角的概念：
一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的始边和终边．
2．角的分类：
名称
定义
图示
正角
按照逆时针方向旋转而成的角
负角
按照顺时针方向旋转而成的角
零角
一条射线没有旋转而成的角
由于角是旋转生成的，所以也常称为转角．
知识点二 角的加法与减法(β>0°)
1．α＋β：把角α的终边逆时针方向旋转角β.
2．α－β：把角α的终边顺时针方向旋转角β.
知识点三 象限角
在平面直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．
思考 “锐角”，“第一象限角”，“小于90°的角”三者有何不同？
答案 锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角．
知识点四 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可组成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
思考 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？
答案 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同．
1．第二象限角是钝角．( × )
2．经过6个小时，时针旋转180°.( × )
3．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．( √ )
4．始边与终边重合的角是零角．( × )
一、任意角的概念
例1 下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③角α与－α的终边关于x轴对称；
④第一象限的角一定不是负角．
其中正确的结论为________(填序号)．
答案 ②③
解析 ①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③角α与－α，旋转的绝对量相同，只是旋转方向不同，故③正确；
④－300°是第一象限角，故④不正确．
反思感悟 理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．
跟踪训练1 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为( )
A.120° B．－120° C．－60° D．60°
答案 B
解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－×360°＝－120°.
二、终边相同的角及象限角
例2 将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
解 (1)420°＝360°＋60°，
而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．
(2)－510°＝－2×360°＋210°，
而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．
(3)1 020°＝2×360°＋300°，
而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．
反思感悟 首先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限即可．
跟踪训练2 (1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
(2)与－460°角终边相同的角可以表示成( )
A．460°＋k·360°，k∈Z B．100°＋k·360°，k∈Z
C．260°＋k·360°，k∈Z D．－260°＋k·360°，k∈Z
答案 C
解析 因为－460°＝260°＋(－2)×360°，故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故选C.
三、区域角的表示
例3 如图所示．
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．
解 (1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝105°＋k·360°，k∈Z}．
(2)由(1)及图知，阴影部分的角的集合为{θ|30°＋k·360°≤θ<105°＋k·360°，k∈Z}．
延伸探究
把本例中的图改为
写出终边落在阴影部分的角的集合．
解 方法一 (并集法)
在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°≤α<105°和210°≤α<285°，所以α∈{α|k·360°＋30°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α方法二 (旋转法)
终边落在直线l1上的角可看成将终边落在x轴上的角逆时针方向旋转30°角得到，故终边落在直线l1上的角的集合为{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}，同理终边落在直线l2上的角的集合为{α|α＝105°＋n·180°，n∈Z}．故终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋n·180°≤α<105°＋n·180°，n∈Z}．
反思感悟 表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°(或0°～360°)范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合．
跟踪训练3 如图所示，写出顶点在原点，始边落在x轴的正半轴，终边落在阴影部分的角的集合．
解 如题图(1)所示，以OB为终边的角有225°角，可看成是－135°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为
{θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z}．
如题图(2)所示，以OB为终边的角有330°角，
可看成是－30°，
∴以OA，OB所在直线为终边的角的集合分别是：
S1＝{θ|θ＝75°＋k·180°，k∈Z}，
S2＝{θ|θ＝－30°＋k·180°，k∈Z}．
∴终边落在阴影部分的角的集合为
{θ|k·180°－30°<θ确定nα及所在的象限
典例 已知α是第二象限角，求角，2α所在的象限．
解 方法一 ∵α是第二象限角，
∴k·360°＋90°<α∴·360°＋45°<<·360°＋90°(k∈Z)．
当k为偶数时，令k＝2n(n∈Z)，得
n·360°＋45°<这表明是第一象限角；
当k为奇数时，令k＝2n＋1(n∈Z)，得
n·360°＋225°<这表明是第三象限角．
∴为第一或第三象限角．
方法二 如图，
先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为的终边所在的区域，故为第一或第三象限角．
又因为k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上．
[素养提升] 分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论．几何法依据数形结合，简单直观．通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养．
1．下列说法正确的是( )
A．不相等的角终边必不同
B．终边与始边均相同的角一定相等
C．第三象限的角不一定大于第二象限的角
D．第四象限的角一定是负角
答案 C
解析 30°与390°角不相等，但终边与始边均相同，故A，B说法错误；460°是第二象限角，200°是第三象限角，200°小于460°，故C说法正确；300°是第四象限角，也是正角，故D说法错误．
2．与－30°终边相同的角是( )
A．－330° B．150° C．30° D．330°
答案 D
解析 因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，取k＝1，得α＝330°.
