7．3 三角函数的性质与图像
7．3.1 正弦函数的性质与图像(一)
学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.2.利用正弦线理解正弦函数的性质.
3.掌握正弦函数的性质及其应用．
知识点一 正弦函数
对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数．
知识点二 周期函数
1．一般地，对于函数f?(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f?(x＋T)＝f?(x)．
那么就称函数f?(x)为周期函数，非零常数T称为这个函数的周期．
2．如果函数f?(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数称为f?(x)的最小正周期．
知识点三 正弦函数y＝sin x的性质
名称
性质
y＝sin x
定义域
R
值域
[－1,1]
最值
当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，y＝sin x的最大值ymax＝1；
当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，y＝sin x的最小值ymin＝－1
奇偶性
奇函数
周期性
最小正周期：2π
单调性
(k∈Z)上递增；
(k∈Z)上递减
零点
kπ，k∈Z
1．函数y＝sin x＋1的值域为________．
答案 [0,2]
2．对任意实数R，都有f?(x＋2)＝f?(x)，则函数f?(x)的周期为________．
答案 2
3．函数y＝－sin x为________函数(填奇或偶)．
答案 奇
4．y＝sin x在区间上为________函数(填增或减)．
答案 减
一、正弦函数的奇偶性、周期性
例1 (1)判断下列函数的奇偶性．
①y＝|sin x|；
②y＝cos.
解 ①y＝|sin x|，定义域为R.
∴f?(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f?(x)，
∴y＝|sin x|是偶函数．
②y＝cos＝sin x，定义域为R，
∴y＝cos为奇函数．
(2)判断等式sin＝sin是否成立？如果成立，能否说明是函数y＝sin x的周期？
解 sin＝sin ＝sin
＝－sin ，
而sin＝－sin .
∴上述等式成立．
但不能说明是y＝sin x的周期．
理由如下：若为y＝sin x的周期，
则对任意实数x都有sin＝sin x，
但当x＝0时，sin≠sin x，
所以不是y＝sin x的周期．
反思感悟 (1)判断函数奇偶性应把握好两个关键点：
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称．
关键点二：看f?(x)与f?(－x)的关系．
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断．
(2)f?(x)为周期函数，即对定义域内任意实数x，都有f?(x＋T)＝f?(x)成立．只要有一个x，使f?(x＋T)＝f?(x)不成立，则f?(x)不是周期函数．
跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性．
(1)y＝sin x，x∈(－π，2π)；
(2)y＝sin x＋1；
(3)y＝sin 3x.
解 (1)y＝sin x，x∈(－π，2π)，
定义域不关于原点对称，
∴y＝sin x，x∈(－π，2π)为非奇非偶函数．
(2)y＝sin x＋1，x∈R，
∵f?＝2，f?＝0，
∴f?≠f?，f?≠－f?.
所以y＝sin x＋1为非奇非偶函数．
(3)y＝sin 3x，x∈R，
f?(－x)＝sin[3(－x)]＝sin(－3x)＝－sin 3x＝－f?(x)，
∴y＝sin 3x为奇函数．
二、正弦函数的最值
例2 (1)y＝asin x＋b(a>0)的最大值为3，最小值为－1，则ab＝________.
答案 2
解析 ∵sin x∈[－1,1]，且a>0，
∴解得∴ab＝2.
(2)求函数y＝cos2x＋sin x＋2的最大值，最小值及相应x的取值．
解 y＝cos2x＋sin x＋2＝－sin2x＋sin x＋3，
令t＝sin x，∴t∈[－1,1]，∴y＝－t2＋t＋3
＝－2＋，
当t＝，即sin x＝，即x＝＋2kπ，k∈Z或x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝.
当t＝－1，即sin x＝－1，即x＝＋2kπ，k∈Z时，ymin＝1.
延伸探究
在本例(1)中把a>0去掉，则ab＝________.
答案 2或－2
解析 当a>0时，由(1)知，ab＝2，
当a<0时，
asin x＋b∈[a＋b，－a＋b]，
∴得
所以ab＝－2，
综上有ab＝2或－2.
