7．1.2 弧度制及其与角度制的换算
学习目标 1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数．
知识点一 角度制与弧度制
1．角度制
(1)定义：用度作单位来度量角的制度．
(2)1度的角：把圆周等分成360份，其中每一份所对应的圆心角为1度.1度等于60分，1分等于60秒．
即1°＝60′，1′＝60″.
2．弧度制
(1)定义：以弧度为单位来度量角的制度．
(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角．
(3)弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，则α＝.
思考 比值与所取的圆的半径大小是否有关？
答案 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关．
知识点二 弧度制与角度制的换算
角度化弧度
弧度化角度
360°＝2π rad
2π rad＝360°
180°＝π rad
π rad＝180°
1°＝ rad≈0.017 45 rad
1 rad＝°≈57.30°
角度数×＝弧度数
弧度数×°＝角度数
知识点三 弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝αr.
(2)扇形面积公式：S＝lr＝αr2.
思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？
答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似．实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高．
1．18°＝________ rad.
答案
2.＝________.
答案 54°
3．若α＝，则α是第________象限角．
答案 一
4．圆心角为弧度，半径为6的扇形的面积为________．
答案 6π
解析 扇形的面积为×62×＝6π.
一、弧度制的概念
例1 下列说法正确的是( )
A．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
B．大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C．所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D．用弧度表示的角都是正角
答案 A
解析 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误．
反思感悟 对弧度制定义的三点说明
(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值．
(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2 rad可简写为2.
(3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的．
跟踪训练1 下列各说法中，错误的是( )
A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B．1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
C．根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D．不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关
答案 D
解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，A，B，C均正确．
二、弧度制与角度制的换算
例2 (1)把下列角度化成弧度或弧度化成角度．
①112°30′；②－300°；③2；④－.
解 ①112°30′＝112.5°＝112.5×＝；
②－300°＝－300×＝－；
③2＝2×°＝°；
④－＝－°＝－40°.
(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？
解 －1 480°＝－1 480×＝－π＝－10π＋，
因为<<2π，
所以是第四象限角，故－1 480°是第四象限角．
反思感悟 弧度制与角度制的换算
(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：角度数×＝弧度数，弧度数×°＝角度数．
(2)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ(k∈Z)是π的偶数倍，而不是整数倍．
(3)角度制与弧度制不能混用．
跟踪训练2 (1)已知α＝15°，β＝，r＝1，θ＝105°，φ＝，则α，β，r，θ，φ的大小关系为____________________．
答案 α<β(2)如图所示，则终边在阴影部分内的角的集合为(用弧度制表示)______________________．
答案
解析 60°＝，－30°＝－，
则题图中阴影部分内的角的集合为
.
三、与扇形的弧长、面积有关的计算
例3 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数．
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
依题意有
①代入②，得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad(舍去)．
当R＝4时，l＝2，此时，θ＝＝(rad)．
综上可知，扇形圆心角的弧度数为 rad.
延伸探究
已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
则l＋2r＝4，所以l＝4－2r，
所以S＝l·r＝×(4－2r)×r
＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
因此，θ＝＝＝2(rad)．
反思感悟 扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝lR＝αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π)．
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解．
跟踪训练3 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积．
解 已知扇形的圆心角α＝60°＝，半径r＝10 cm，
则弧长l＝α·r＝×10＝(cm)，
于是面积S＝lr＝××10＝(cm2)．
1．下列说法中，错误的是( )
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．周角的大小等于2π
C．长度等于直径长的圆弧所对的圆心角大小为2弧度
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度
答案 D
解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误．
2．若α＝－2 rad，则α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
3．把化为角度是( )
A．270° B．280° C．288° D．318°
答案 B
解析 ＝×°＝280°.
4．将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是( )
A．－－8π B.－8π
C.－10π D.－10π
答案 D
解析 －1 485°＝－1 485×＝－＝－10π，故选D.
5．已知扇形的半径为R，面积为R2，那么这个扇形的圆心角的弧度数是________．
答案 2
解析 ∵S＝lR＝R2，∴l＝2R，∴＝2，故圆心角为2 rad.