3．－2 020°是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 B
解析 －2 020°＝－6×360°＋140°，因为140°角的终边落在第二象限，故选B.
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是( )
A．{α|α＝k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C．{α|α＝k·180°，k∈Z}
D．{α|α＝k·90°，k∈Z}
答案 D
解析 终边落在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．故选D.
5.已知角α的终边落在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是___________．
答案 {α|k·360°＋45°<α解析 观察图形可知，角α的集合是{α|k·360°＋45°<α1．知识清单：
(1)任意角的概念．
(2)终边相同的角与象限角．
(3)区域角的表示．
2．方法归纳：数形结合，分类讨论．
3．常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.
1．－870°角的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 －870°＝－3×360°＋210°，
∴－870°是第三象限角，故选C.
2．与－457°角的终边相同的角的集合是( )
A．{α|α＝457°＋k·360°，k∈Z}
B．{α|α＝97°＋k·360°，k∈Z}
C．{α|α＝263°＋k·360°，k∈Z}
D．{α|α＝－263°＋k·360°，k∈Z}
答案 C
3．下列说法正确的个数为( )
①第二象限角大于第一象限角；
②终边在x轴正半轴上的角是零角；
③钝角是第二象限角．
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 第二象限角如120°比第一象限角390°要小，故①错；360°的整数倍的角终边都在x轴正半轴上，故②错；③中钝角是第二象限角是对的．所以正确的只有1个．
4．下面各组角中，终边相同的是( )
A．390°，690° B．－330°，750°
C．480°，－420° D．3 000°，－840°
答案 B
解析 因为－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°，
所以－330°与750°终边相同．
5．若α是第四象限角，则180°－α是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
答案 C
解析 可以给α赋一特殊值－60°，
则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．
6．50°角的始边与x轴的正半轴重合，把其终边按顺时针方向旋转3周，所得的角是________．
答案 －1 030°
解析 顺时针方向旋转3周转了－(3×360°)＝－1 080°.
又50°＋(－1 080°)＝－1 030°，故所得的角为－1 030°.
7．终边落在第一、三象限的角平分线上的角的集合为______________________．
答案 {α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}
解析 第一、三象限的角平分线可以看成把x轴逆时针旋转45°得到，故所求的角的集合为{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}．
8．若时钟的时针走过了1小时20分钟，则分针转过的角为________．
答案 －480°
解析 时针走了1小时20分，则分针顺时针走了1圈，即转过的角度为－360°×＝－480°.
9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．
(1)－150°；(2)650°.
解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．
10．写出终边在下列各图所示阴影部分内的角的集合．
解 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则得
(1){α|30°＋k·360°≤α≤150°＋k·360°，k∈Z}．
(2){α|150°＋k·360°≤α≤390°＋k·360°，k∈Z}．
11．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是( )
A．第一或第三象限角 B．第一或第二象限角
C．第二或第四象限角 D．第三或第四象限角
答案 A
解析 当k＝2m＋1(m∈Z)时，
α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，
故α为第三象限角；
当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，
故α为第一象限角．
故α在第一或第三象限．
12．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是( )
A．90°－α B．90°＋α
C．360°－α D．180°＋α
答案 C
解析 特例法，取α＝30°，可知C正确．作为选择题，用特例求解更简便些．一般角所在的象限讨论，应学会用旋转的方法找角所在的象限．如，α＋90°，将角α的终边逆时针旋转90°，α－90°，则将α的终边顺时针旋转90°，角180°＋α的终边为角α的终边反向延长线，180°－α，先将角α的终边关于x轴对称，再关于原点对称，即可得到180°－α的终边等等．
13．已知角α的终边落在图中阴影所表示的范围内(不包括边界)，那么α的取值范围是________．
答案 {α|n·180°＋30°<α解析 方法一 (并集法)
在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°<α<150°和210°<α<330°.
