7．2.2 单位圆与三角函数线
学习目标 1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切.
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一 单位圆
1．在平面直角坐标系中，坐标满足x2＋y2＝1的点组成的集合称为单位圆．
2．角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)，即角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标．
知识点二 三角函数线
1．角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，M为垂足，点A(1,0)，直线x＝1与角α终边所在直线交于点T，如图．
则角α的正弦线为，余弦线为，正切线为.
2．正弦线、余弦线和正切线都称为三角函数线．
思考 三角函数线的方向是如何规定的？
答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值．
1．余弦线也可写成.( × )
2．三角函数线的长度等于三角函数值( × )
3．三角函数线的方向表示三角函数值的正负．( √ )
4．当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．( √ )
一、三角函数线
例1 作出－的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出－的正弦、余弦和正切．
解 如图，作－的终边与单位圆交于点P，作PM⊥x轴，M为垂足．
直线x＝1过点A(1,0)且与－终边所在直线交于点T.
所以－的正弦线为，余弦线为，正切线为.
依题意∠POM＝，
所以MP＝，OM＝，AT＝，
所以点P坐标为，
故sin＝－，cos＝－，tan＝.
反思感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线．
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线.
跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝的角α的终边，并求角α的取值集合．
解 已知角α的正弦值，可知MP＝，则P点纵坐标为.所以在y轴上取点，过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，因而角α的取值集合为.
二、利用三角函数线比较大小
例2 利用三角函数线比较sin 和sin ，cos 和cos ，tan 和tan 的大小．
解 如图，sin ＝||，cos ＝－||，tan ＝－||，
sin ＝||，cos ＝－||，tan ＝－||.
显然||>||，符号皆正，
∴sin >sin ；
||<||，符号皆负，
∴cos >cos ；
||>||，符号皆负，
∴tan
反思感悟 利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”．(2)比较三角函数线的长度．(3)确定有向线段的正负．
跟踪训练2 比较sin 75°与sin 146°的大小．
解 如图，在单位圆中，分别作出75°和146°的正弦线，.
∵||>||，且符号皆正，
∴sin 75°>sin 146°.
三、利用三角函数线解不等式(组)
例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合．
(1)sin α≥；
(2)cos α≤－.
解 (1)作直线y＝交单位圆于A，B两点，连接OA，OB，则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足要求的角α的集合为.
(2)作直线x＝－交单位圆于C，D两点，连接OC，OD，则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，即为角α的终边的范围．
故满足条件的角α的集合为
.
反思感悟 用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不等式，应注意以下两点
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周角的整数倍．
(2)注意区间是开区间还是闭区间．
跟踪训练3 求函数y＝的定义域．
解 由题意知，自变量x应满足1－2cos x≥0，
即cos x≤，
则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，
∴函数的定义域为
.
1．角α的终边与单位圆交于点P，则sin α－cos α等于( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 依题意cos α＝－，sin α＝，所以sin α－cos α＝.
2．角和角有相同的( )
A．正弦线 B．余弦线
C．正切线 D．不能确定
答案 C
3．已知角α的正弦线是单位的有向线段，那么角α的终边( )
A．在x轴上 B．在y轴上
C．在直线y＝x上 D．在直线y＝x或y＝－x上
答案 B
解析 依题意sin α＝1或sin α＝－1，
∴角α的终边在y轴上．
4．设a＝sin ，b＝cos ，c＝tan ，则( )
A．aC．b答案 D
解析 作的三角函数线，的正弦线、余弦线、正切线分别为，，.
∵<<，
∴||<||<||，
∴b5．函数y＝的定义域为______________________．
答案
1．知识清单：
(1)单位圆．
(2)三角函数线．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：三角函数线是有方向的线段，方向决定正负．
1．下列四个命题中：
①当α一定时，单位圆中的正弦线一定；
②在单位圆中，有相同正弦线的角相等；
③α和α＋π有相同的正切线；
④具有相同正切线的两个角的终边在同一条直线上．
则错误命题的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由三角函数线的定义知①③④正确，②错误．
2．点A(x，y)是60°角的终边与单位圆的交点，则的值为( )
A. B．－ C. D．－
答案 A
解析 依题意点A的坐标为(cos 60°，sin 60°)，
即A，
所以＝＝.
3．如果<α<，那么下列不等式成立的是( )
A．cos αC．sin α答案 A
解析 方法一 (特值法)令α＝，
则cos α＝，tan α＝，sin α＝，
故cos α方法二 如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线，余弦线，正切线，
则||<||<||，
即cos α4．有三个命题：①和的正弦线长度相等；②和的正切线相同；③和的余弦线长度相等．
其中正确说法的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．0
答案 C
解析 和的正弦线关于y轴对称，长度相等；
和两角的正切线相同；
和的余弦线长度相等．
故①②③都正确，故选C.
5．在下列各组的大小比较中，正确的是( )
A．sin >sin B．cos >cos
C．tan >tan D．sin >tan
答案 B
6．比较大小：sin 1________sin (填“>”或“<”)．
答案 <
解析 因为0<1<<，结合单位圆中的三角函数线，知sin 17．不等式tan α＋>0的解集是______________．
答案
解析 不等式的解集如图所示(阴影部分)，
∴.
8．若θ∈，则sin θ的取值范围是________．
答案
解析 如图所示，作出和的正弦线，
可得sin θ∈.