反思感悟 (1)对于形如y＝asin x＋b的函数求最值(值域)时，要注意对a的讨论．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先令sin x＝t，将原函数转化成关于t的二次函数，注意换元时t的范围．
跟踪训练2 (1)函数y＝3－2sin x－1的最大值为________．
答案 3
解析 令t＝－2sin x－1，∴y＝3t，
∵sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝－1时，
tmax＝1，又y＝3t为增函数，∴ymax＝31＝3
(2)函数y＝sin2x－4sin x－1的最小值为________．
答案 －4
解析 y＝sin2x－4sin x－1＝(sin x－2)2－5，
∵sin x∈[－1,1]，∴当sin x＝1时，ymin＝－4.
三、正弦函数的单调性及应用
例3 (1)y＝－3sin x＋1的减区间为______________________________________________，
若x∈[0，π]，则y＝－3sin x＋1的减区间为________．
答案 k∈Z
解析 当－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，y＝－3sin x＋1递减，
∴y＝－3sin x＋1的减区间为(k∈Z)．若x∈[0，π]．
∵(k∈Z)∩[0，π]＝.
∴当x∈[0，π]时，y＝－3sin x＋1的减区间为.
(2)比较sin 196°与cos 156°的大小．
解 sin 196°＝sin (180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.
∵当0°≤x≤90°时，y＝sin x为增函数，
∴sin 16°
故sin 196°>cos 156°.
反思感悟 (1)求形如y＝asin x＋b的三角函数的单调性，当a<0时，要求y＝asin x＋b的增区间，即求y＝sin x的减区间．
(2)用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
跟踪训练3 (1)sin与sin 的大小关系为________．
(2)y＝sin x＋1的减区间为________．
答案 (1)sin(2)，k∈Z
解析 (1)sin＝sin＝sin，
sin ＝sin＝sin .
∵y＝sin x在上是增函数，且－<－<<，
∴sin(2)y＝sin x＋1的减区间为，k∈Z.
1．函数y＝－2sin 3x是( )
A．奇函数 B．偶函数
C．即奇又偶函数 D．非奇非偶函数
答案 A
2．已知2a－1－3sin x＝0，则a的取值范围是( )
A．(－1,2) B．[0,1] C．(0,1) D．[－1,2]
答案 D
解析 2a－1＝3sin x，∵sin x∈[－1,1]，∴－3≤2a－1≤3，即－1≤a≤2.
3．y＝sin x－1在下列区间递减的是( )
A. B.
C. D.
答案 B
4．函数y＝2sin x－的零点为________．
答案 ＋2kπ或＋2kπ，k∈Z
解析 令2sin x－＝0，
∴sin x＝.
∴x＝＋2kπ或＋2kπ，k∈Z.
5．sin与sin的大小关系为________．(用“>”连接)
答案 sin>sin
解析 sin＝sin＝sin ＝sin＝sin ，
sin＝sin＝sin ，
因为0<<<，且y＝sin x在上单调递增，所以sin >sin ，
所以sin>sin.
1．知识清单：
(1)正弦函数的奇偶性、单调性、最值、零点．
(2)函数的周期性，正弦函数的周期性．
2．方法归纳：
分类讨论，数形结合．
3．常见误区：
求形如y＝asin x＋b(a<0)的单调性时，忽略a<0的影响．
1．函数f?(x)＝sin(－x)的奇偶性是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案 A
解析 由于x∈R，
且f?(－x)＝sin x＝－sin(－x)＝－f?(x)，
所以f?(x)为奇函数．
2．已知sin2x＋2a－1＝0，则a的取值范围是( )
A．[0,1] B.
C. D．(0,1)
答案 B
解析 1－2a＝sin2x，
∵sin x∈[－1,1]，
∴sin2x∈[0,1]，
∴0≤1－2a≤1，
即0≤a≤.
3．y＝2sin x－3，x∈R的减区间为( )
A.
B.
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 D
4．下列关系式中正确的是( )
A．sin 11°B．sin 168°C．sin 11°D．sin 168°答案 C
解析 ∵sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°，
cos 10°＝sin(90°－10°)＝sin 80°.
∴由正弦函数的单调性，得sin 11°即sin 11°5．定义在R上的函数f?(x)既是偶函数，又是周期函数，若f?(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f?(x)＝sin x，则f?等于( )
A．－ B. C．－ D.
答案 D
解析 f?＝f?＝f?＝f?
＝f?＝f?＝sin ＝.
6．已知函数y＝－3sin x＋2，当x＝____________时，y有最大值等于________．
答案 －＋2kπ，k∈Z 5
解析 当x＝－＋2kπ，k∈Z时，(sin x)min＝－1，此时ymax＝5.