所以α∈{α|k·360°＋30°<α方法二 (旋转法)
观察图形可知，图中阴影成“对角型”区域，其中一个区域逆(或顺)时针旋转180°，恰好与另一个区域重合，由此可知α∈{α|n·180°＋30°<α14．若角α满足180°<α<360°，角5α与α有相同的始边与终边，则角α＝________.
答案 270°
解析 ∵角5α与α具有相同的始边与终边，
∴5α＝k·360°＋α，k∈Z，
得4α＝k·360°，k∈Z，
∴α＝k·90°，k∈Z，
又180°<α<360°，
∴当k＝3时，α＝270°.
15．已知α是第三象限角，则是第________象限角．
答案 二或四
解析 ∵α是第三象限角，∴k·360°＋180°<α∴k·180°＋90°<当k＝2n时，n·360°＋90°<∴为第二象限角；
当k＝2n＋1时，n·360°＋270°<∴为第四象限角．
综上，为第二或第四象限角．
16.如图所示，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点A(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知P点在1 s内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回到了出发点A处，求θ.
解 ∵0°<θ<180°，且k·360°＋180°<2θ又∵14θ＝n·360°(n∈Z)，
∴θ＝，从而90°<<135°，n∈Z，
∴当n＝4时，θ＝；
当n＝5时，θ＝.
课件41张PPT。7.1.1 角的推广第七章 7.1 任意角的概念与弧度制学习目标XUE XI MU BIAO1.了解任意角的概念，区分正角、负角与零角.
2.理解并掌握终边相同的角的概念，能写出终边相同的角所组成的集合.
3.了解象限角的概念.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 角的相关概念1.角的概念：
一条射线绕其端点 到另一条射线所形成的 称为角，这两条射线分别称为角的 和 .旋转图形始边终边2.角的分类：逆时针顺时针没有由于角是旋转生成的，所以也常称为 .转角知识点二 角的加法与减法(β>0°)1.α＋β：把角α的终边 方向旋转角β.逆时针2.α－β：把角α的终边 方向旋转角β.顺时针知识点三 象限角在平面直角坐标系中，使角的顶点与 重合，角的始边落在x轴的正半轴上，这时，角的 在第几象限，就把这个角称为 ，如果角的终边在 ，就认为这个角不属于任何象限.坐标原点终边第几象限角坐标轴上思考 “锐角”，“第一象限角”，“小于90°的角”三者有何不同？答案 锐角是第一象限角也是小于90°的角，而第一象限角可以是锐角，也可以大于360°，还可能是负角，小于90°的角可以是锐角，也可以是零角或负角.所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可组成一个集合S＝______________
，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.知识点四 终边相同的角{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}思考 终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？答案 终边相同的角不一定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角终边相同.1.第二象限角是钝角.( )
2.经过6个小时，时针旋转180°.( )
3.终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.( )
4.始边与终边重合的角是零角.( )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU××√×2题型探究PART TWO一、任意角的概念例1 下列结论：
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③角α与－α的终边关于x轴对称；
④第一象限的角一定不是负角.
其中正确的结论为________(填序号).②③解析 ①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；
②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；
③角α与－α，旋转的绝对量相同，只是旋转方向不同，故③正确；
④－300°是第一象限角，故④不正确.理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可.跟踪训练1 若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为
A.120° B.－120° C.－60° D.60°√解析 由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，二、终边相同的角及象限角例2 将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角.
