7．2 任意角的三角函数
7．2.1 三角函数的定义
学习目标 1.理解任意角的三角函数的定义.2.掌握三角函数在各个象限的符号.3.掌握由角或角终边上点的坐标求角的正弦、余弦、正切．
知识点一 任意角的正弦、余弦与正切的定义
前提
如图，角α终边上异于原点的任意一点P(x，y)，r＝
定义
正弦
称为角α的正弦，记作sin α，即sin α＝
余弦
称为角α的余弦，记作cos α，即cos α＝
正切
当角α的终边不在y轴上时，称为角α的正切，记作tan α，即tan α＝
角α的正弦、余弦、正切都称为α的三角函数
思考 三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？
答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．
知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
三角函数值在各象限内的符号，如图所示．
记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
1．若sin α>0，cos α<0，则α为第二象限角．( √ )
2．设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝，且y越大，sin α的值越大．( × )
3．终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )
4．终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( × )
一、求任意角的三角函数值
例1 (1)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ.
解 由题意知r＝|OP|＝，
由三角函数定义得cos θ＝＝ .
又∵cos θ＝x，
∴＝x.
∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
当x＝－1时，P(－1,3)，
此时sin θ＝＝，tan θ＝＝－3.
(2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值．
解 设射线y＝2x(x≥0)上任一点P(x0，y0)(原点除外)，
则|OP|＝r＝，
∵y0＝2x0，∴r＝x0，
∴sin α＝＝，cos α＝＝.
延伸探究
1．若将本例(1)中“cos θ＝x”改为“cos θ＝”求sin θ，cos θ.
解 依题意＝.
解得x＝±1，但由＝知x>0，故x＝1，
∴点P(1,3)，r＝，
∴sin θ＝＝，tan θ＝＝3.
2．若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”，换为“α的终边落在直线y＝2x上”，其结论又如何呢？
解 (1)若α的终边在第一象限内，
设点P(a,2a)(a>0)是其终边(除原点外)上任意一点，
因为r＝|OP|＝＝a，
所以sin α＝＝＝，cos α＝＝＝.
(2)若α的终边在第三象限内，
设点P(a,2a)(a<0)是其终边(除原点外)上任意一点，
因为r＝|OP|＝＝－a(a<0)，
所以sin α＝＝＝－，
cos α＝＝＝－.
反思感悟 利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，应分两种情况来处理，把直线看成两条射线，在两条射线上各任取一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α＝，余弦值cos α＝，正切值tan α＝.
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．
跟踪训练1 (1)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.
答案 1或－1
解析 因为r＝＝5|a|，
①若a>0，则r＝5a，角α的终边在第二象限．
sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，
所以2sin α＋cos α＝－＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α的终边在第四象限，
sin α＝＝－，cos α＝＝.
所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1.
(2)求的正弦、余弦和正切．
解 如图，在的终边上取点P，使OP＝2，作PM⊥Ox，
则在Rt△POM中，
∠POM＝2π－＝，
所以∠OPM＝，则OM＝1，MP＝.
所以点P的坐标为(1，－)，
因此sin ＝－，cos ＝，tan ＝－.
二、判断三角函数值的符号
例2 (1)确定下列各值的符号．
①sin(－100°)；②tan 300°；③sin ·cos；④sin 3·cos 4·tan 5.
解 ①－100°是第三象限角，故sin(－100°)<0.
②300°是第四象限角，故tan 300°<0.
③是第一象限角，故sin >0，－是第四象限角．故cos>0，因此sin ·cos>0.
④∵<3<π<4<<5<2π，
∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0，
∴sin 3·cos 4·tan 5>0.
(2)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 因为点P在第四象限，所以有
由此可判断角α的终边在第三象限．
反思感悟 判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限：确定角α的终边所在的象限．
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
跟踪训练2 (1)已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
(2)若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能
答案 B
解析 α为三角形内角，
所以0<α<π，即α的终边在第一、第二象限或y轴的正半轴上，
所以sin α>0，cos β<0，又0<β<π，
所以β为第二象限角，即β为钝角，
故三角形为钝角三角形．
1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于( )
A. B. C．－ D．－
答案 D
解析 由题意可知，x＝－4，y＝3，r＝5，
所以cos α＝＝－.故选D.
2．cos 的值是( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
3．若sin θ·cos θ>0，则θ的终边在( )
A．第一或第四象限 B．第一或第三象限
C．第一或第二象限 D．第二或第四象限
答案 B
解析 因为sin θ·cos θ>0，
所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，
所以θ的终边在第一象限或第三象限．
4．当α为第二象限角时，－的值是( )
A．1 B．0 C．2 D．－2
答案 C
解析 ∵α为第二象限角，
∴sin α>0，cos α<0.