7．函数f?(x)是以2为周期的函数，且f?(2)＝3，则f?(6)＝________.
答案 3
解析 ∵函数f?(x)是以2为周期的函数，且f?(2)＝3，
∴f?(6)＝f?(2×2＋2)＝f?(2)＝3.
8．sin 470°________cos 760°(填“>”“<”或“＝”)．
答案 >
解析 sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，
所以sin 470°>cos 760°.
9．求函数f?(x)＝sin2x－4sin x＋5的值域．
解 设t＝sin x，则|t|≤1，
f?(x)＝g(t)＝t2－4t＋5(－1≤t≤1)，
g(t)＝t2－4t＋5的对称轴为t＝2.
因为g(t)的图像开口向上，
对称轴t＝2在区间[－1,1]右侧．
所以g(t)在[－1,1]上是单调递减的，
所以g(t)max＝g(－1)＝(－1)2－4×(－1)＋5＝10，
g(t)min＝g(1)＝12－4×1＋5＝2，
即g(t)∈[2,10]．
所以函数f?(x)的值域为[2,10]．
10．函数y＝asin x＋1的最大值为1－a，最小值为－3.
(1)求实数a的值；
(2)求该函数的单调递增区间；
(3)若x∈[－π，π]，求该函数的递增区间．
解 (1)∵ymax＝1－a，
∴a<0，
故ymin＝1＋a＝－3，∴a＝－4，
∴y＝－4sin x＋1.
(2)当＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z时，
函数y＝－4sin x＋1递增，
∴y＝－4sin x＋1的递增区间为(k∈Z)．
(3)∵x∈[－π，π]，(k∈Z)∩[－π，π]＝∪.
∴当x∈[－π，π]时，y＝－4sin x＋1的递增区间为，.
11．已知a∈R，函数f?(x)＝sin x－|a|(x∈R)为奇函数，则a等于( )
A．0 B．1 C．－1 D．±1
答案 A
解析 因为f?(x)为奇函数，
所以f?(－x)＝sin(－x)－|a|＝－f?(x)＝－sin x＋|a|，
所以|a|＝0，从而a＝0，故选A.
12．设f?(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f?(x)＝则f?的值等于( )
A．1 B. C．0 D．－
答案 B
解析 f?＝f?
＝f?＝sin ＝.
13．sin 1，sin 2，sin 3按从小到大排列的顺序为__________________．
答案 sin 3解析 ∵1<<2<3<π，
sin(π－2)＝sin 2，sin(π－3)＝sin 3.
y＝sin x在上单调递增，
且0<π－3<1<π－2<，
∴sin(π－3)即sin 314．已知函数f?(x)＝ax＋bsin x＋1，若f?(2 020)＝7，则f?(－2 020)＝________.
答案 －5
解析 由f?(2 020)＝2 020a＋bsin 2 020＋1＝7，
得2 020a＋bsin 2 020＝6，
∴f?(－2 020)＝－2 020a－bsin 2 020＋1
＝－(2 020a＋bsin 2 020)＋1＝－6＋1＝－5.
15．y＝的最小值是( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
答案 B
解析 由y＝＝2－，
当sin x＝－1时，y＝取得最小值－2.
16．已知函数f?(x)对于任意实数x满足条件f?(x＋2)＝－(f?(x)≠0)．
(1)求证：函数f?(x)是周期函数；
(2)若f?(1)＝－5，求f?(f?(5))的值．
(1)证明 ∵f?(x＋2)＝－，
∴f?(x＋4)＝－＝－＝f?(x)，
∴f?(x)是周期函数，4就是它的一个周期．
(2)解 ∵4是f?(x)的一个周期．
∴f?(5)＝f?(1)＝－5，
∴f?(f?(5))＝f?(－5)＝f?(－1)
＝＝＝.
课件37张PPT。7.3.1 正弦函数的性质与图像(一)第七章 7.3 三角函数的性质与图像学习目标XUE XI MU BIAO1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义.
2.利用正弦线理解正弦函数的性质.
3.掌握正弦函数的性质及其应用.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 正弦函数对于任意一个角x，都有 确定的 与之对应，因此y＝sin x是一个函数，一般称为正弦函数.唯一正弦sin x知识点二 周期函数1.一般地，对于函数f?(x)，如果存在一个 常数T，使得对定义域内的____
，都满足 .
