7．2.3 同角三角函数的基本关系式
学习目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．
知识点 同角三角函数的基本关系式
1．平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，即sin2α＋cos2α＝1.
2．商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的正切，即＝tan α.
思考 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？
答案 平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，它要求α≠kπ＋，k∈Z.
3．同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝1－cos2α；cos2α＝1－sin2α.
(2)tan α＝的变形公式
sin α＝cos αtan α；cos α＝.
1．已知α是第四象限角，cos α＝，则sin α＝ .
答案 －
解析 由条件知sin α＝－
＝－ ＝－.
2．sin2＋cos2＝ .
答案 1
3．已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝ .
答案 －
解析 由题意得3sin α＝－cos α≠0，
∴tan α＝－.
4．若cos α＝，且α为第四象限角，则tan α＝ .
答案 －
解析 因为α为第四象限角，
且cos α＝，
所以sin α＝－＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
一、利用同角基本关系式求值
例1 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．
解 ∵cos α＝－<0，
∴α是第二或第三象限的角．
如果α是第二象限角，那么
sin α＝＝＝，
tan α＝＝＝－.
如果α是第三象限角，同理可得
sin α＝－＝－，tan α＝.
反思感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常见的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α是第几象限角，从而判断三角函数值的正负．
跟踪训练1 已知α∈，tan α＝2，则cos α＋sin α＝ .
答案 －
解析 由已知得
由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
又α∈，
所以cos α<0，
所以cos α＝－，sin α＝－，
故cos α＋sin α＝－.
二、三角函数式的化简与证明
例2 (1)化简：tan α，其中α是第二象限角；
解 因为α是第二象限角，
所以sin α>0，cos α<0.
故tan α＝tan α＝tan α
＝·＝·＝－1.
(2)证明：＝.
证明 左边＝
＝
＝
＝
＝
＝右边．
故原等式成立．
反思感悟 (1)三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的．
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的．
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．
(2)含有条件的三角恒等式证明的常用方法
①直推法：从条件直推到结论．
②代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明．
③换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明．
跟踪训练2 化简：·.
解 原式＝·
＝·
＝·
＝·＝±1.
三、齐次式求值问题
例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值．
(1)；(2)sin2α＋sin αcos α＋cos2α.
解 (1)原式＝＝.
(2)原式＝
＝＝＝.
反思感悟 (1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α，转化为关于tan α的式子后再求值．
(2)注意例3第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式．
跟踪训练3 已知＝2，计算下列各式的值．
(1)；
(2)sin2α－2sin αcos α＋1.
解 由＝2，化简，
得sin α＝3cos α，
所以tan α＝3.
(1)原式＝＝＝.
(2)原式＝＋1
＝＋1＝＋1＝.
sin α±cos α与sin αcos α之间的关系应用
典例 已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，
求：(1)sin θcos θ；(2)sin θ－cos θ.
解 方法一 (1)sin θ＋cos θ＝，
两边平方得1＋2sin θcos θ＝，
所以sin θcos θ＝－，
(2)又sin θcos θ<0，
且θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
∴cos θ<0，
∴sin θ－cos θ>0，
∴(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1＋＝，
∴sin θ－cos θ＝.
方法二 (1)由sin θ＋cos θ＝，
得cos θ＝－sin θ.
又sin2θ＋cos2θ＝1，
代入得sin2θ＋2＝1，
整理，得sin2θ－sin θ－＝0，
即＝0，
解得sin θ＝－或sin θ＝.
又θ∈(0，π)，
∴sin θ>0，故sin θ＝.
∴cos θ＝－sin θ＝－＝－，
∴sin θcos θ＝×＝－.
(2)sin θ－cos θ＝－＝.
[素养提升] sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，注意开方之前要先判断sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号，而sin θcos θ的符号能缩小角的范围，加、减、乘之间的相互转化，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养．
1．如果α是第二象限角，下列各式中不成立的是( )
A．sin2α＋cos2α＝sin21＋cos21
B．cos α＝－
C．sin α＝－
D．cos α＝
答案 C
2．若cos α＝－，且α是第二象限角，则tan α的值等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由题意可得sin α＝＝，
∴tan α＝＝－.