∴－＝－＝2.
5．α是第四象限角，α终边上点P(3，y)，若cos α＝，则tan α＝________.
答案 －
解析 ∵cos α＝＝，
∴＝5，
∴y2＝16，
又∵α是第四象限角，
∴点P在第四象限，
∴y<0，∴y＝－4，
∴tan α＝－.
1．知识清单：
(1)三角函数的定义及求法．
(2)三角函数在各象限内的符号．
2．方法归纳：数形结合，分类讨论．
3．常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关．
1．已知角α的终边过点(12，－5)，则sin α＋cos α等于( )
A．－ B. C. D．－
答案 B
解析 ∵r＝＝13，
∴sin α＝－，cos α＝，
∴sin α＋cos α＝－＋×＝.
2．已知cos α＝－，sin α＝，那么α的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 ∵cos α<0，sin α>0，
∴α的终边在第二象限．
3．下列三角函数值小于0的是( )
①sin(－1 000°)；②cos 650°；③tan(－4)；④sin .
A．① B．② C．③ D．④
答案 C
解析 －1 000°＝－3×360°＋80°为第一象限角，
∴sin(－1 000°)>0；
650°＝360°＋290°为第四象限角，∴cos 650°>0；
因为－4∈，所以－4为第二象限角，
∴tan(－4)<0；
因为∈，所以为第二象限角，∴sin >0.
4．如果sin α·cos α<0，sin α·tan α<0，那么角α的终边位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 B
解析 sin α·cos α<0，所以α是第二或第四象限角，
又sin α·tan α<0，所以α是第二或第三象限角，
故α为第二象限角，α的终边位于第二象限．
5．若cos α＝－，且角α的终边经过点P(x,2)，则P点的横坐标x是( )
A．2 B．±2 C．－2 D．－2
答案 D
解析 因为cos α＝－<0，所以x<0，
又r＝，由题意得＝－，
所以x＝－2.故选D.
6．已知角α＝，则sin α＝________，cos α＝________.
答案 － －
解析 如图，在α终边上取点P使OP＝2，
∵α＝，∴∠POM＝，
∴△POM为等腰直角三角形，
∴OM＝，MP＝.
∴点P(－，－)，
∴sin α＝－，cos α＝－.
7．点P(tan 2 020°，cos 2 020°)位于第________象限．
答案 四
解析 因为2 020°＝5×360°＋220°，
因为220°是第三象限角，
所以tan 2 020°>0，cos 2 020°<0，
所以点P位于第四象限．
8．已知角α的终边过点P(12，a)，且tan α＝，则sin α·cos α的值为________．
答案
解析 根据三角函数的定义，tan α＝＝，
所以a＝5，
所以P(12,5)，这时r＝13，
所以sin α＝，cos α＝，
从而sin α·cos α＝.
9．已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α＋cos α的值．
解 在角α的终边上任取一点P(x，y)，
则y＝x.
当x>0时，r＝＝x，sin α＋cos α＝＋
＝＋＝；
当x<0时，r＝＝－x，sin α＋cos α＝＋＝－－＝－.
10．α是第三象限角，且＝－cos ，试判断的终边所在象限．
解 因为α是第三象限角，
所以2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z.
所以kπ＋<所以在第二、四象限．
又因为＝－cos ，
所以cos <0.
所以是第二象限角，的终边在第二象限．
11．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
答案 A
解析 由题意，得
解得－2＜a≤3，故选A.
12．如果点P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的终边在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 由题意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0，
∴
∴θ为第三象限角．
13．某点从点(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1按逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 由三角函数的定义可得Q，
cos ＝－，sin ＝.
14．若角α的终边与直线y＝3x重合且sin α<0，又P(m，n)是α终边上一点，且|OP|＝，则m－n＝________.
答案 2
解析 ∵y＝3x且sin α<0，
∴点P(m，n)位于y＝3x在第三象限的图像上，
且m<0，n<0，n＝3m.
∴|OP|＝＝|m|＝－m＝，
∴m＝－1，n＝－3，
∴m－n＝2.