9．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边．
(1)sin α＝；(2)cos α＝－.
解 (1)作直线y＝交单位圆于P，Q两点，
则OP，OQ为角α的终边，如图甲．
(2)作直线x＝－交单位圆于M，N两点，
则OM，ON为角α的终边，如图乙．
10．已知函数f?(α)＝＋lg(2cos α－1)，求函数f?(α)的定义域．
解 依题意即
在直角坐标系中作单位圆，如图所示，由三角函数线可得
解集为图中阴影重叠的部分，故原不等式组的解集为.
所以函数f?(α)的定义域为.
11．函数f?(x)＝2cos x－1，且f?(x)的最大值为m，最小值为n.则m＋n等于( )
A．－1 B．2 C．0 D．－2
答案 D
解析 由三角函数线知cos x最大为1，最小为－1，
∴f?(x)max＝2－1＝1.f?(x)min＝2×(－1)－1＝－3.
故m＝1，n＝－3，
所以m＋n＝－2.
12．若0<α<2π，且sin α<，cos α>，则角α的取值范围是( )
A. B.
C. D.∪
答案 D
解析 角α的取值范围为图中阴影部分，
即∪.
13．使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是( )
A. B.
C. D．[0，π]
答案 A
解析 如图所示，
当x＝和x＝－时，sin x＝cos x，故使sin x≤cos x成立的x的一个变化区间是.
14．把sin ，sin ，cos ，tan 由小到大排列为_________________．
答案 cos 解析 由图可知，
的正弦线为，
的正弦线为，
的余弦线为，
的正切线为.
∴0而cos <0，∴cos 15．点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)所在的象限为( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 D
解析 因为＜3＜π，作出单位圆如图所示．
3弧度的正弦线、余弦线分别为，，
所以sin 3>0，cos 3<0.
所以sin 3－cos 3＞0.
因为||＜||，
所以sin 3＋cos 3＝||－||＜0.
故点P(sin 3－cos 3，sin 3＋cos 3)在第四象限．
16．利用三角函数线证明：若0<α<β<，则β－α>sin β－sin α.
证明 如图，
单位圆O与x轴正半轴交于点A，与角α，β的终边分别交于点Q，P，过P，Q分别作OA的垂线，设垂足分别为点M，N，则由三角函数线定义可知：
sin α＝||，sin β＝||，过点Q作QH⊥MP于点H，于是MH＝NQ，
则HP＝MP－MH＝sin β－sin α.
由图可知HP<＝－＝β－α，
即β－α>sin β－sin α.
课件29张PPT。7.2.2 单位圆与三角函数线第七章 7.2 任意角的三角函数学习目标XUE XI MU BIAO1.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦
和正切.
2.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 单位圆1.在平面直角坐标系中，坐标满足 的点组成的集合称为单位圆.
2.角α的终边与单位圆的交点为P，则P的坐标为(cos α，sin α)，即角α的余弦和正弦分别等于角α终边与单位圆交点的 和 .x2＋y2＝1横坐标纵坐标知识点二 三角函数线1.角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，M为垂足，点A(1,0)，直线x＝1与角α终边所在直线交于点T，如图.则角α的正弦线为 ，余弦线为 ，正切线为 .2.正弦线、余弦线和正切线都称为 .三角函数线思考 三角函数线的方向是如何规定的？答案 方向与x轴或y轴的正方向一致的为正值，反之，为负值.1.余弦线 也可写成 .( )
2.三角函数线的长度等于三角函数值( )
3.三角函数线的方向表示三角函数值的正负.( )
4.当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在.( )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU××√√2题型探究PART TWO一、三角函数线例1 作出－ 的正弦线、余弦线和正切线，并利用三角函数线求出－ 的正弦、余弦和正切.(1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线.
(2)作正切线时，应从点A(1,0)引单位圆的切线，交角的终边或终边的反向延长线于一点T，即可得到正切线 .跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝ 的角α的终边，并求角α的取值集合.过该点作x轴的平行线，交单位圆于P1，P2两点，则OP1，OP2是角α的终边，二、利用三角函数线比较大小利用三角函数线比较三角函数值的大小时，一般分三步：(1)角的位置要“对号入座”.(2)比较三角函数线的长度.(3)确定有向线段的正负.跟踪训练2 比较sin 75°与sin 146°的大小.∴sin 75°>sin 146°.三、利用三角函数线解不等式(组)例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合.则OA与OB围成的区域(如图(1)所示的阴影部分，包括边界)，
即为角α的终边的范围.则OC与OD围成的区域(如图(2)所示的阴影部分，包括边界)，
即为角α的终边的范围.
故满足条件的角α的集合为用单位圆中的三角函数线求解简单的三角函数不等式，应注意以下两点
(1)先找到“正值”区间，即0～2π内满足条件的角θ的范围，然后再加上周角的整数倍.
(2)注意区间是开区间还是闭区间.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴函数的定义域为3随堂演练PART THREE√12345A.正弦线 B.余弦线
C.正切线 D.不能确定√123453.已知角α的正弦线是单位的有向线段，那么角α的终边
A.在x轴上 B.在y轴上
C.在直线y＝x上 D.在直线y＝x或y＝－x上√12345解析 依题意sin α＝1或sin α＝－1，
∴角α的终边在y轴上.12345A.aC.b(1)单位圆.
(2)三角函数线.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：三角函数线是有方向的线段，方向决定正负.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束