那么就称函数f?(x)为周期函数， 称为这个函数的周期.
2.如果函数f?(x)的所有周期中存在一个 ，那么这个最小的正数称为f?(x)的最小正周期.非零每一个xf?(x＋T)＝f?(x)非零常数T最小的正数知识点三 正弦函数y＝sin x的性质R[－1,1]1－1奇函数kπ，k∈Z预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN1.函数y＝sin x＋1的值域为_____.
2.对任意实数R，都有f?(x＋2)＝f?(x)，则函数f?(x)的周期为___.[0,2]2奇减2题型探究PART TWO一、正弦函数的奇偶性、周期性例1 (1)判断下列函数的奇偶性.
①y＝|sin x|；解 y＝|sin x|，定义域为R.
∴f?(－x)＝|sin(－x)|＝|－sin x|＝|sin x|＝f?(x)，
∴y＝|sin x|是偶函数.∴上述等式成立.(1)判断函数奇偶性应把握好两个关键点：
关键点一：看函数的定义域是否关于原点对称.
关键点二：看f?(x)与f?(－x)的关系.
对于三角函数奇偶性的判断，有时可根据诱导公式先将函数式化简后再判断.
(2)f?(x)为周期函数，即对定义域内任意实数x，都有f?(x＋T)＝f?(x)成立.只要有一个x，使f?(x＋T)＝f?(x)不成立，则f?(x)不是周期函数.跟踪训练1 判断下列函数的奇偶性.
(1)y＝sin x，x∈(－π，2π)；解 y＝sin x，x∈(－π，2π)，
定义域不关于原点对称，
∴y＝sin x，x∈(－π，2π)为非奇非偶函数.(2)y＝sin x＋1；解 y＝sin x＋1，x∈R，所以y＝sin x＋1为非奇非偶函数.(3)y＝sin 3x.解 y＝sin 3x，x∈R，
f?(－x)＝sin[3(－x)]＝sin(－3x)＝－sin 3x＝－f?(x)，
∴y＝sin 3x为奇函数.二、正弦函数的最值例2 (1)y＝asin x＋b(a>0)的最大值为3，最小值为－1，则ab＝_____.2解析 ∵sin x∈[－1,1]，且a>0，∴ab＝2.(2)求函数y＝cos2x＋sin x＋2的最大值，最小值及相应x的取值.解 y＝cos2x＋sin x＋2＝－sin2x＋sin x＋3，
令t＝sin x，∴t∈[－1,1]，延伸探究
在本例(1)中把a>0去掉，则ab＝________.2或－2解析 当a>0时，由(1)知，ab＝2，
当a<0时，
asin x＋b∈[a＋b，－a＋b]，所以ab＝－2，
综上有ab＝2或－2.(1)对于形如y＝asin x＋b的函数求最值(值域)时，要注意对a的讨论.
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先令sin x＝t，将原函数转化成关于t的二次函数，注意换元时t的范围.跟踪训练2 (1)函数y＝3－2sin x－1的最大值为_____.3解析 令t＝－2sin x－1，∴y＝3t，
∵sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝－1时，tmax＝1，
又y＝3t为增函数，∴ymax＝31＝3(2)函数y＝sin2x－4sin x－1的最小值为_____.－4解析 y＝sin2x－4sin x－1＝(sin x－2)2－5，
∵sin x∈[－1,1]，
∴当sin x＝1时，ymin＝－4.三、正弦函数的单调性及应用例3 (1)y＝－3sin x＋1的减区间为________________________，
若x∈[0，π]，则y＝－3sin x＋1的减区间为________.(2)比较sin 196°与cos 156°的大小.解 sin 196°＝sin (180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.
∵当0°≤x≤90°时，y＝sin x为增函数，
∴sin 16°故sin 196°>cos 156°.(1)求形如y＝asin x＋b的三角函数的单调性，当a<0时，要求y＝asin x＋b的增区间，即求y＝sin x的减区间.
(2)用正弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小.3随堂演练PART THREE1.函数y＝－2sin 3x是
A.奇函数 B.偶函数
C.即奇又偶函数 D.非奇非偶函数√123452.已知2a－1－3sin x＝0，则a的取值范围是
A.(－1,2) B.[0,1] C.(0,1) D.[－1,2]√12345解析 2a－1＝3sin x，∵sin x∈[－1,1]，
∴－3≤2a－1≤3，即－1≤a≤2.3.y＝sin x－1在下列区间递减的是√1234512345123451.知识清单：
(1)正弦函数的奇偶性、单调性、最值、零点.