1．知识清单：
(1)弧度制的概念．
(2)弧度制与角度制的换算．
(3)扇形的弧长与面积的计算．
2．方法归纳：消元法解方程组，配方法．
3．常见误区：弧度与角度混用．
1．－120°化为弧度为( )
A．－ B．－ C．－ D．－
答案 C
解析 由于1°＝ rad，
所以－120°＝－120×＝－，故选C.
2．若扇形的半径变为原来的2倍，而弧长也增加到原来的2倍，则( )
A．扇形的面积不变
B．扇形的圆心角不变
C．扇形的面积增大到原来的2倍
D．扇形的圆心角增大到原来的2倍
答案 B
解析 ∵l＝αR，∴α＝.
当R，l均变为原来的2倍时，α不变．
而S＝αR2中，
∵α不变，∴S变为原来的4倍．
3．下列与的终边相同的角的表达式中，正确的是( )
A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z)
C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z)
答案 C
解析 A，B中弧度与角度混用，不正确．
＝2π＋，所以与的终边相同．
－315°＝－360°＋45°，
所以－315°也与45°的终边相同．故选C.
4．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了周，转过的弧度为－×2π＝－.
5．集合中角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 k为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y＝x左上部分(包含边界)，k为奇数时集合对应的区域为第三象限内直线y＝x的右下部分(包含边界)．故选C.
6. rad＝________度，________rad＝－480°.
答案 75 －
解析 ＝×°＝75°，
－480°＝－480×＝－.
7．终边在直线y＝－x上的角的集合为(用弧度制表示)______________________．
答案
8．在直径长为20 cm的圆中，圆心角为165°时所对的弧长为________ cm.
答案
解析 ∵165°＝×165＝(rad)，
∴l＝×10＝(cm)．
9．已知角α＝－1 725°，β＝.
(1)将α，β改写成θ＋2kπ(k∈Z,0≤θ<2π)的形式，并指出是第几象限角；
(2)在区间[－4π，0)上找出与角α终边相同的角．
解 (1)α＝－1 725°＝－1 725×＝－＝－10π，
又0<<，
故α是第一象限角．
β＝＝＋4π，
又π<<，
故β是第三象限角．
(2)与α终边相同的角为α1＝＋2kπ，k∈Z，
又－4π≤α<0，
令k＝－1，得α1＝－，
令k＝－2，得α1＝－.
10．已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.
(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；
(2)求α所在的扇形的弧长l及弧所在的弓形的面积S.
解 (1)由⊙O的半径r＝10＝AB，
知△AOB是等边三角形，
∴α＝∠AOB＝60°＝.
(2)由(1)可知α＝，r＝10，
∴弧长l＝α·r＝×10＝，
∴S扇形＝lr＝××10＝，
而S△AOB＝·AB·AB＝×10×5＝25，
∴S弓形＝S扇形－S△AOB＝25.
11．已知角α与β的终边关于原点对称，则α与β的关系为( )
A．α－β＝π＋2kπ(k∈Z) B．α＋β＝0
C．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．以上都不对
答案 A
解析 由已知可得α－β＝π＋2kπ(k∈Z)．
12．已知一扇形的弧长为，面积为，则其半径r＝________，圆心角为________．
答案 2
解析 设圆心角度数为α，
因为扇形的弧长为，面积为＝××r，
解得r＝2，由于扇形的弧长为＝rα＝2α，解得α＝.
13．设集合M＝，N＝{α|－π<α<π}，则M∩N＝________________.
答案
解析 由－π<－<π，得－因为k∈Z，所以k＝－1,0,1,2，
所以M∩N＝.
14．如果圆心角为的扇形所对的弦长为2，则扇形的面积为________．
答案
解析 如图，作BF⊥AC.
已知AC＝2，∠ABC＝，则AF＝，∠ABF＝.
∴AB＝＝2，即R＝2.∴S＝αR2＝.
15．扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为________．
答案 2∶3
解析 如图，设内切圆半径为r，
则r＝，所以S圆＝π·2＝，
S扇＝a2·＝，
所以＝.
16．如图，动点P，Q从点A(4,0)出发，沿圆周运动，点P按逆时针方向每秒钟转弧度，点Q按顺时针方向每秒钟转弧度，求P，Q第一次相遇时所用的时间及P，Q点各自走过的弧长．
解 设P，Q第一次相遇时所用的时间是t 秒，
则t·＋t·＝2π，
所以t＝4 秒，
即P，Q第一次相遇时所用的时间为4秒．
P点走过的弧长为×4＝，
Q点走过的弧长为×4＝.