15．函数y＝＋＋的值域是( )
A．{－1,1,3} B．{1,3}
C．{－1,3} D．R
答案 C
解析 由题意知sin x≠0，cos x≠0，所以x的终边不在坐标轴上．当x是第一象限角时，y＝3；当x是第二象限角时，y＝1－1－1＝－1；当x是第三象限角时，y＝－1－1＋1＝－1；当x是第四象限角时，y＝－1＋1－1＝－1.综上，函数的值域是{－1,3}．
16．已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α的终边所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解 (1)由＝－，
可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
∴角α是第四象限角，终边在第四象限．
(2)∵|OM|＝1，
∴2＋m2＝1，
解得m＝±.
又α是第四象限角，
故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝
＝＝－.
课件33张PPT。7.2.1 三角函数的定义第七章 7.2 任意角的三角函数学习目标XUE XI MU BIAO1.理解任意角的三角函数的定义.
2.掌握三角函数在各个象限的符号.
3.掌握由角或角终边上点的坐标求角的正弦、余弦、正切.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 任意角的正弦、余弦与正切的定义三角函数思考 三角函数值的大小与点P在角α终边上的位置是否有关？答案 三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关.知识点二 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号三角函数值在各象限内的符号，如图所示.记忆口诀：一 ，二 ，三 ，四 .全正正弦正切余弦1.若sin α>0，cos α<0，则α为第二象限角.( )
2.设角α终边上的点P(x，y)，r＝|OP|≠0，则sin α＝ ，且y越大，sin α的值越大.( )
3.终边相同的角的同一三角函数值相等.( )
4.终边落在y轴上的角的正切函数值为0.( )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU√×√×2题型探究PART TWO一、求任意角的三角函数值例1 (1)已知θ终边上一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝ ，求sin θ，tan θ.∵x≠0，∴x＝±1.
当x＝1时，P(1,3)，当x＝－1时，P(－1,3)，(2)已知角α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上，求sin α，cos α的值.解 设射线y＝2x(x≥0)上任一点P(x0，y0)(原点除外)，延伸探究2.若将本例(2)中条件“α的终边落在射线y＝2x(x≥0)上”，换为“α的终边落在直线y＝2x上”，其结论又如何呢？解 (1)若α的终边在第一象限内，
设点P(a,2a)(a>0)是其终边(除原点外)上任意一点，(2)若α的终边在第三象限内，
设点P(a,2a)(a<0)是其终边(除原点外)上任意一点，利用三角函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的三角函数值时，应分两种情况来处理，把直线看成两条射线，在两条射线上各任取一点坐标(a，b)(a≠0)，则对应角的正弦值sin α＝ ，余弦值cos α＝ ，正切值tan α＝ .
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.跟踪训练1 (1)已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，则2sin α＋cos α＝________.1或－1①若a>0，则r＝5a，角α的终边在第二象限.②若a<0，则r＝－5a，角α的终边在第四象限，使OP＝2，作PM⊥Ox，则在Rt△POM中，二、判断三角函数值的符号例2 (1)确定下列各值的符号.
①sin(－100°)；解 －100°是第三象限角，故sin(－100°)<0.②tan 300°；解 300°是第四象限角，故tan 300°<0.④sin 3·cos 4·tan 5.∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0，
∴sin 3·cos 4·tan 5>0.(2)已知点P(tan α，cos α)在第四象限，则角α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限√由此可判断角α的终边在第三象限.判断三角函数值正负的两个步骤
(1)定象限：确定角α的终边所在的象限.
(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断.跟踪训练2 (1)已知点P(sin α，cos α)在第三象限，则角α的终边在
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限√(2)若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β<0，则此三角形必为
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.以上三种情况都有可能√解析 α为三角形内角，
所以0<α<π，即α的终边在第一、第二象限或y轴的正半轴上，
所以sin α>0，cos β<0，又0<β<π，
所以β为第二象限角，即β为钝角，
故三角形为钝角三角形.3随堂演练PART THREE1.已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α等于√12345解析 由题意可知，x＝－4，y＝3，r＝5，√123453.若sin θ·cos θ>0，则θ的终边在
A.第一或第四象限 B.第一或第三象限
C.第一或第二象限 D.第二或第四象限√12345解析 因为sin θ·cos θ>0，
所以sin θ<0，cos θ<0或sin θ>0，cos θ>0，
所以θ的终边在第一象限或第三象限.12345A.1 B.0 C.2 D.－2√解析 ∵α为第二象限角，
∴sin α>0，cos α<0.12345∴y2＝16，
又∵α是第四象限角，
∴点P在第四象限，
∴y<0，∴y＝－4，1.知识清单：
(1)三角函数的定义及求法.
(2)三角函数在各象限内的符号.
2.方法归纳：数形结合，分类讨论.
3.常见误区：三角函数值的大小只与角的大小有关，与终边上的点无关.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