(2)函数的周期性，正弦函数的周期性.
2.方法归纳：
分类讨论，数形结合.
3.常见误区：
求形如y＝asin x＋b(a<0)的单调性时，忽略a<0的影响.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束7．3.1 正弦函数的性质与图像(二)
学习目标 1.了解由正弦函数的性质及“五点法”作正弦函数的图像.2.理解正弦曲线及其对称轴、对称中心.3.能利用正弦函数解决简单问题．
知识点一 正弦曲线
1．函数y＝sin x的图像，称为正弦曲线．
2．正弦函数y＝sin x的对称轴为x＝＋kπ，k∈Z，对称中心为(kπ，0)，k∈Z.
知识点二 五点法作正弦曲线
“五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的步骤
(1)列表：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
(2)描点：画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，五个关键点是(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图．
1．正弦函数的图像向左右是无限伸展的．( √ )
2．正弦函数y＝sin x的图像在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图像形状相同，只是位置不同．( √ )
3．函数y＝sin x的图像向下平移1个单位得到函数y＝sin x＋1的图像．( × )
4．函数y＝sin x的图像关于原点对称．( √ )
一、“五点法”作图的应用
例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解 取值，列表如下．
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
1－sin x
1
0
1
2
1
描点作图，如图所示．
延伸探究
本例中除了用五点法作图之外，是否还有其它方法得到y＝1－sin x(0≤x≤2π)的图像．
解 作出y＝sin x(0≤x≤2π)的图像关于x轴对称的图像，得到y＝－sin x(0≤x≤2π)的图像，再将y＝－sin x(0≤x≤2π)的图像向上平移1个单位，即得到y＝－sin x＋1(0≤x≤2π)的图像．
反思感悟 作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x的图像在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
跟踪训练1 (1)用“五点法”画出函数y＝＋sin x，x∈[0,2π]的简图．
解 取值，列表如下．
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
＋sin x
－
描点作图，如图所示．
(2)函数y＝sin x＋的图像的对称轴为________，对称中心为________．
答案 x＝＋kπ，k∈Z ，k∈Z
二、利用正弦函数图像解不等式
例2 利用正弦函数的图像，求满足sin x≥的x的集合．
解 作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，如图所示，由图可知在[0,2π]上满足sin x≥的x的集合为，
故满足sin x≥的x的集合为.
反思感悟 用三角函数图像解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数在[0,2π]上的图像．
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集．
(3)根据公式①写出定义域内的解集．
跟踪训练2 函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为________．
答案
解析 要使函数有意义，则必有2sin x＋1>0，即sin x>－，画出y＝sin x，x∈的草图，如图所示．
当－－成立，
所以sin x>－的解集为.
可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为
.
三、正弦函数的对称性
例3 利用sin(3π－x)＝sin x，证明正弦曲线关于x＝对称．
证明 令f?(x)＝sin x，
f?(3π－x)＝sin(3π－x)＝sin x，
∴f?(3π－x)＝f?(x)，
令t＝－x，则x＝－t，
∴f?＝f?，
即f?＝f?，
∴f?(x)＝sin x关于x＝对称．
反思感悟 函数f?(x)的对称性的解题策略
(1)若函数f?(x)满足f?(a＋x)＝f?(a－x)，则f?(x)关于直线x＝a对称．
(2)若函数f?(x)满足f?(a＋x)＝－f?(a－x)，则f?(x)关于点(a,0)对称．
跟踪训练3 利用sin(2π－x)＝－sin x，证明正弦曲线关于点(π，0)对称．
证明 令f?(x)＝sin x.
∴f?(2π－x)＝sin(2π－x)＝－sin x，
∴f?(2π－x)＝－f?(x)，
令t＝π－x，则x＝π－t，∴f?[2π－(π－t)]＝－f?(π－t)，
即f?(π＋t)＝－f?(π－t)，
∴f?(x)＝sin x关于点(π，0)对称．
1．函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是( )
答案 B
解析 y＝sin(－x)＝－sin x，
y＝－sin x与y＝sin x的图像关于x轴对称，故选B.