3．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α等于( )
A. B．－ C．－ D.
答案 C
解析 由题意得(sin α－cos α)2＝，
即sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝，
又sin2α＋cos2α＝1，
∴1－2sin αcos α＝，
∴sin αcos α＝－.故选C.
4．化简的结果是( )
A．cos B．sin
C．－cos D．－sin
答案 C
解析 ＝＝，
∵<<π，∴cos <0，∴＝－cos ，
即＝－cos ，故选C.
5．已知tan α＝－，则＝ .
答案
解析 因为tan α＝－，
所以＝＝＝.
1．知识清单：
(1)同角三角函数基本关系式．
(2)三角恒等式的化简与证明．
(3)齐次式的化切求值．
(4)sin α±cos α与sin αcos α的关系．
2．方法归纳：分类讨论，整体代换．
3．常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α是第几象限角进行分类讨论．
1．已知α∈，且sin α＝，则tan α等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由sin α＝，α∈
得cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－，故选B.
2．化简sin2α＋cos4α＋sin2αcos2α的结果是( )
A. B. C．1 D.
答案 C
解析 原式＝sin2α＋cos2α(cos2α＋sin2α)
＝sin2α＋cos2α＝1.
3．已知tan θ＝2，则sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 sin2θ＋sin θcos θ－2cos2θ
＝＝，
又tan θ＝2，故原式＝＝.
4．化简－得( )
A．－ B.
C．－ D.
答案 A
解析 －
＝
＝＝－.
5．已知sin θ＋cos θ＝，则sin θ－cos θ等于( )
A. B．－ C. D．－
答案 B
解析 由(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝，
得2sin θcos θ＝，
则(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，
由0<θ<，知sin θ－cos θ<0，
所以sin θ－cos θ＝－.
6．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝ .
答案
解析 由tan A＝>0且角A是△ABC的内角可得0
解得sin A＝.
7．已知cos α＝－，且tan α>0，则＝ .
答案 －
解析 由cos α<0，tan α>0知，α是第三象限角，
且sin α＝－，
故原式＝
＝sin α(1＋sin α)＝－×＝－.
8．化简：(1－cos α)＝ .
答案 sin α
解析 原式＝(1－cos α)
＝(1－cos α)
＝＝＝sin α.
9．已知sin α＋3cos α＝0，求sin α，cos α的值．
解 ∵sin α＋3cos α＝0，
∴sin α＝－3cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(－3cos α)2＋cos2α＝1，
即10cos2α＝1，
∴cos α＝±.
又由sin α＝－3cos α，
可知sin α与cos α异号，
∴角α的终边在第二或第四象限．
当角α的终边在第二象限时，
cos α＝－，sin α＝；
当角α的终边在第四象限时，
cos α＝，sin α＝－.
10．(1)化简：；
(2)求证：·＝1.
(1)解 原式＝
＝＝
＝＝1.
(2)证明 ·
＝·
＝·
＝＝＝1.
11．若α是三角形的内角，且sin α＋cos α＝，则此三角形是( )
A．钝角三角形 B．锐角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
答案 A
解析 将sin α＋cos α＝两边平方，
得1＋2sin αcos α＝，即2sin α·cos α＝－.
又α是三角形的内角，所以sin α>0，cos α<0，
所以α为钝角，即三角形为钝角三角形．
12．在△ABC中，sin A＝，则角A的值为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由题意知cos A>0，即A为锐角．
将sin A＝两边平方，得2sin2A＝3cos A.
∴2cos2A＋3cos A－2＝0，
解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
∴A＝.
13．若π<α<，则＋的化简结果为( )
A. B．－ C. D．－
答案 D
解析 原式＝＋
＝＋＝，
∵π<α<，∴原式＝－.
14．已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan α＝ .
答案 3或－
解析 因为sin α＋2cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1，
联立解得或
故tan α＝＝－或3.
15．若tan α＋＝3，则sin αcos α＝ ，tan2α＋＝ .
答案 7
解析 ∵tan α＋＝3，
∴＋＝3，
即＝3，
∴sin αcos α＝，
tan2α＋＝2－2tan α·
＝9－2＝7.