课件34张PPT。7.1.2 弧度制及其与角度制的换算第七章 7.1 任意角的概念与弧度制学习目标XUE XI MU BIAO1.了解弧度制下，角的集合与实数集之间的一一对应关系.
2.理解“1弧度的角”的定义，掌握弧度与角度的换算、弧长公式和
扇形面积公式，熟悉特殊角的弧度数.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 角度制与弧度制1.角度制
(1)定义：用 作单位来度量角的制度.
(2)1度的角：把圆周等分成 份，其中每一份所对应的圆心角为1度.1度等于 分，1分等于 秒.
即1°＝60′，1′＝ .度360606060″2.弧度制
(1)定义：以 为单位来度量角的制度.
(2)1弧度的角：长度等于 的圆弧所对的圆心角.
(3)弧度数的计算公式：在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，
则α＝ .弧度半径长思考 比值 与所取的圆的半径大小是否有关？答案 一定大小的圆心角α所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与半径大小无关.知识点二 弧度制与角度制的换算2π360°π180°设扇形的半径为r，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ .
(2)扇形面积公式：S＝ ＝ .知识点三 弧度制下的弧长与扇形面积公式αr思考 扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？答案 扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高.1.18°＝____ rad.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN54°一6π2题型探究PART TWO一、弧度制的概念例1 下列说法正确的是
A.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
B.大圆中1弧度的圆心角比小圆中1弧度的圆心角大
C.所有圆心角为1弧度的角所对的弧长都相等
D.用弧度表示的角都是正角√解析 对于A，根据弧度的定义知，“1弧度的圆心角所对的弧长等于半径”，故A正确；
对于B，大圆中1弧度的圆心角与小圆中1弧度的圆心角相等，故B错误；
对于C，不在同圆或等圆中，1弧度的圆心角所对的弧长是不相等的，故C错误；
对于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D错误.对弧度制定义的三点说明
(1)不管是以弧度还是度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值.
(2)在弧度制下，“弧度”二字或“rad”可以省略不写，如2 rad可简写为2.
(3)用弧度与度去度量同一个角时，除了零角以外，所得到的数量是不同的.跟踪训练1 下列各说法中，错误的是
A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
B.1弧度的角是长度等于半径长的弧所对的圆心角
C.根据弧度的定义，180°一定等于π弧度
D.不论用角度制还是用弧度制度量角，它们均与圆的半径长短有关√解析 根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D是错误的，A，B，C均正确.二、弧度制与角度制的换算例2 (1)把下列角度化成弧度或弧度化成角度.
①112°30′；②－300°；③2；(2)把－1 480°写成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？故－1 480°是第四象限角.弧度制与角度制的换算
(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，
由它可以得到：角度数× ＝弧度数，弧度数× ＝角度数.
(2)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ(k∈Z)是π的偶数倍，而不是整数倍.
(3)角度制与弧度制不能混用.跟踪训练2 (1)已知α＝15°，β＝ ，r＝1，θ＝105°，φ＝ ，则α，β，r，θ，
φ的大小关系为____________.α<β________________________________.则题图中阴影部分内的角的集合为三、与扇形的弧长、面积有关的计算例3 已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，①代入②，得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad(舍去).延伸探究
已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？解 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，＝－r2＋2r＝－(r－1)2＋1，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝ lR＝ αR2(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.跟踪训练3 已知扇形的半径为10 cm，圆心角为60°，求扇形的弧长和面积.3随堂演练PART THREE1.下列说法中，错误的是
A.半圆所对的圆心角是π rad
B.周角的大小等于2π
C.长度等于直径长的圆弧所对的圆心角大小为2弧度
D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度12345√解析 根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A，B，C均正确，D错误.2.若α＝－2 rad，则α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限12345√A.270° B.280° C.288° D.318°12345√4.将－1 485°化成α＋2kπ(0≤α<2π，k∈Z)的形式是12345√5.已知扇形的半径为R，面积为R2，那么这个扇形的圆心角的弧度数是____.123452故圆心角为2 rad.1.知识清单：
(1)弧度制的概念.
(2)弧度制与角度制的换算.
(3)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：消元法解方程组，配方法.
3.常见误区：弧度与角度混用.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