(1)420°；解 420°＝360°＋60°，
而60°角是第一象限角，
故420°是第一象限角.(2)－510°；解 －510°＝－2×360°＋210°，
而210°是第三象限角，
故－510°是第三象限角.(3)1 020°.解 1 020°＝2×360°＋300°，
而300°是第四象限角，
故1 020°是第四象限角.首先把各角写成k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，然后只需判断α所在的象限即可.跟踪训练2 (1)在四个角20°，－30°，100°，220°中，第二象限角的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3√(2)与－460°角终边相同的角可以表示成
A.460°＋k·360°，k∈Z B.100°＋k·360°，k∈Z
C.260°＋k·360°，k∈Z D.－260°＋k·360°，k∈Z√解析 因为－460°＝260°＋(－2)×360°，
故－460°可以表示成260°＋k·360°，k∈Z，故选C.三、区域角的表示例3 如图所示.(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；解 终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝30°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝105°＋k·360°，k∈Z}.(2)写出终边落在阴影部分的角的集合.解 由(1)及图知，阴影部分的角的集合为
{θ|30°＋k·360°≤θ<105°＋k·360°，k∈Z}.延伸探究
把本例中的图改为写出终边落在阴影部分的角的集合.解 方法一 (并集法)
在0°～360°范围内，终边落在阴影内的角为30°≤α<105°和210°≤α<285°，
所以α∈{α|k·360°＋30°≤α＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α终边落在直线l1上的角可看成将终边落在x轴上的角逆时针方向旋转30°角得到，故终边落在直线l1上的角的集合为{α|α＝30°＋n·180°，n∈Z}，
同理终边落在直线l2上的角的集合为{α|α＝105°＋n·180°，n∈Z}.
故终边落在阴影部分的角的集合为{α|30°＋n·180°≤α<105°＋n·180°，n∈Z}.表示区域角的三个步骤
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：分别标出起始和终止边界对应的－180°～180°(或0°～360°)范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合.跟踪训练3 如图所示，写出顶点在原点，始边落在x轴的正半轴，终边落在阴影部分的角的集合.解 如题图(1)所示，以OB为终边的角有225°角，可看成是－135°，
∴终边落在阴影部分的角的集合为
{θ|－135°＋k·360°≤θ≤135°＋k·360°，k∈Z}.
如题图(2)所示，以OB为终边的角有330°角，
可看成是－30°，
∴以OA，OB所在直线为终边的角的集合分别是：
S1＝{θ|θ＝75°＋k·180°，k∈Z}，
S2＝{θ|θ＝－30°＋k·180°，k∈Z}.
∴终边落在阴影部分的角的集合为
{θ|k·180°－30°<θ∴k·360°＋90°<α先将各象限分成2等份，再从x轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，又因为k·360°＋90°<α∴k·720°＋180°<2α∴角2α的终边在第三或第四象限或在y轴的非正半轴上.分类讨论时要对k的取值分以下几种情况进行讨论：k被n整除；k被n除余1；k被n除余2，…，k被n除余n－1.然后方可下结论.几何法依据数形结合，简单直观.通过该类问题，提升逻辑推理和直观想象等核心素养.3随堂演练PART THREE1.下列说法正确的是
A.不相等的角终边必不同
B.终边与始边均相同的角一定相等
C.第三象限的角不一定大于第二象限的角
D.第四象限的角一定是负角12345√解析 30°与390°角不相等，但终边与始边均相同，故A，B说法错误；
460°是第二象限角，200°是第三象限角，200°小于460°，故C说法正确；
300°是第四象限角，也是正角，故D说法错误.2.与－30°终边相同的角是
A.－330° B.150° C.30° D.330°12345√解析 因为所有与－30°终边相同的角都可以表示为
α＝k·360°＋(－30°)，k∈Z，
取k＝1，得α＝330°.3.－2 020°是
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角12345√解析 －2 020°＝－6×360°＋140°，
因为140°角的终边落在第二象限，故选B.4.终边与坐标轴重合的角α的集合是
A.{α|α＝k·360°，k∈Z}
B.{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°，k∈Z}
D.{α|α＝k·90°，k∈Z}12345√解析 终边落在坐标轴上的角大小为90°或90°的整数倍，
所以终边与坐标轴重合的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}.故选D.5.已知角α的终边落在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是___________________________________.12345{α|k·360°＋45°<α{α|k·360°＋45°<α(1)任意角的概念.
(2)终边相同的角与象限角.
(3)区域角的表示.
2.方法归纳：数形结合，分类讨论.
3.常见误区：锐角与小于90°角的区别，终边相同角的表示中漏掉k∈Z.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