16．设α是第三象限角，问是否存在这样的实数m，使得sin α，cos α是关于x的方程8x2＋6mx＋2m＋1＝0的两个根？若存在，求出实数m；若不存在，请说明理由．
解 倘若存在这样的实数m满足条件，由题设得，
Δ＝36m2－32(2m＋1)≥0，①
∵α是第三象限角，∴sin α<0，cos α<0，
∴sin α＋cos α＝－m<0，②
sin αcos α＝>0.③
又sin2α＋cos2α＝1，
∴(sin α＋cos α)2－2sin αcos α＝1.
把②③代入上式，得2－2×＝1，
即9m2－8m－20＝0，
解得m1＝2，m2＝－.
∵m1＝2不满足条件①，舍去，
m2＝－不满足条件②③，舍去．
∴这样的实数m不存在．
课件38张PPT。7.2.3 同角三角函数的基本关系式第七章 7.2 任意角的三角函数学习目标XUE XI MU BIAO1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用.
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 同角三角函数的基本关系式1.平方关系：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于 ，即sin2α＋cos2α＝ .
2.商数关系：同一个角α的正弦、余弦的商等于这个角的 ，即 ＝
.11正切tan α思考 同角三角函数基本关系中，角α是否是任意角？答案 平方关系中的角α是任意角，商数关系中的角α并非任意角，它要求α≠kπ＋ ，k∈Z.3.同角三角函数基本关系式的变形
(1)sin2α＋cos2α＝1的变形公式
sin2α＝ ；cos2α＝ .
(2)tan α＝ 的变形公式
sin α＝ ；cos α＝ .1－cos2α1－sin2αcos αtan α预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN13.已知3sin α＋cos α＝0，则tan α＝ .解析 由题意得3sin α＝－cos α≠0，2题型探究PART TWO一、利用同角基本关系式求值∴α是第二或第三象限的角.
如果α是第二象限角，那么如果α是第三象限角，同理可得同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常见的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个.解题时要注意角α是第几象限角，从而判断三角函数值的正负.由①得sin α＝2cos α，代入②得4cos2α＋cos2α＝1，二、三角函数式的化简与证明解 因为α是第二象限角，所以sin α>0，cos α<0.故原等式成立. (1)三角函数式的化简技巧
①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减
少函数名称，达到化繁为简的目的.
②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.
③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.
(2)含有条件的三角恒等式证明的常用方法
①直推法：从条件直推到结论.
②代入法：将条件代入到结论中，转化为三角恒等式的证明.
③换元法：把条件和要证明的式子的三角函数问题转换为代数问题，利用代数即可完成证明.三、齐次式求值问题例3 已知tan α＝2，求下列代数式的值.(1)关于sin α，cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cos2α，转化为关于tan α的式子后再求值.
(2)注意例3第(2)问的式子中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sin2α＋cos2α代换后，再同除以cos2α，构造出关于tan α的代数式.所以tan α＝3.(2)sin2α－2sin αcos α＋1.核心素养之逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LIsin α±cos α与sin αcos α之间的关系应用求：(1)sin θcos θ；又sin2θ＋cos2θ＝1，(2)sin θ－cos θ.解 方法一 又sin θcos θ<0，且θ∈(0，π)，∴sin θ>0，
∴cos θ<0，
∴sin θ－cos θ>0，sin θ＋cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ三个式子中，已知其中一个，可以求其它两个，即“知一求二”，注意开方之前要先判断sin θ＋cos θ或sin θ－cos θ的符号，而sin θcos θ的符号能缩小角的范围，加、减、乘之间的相互转化，体现了逻辑推理、数学运算的核心素养.3随堂演练PART THREE1.如果α是第二象限角，下列各式中不成立的是
A.sin2α＋cos2α＝sin21＋cos21√12345√12345√12345又sin2α＋cos2α＝1，√12345123451.知识清单：
(1)同角三角函数基本关系式.
(2)三角恒等式的化简与证明.
(3)齐次式的化切求值.
(4)sin α±cos α与sin αcos α的关系.
2.方法归纳：分类讨论，整体代换.
3.常见误区：求值时注意α的范围，如果无法确定一定要对α是第几象限角进行分类讨论.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束