2．在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像( )
A．重合 B．形状相同，位置不同
C．关于y轴对称 D．形状不同，位置不同
答案 B
解析 根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像只是位置不同，形状相同．
3．用“五点法”画函数y＝2－3sin x的图像时，首先应描出五点的横坐标是( )
A．0，，，，π B．0，，π，，2π
C．0，π，2π，3π，4π D．0，，，，
答案 B
解析 所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，即0，，π，，2π，故选B.
4．若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是________．
答案
解析 由正弦函数的图像，知当x∈[0,2π]时，sin x∈[－1,1]，要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，
则－1≤4m＋1≤1，故－≤m≤0.
5．函数y＝的定义域为________________．
答案
解析 依题意知－2sin x－1≥0，
即sin x≤－.
由y＝sin x，x∈[0,2π]的图像知，
当≤x≤时，sin x≤－，
所以函数y＝的定义域为
.
1．知识清单：
(1)正弦曲线．
(2)五点法作图．
(3)函数图像的应用．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：五点的选取．
1．对于正弦函数的图像，有以下四个说法：
①关于原点对称；②关于x轴对称；
③关于y轴对称；④有无数条对称轴．
其中正确的是( )
A．①② B．①③ C．①④ D．②③
答案 C
解析 由正弦曲线知，①④正确．
2．函数y＝－sin x，x∈的简图是( )
答案 D
解析 函数y＝－sin x与y＝sin x的图像关于x轴对称，故选D.
3．点M在函数y＝sin x－2的图像上，则m等于( )
A．－2 B．1 C．－1 D．2
答案 B
解析 由题意知，－m＝sin －2，
∴－m＝1－2＝－1，∴m＝1.
4．函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像与直线y＝2交点的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
答案 B
解析 由函数y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图像(如图所示)，
可知其与直线y＝2只有1个交点．
5．在[0,2π]内，不等式sin x<－的解集是( )
A．(0，π) B. C. D.
答案 C
解析 画出y＝sin x，x∈[0,2π]的草图如下．
因为sin ＝，
所以sin＝－，sin＝－.
即在[0,2π]内，满足sin x＝－的x＝或.
可知不等式sin x<－的解集是.故选C.
6．y＝sin x－1的对称轴为________________，对称中心为__________________．
答案 x＝＋kπ，k∈Z (kπ，－1)，k∈Z
7．方程sin x＝a在x∈上有且仅有一个实数解，则实数a的取值范围是________．
答案 [－1,0)∪{1}
解析 作出y＝sin x，x∈的图像，如图所示．
由图知，a的取值范围是[1,0)∪{1}．
8．函数y＝的定义域是________．
答案 {x|2kπ解析 由题意得解得0由正弦函数图像(图略)知2kπ9．用“五点法”作下列函数的简图．
(1)y＝3sin x(x∈[0,2π])；
(2)y＝sin.
解 (1)取值，列表如下．
x
0
π
2π
3sin x
0
3
0
－3
0
描点作图，如图所示．
(2)取值，列表如下．
x
π
2π
sin
0
1
0
－1
0
描点作图，如图所示．
10．利用正弦曲线，求满足解 首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图像，如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图像可知，在[0,2π]上，当所以11．如图中的曲线对应的函数解析式是( )
A．y＝|sin x| B．y＝sin |x|
C．y＝－sin |x| D．y＝－|sin x|
答案 C
解析 排除法，可知C正确．
12．方程sin x＝的根的个数是( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 A
解析 在同一坐标系内画出y＝和y＝sin x的图像如图所示．
根据图像可知方程有7个根．
13．如图所示，函数y＝cos x|tan x|的图像是( )
答案 C
解析 当0≤x<时，y＝cos x·|tan x|＝sin x；
当当π故其图像为C.
14．函数y＝＋的定义域为________．
答案 [－π，0]∪[π，5]
解析 由题意得x满足不等式组
即
作出y＝sin x的图像，如图所示．
结合图像可得x∈[－π，0]∪[π，5]．
15．已知函数f?(x)＝|sin x|，x∈[－2π，2π]，则方程f?(x)＝的所有根的和等于( )
A．0 B．π C．－π D．－2π
答案 A
解析 若f?(x)＝，即|sin x|＝，
则sin x＝或sin x＝－.
因为x∈[－2π，2π]，
所以方程sin x＝的4个根关于x＝－对称，
则对称的2个根之和为－π，
则4个根之和为－2π，
由对称性可得sin x＝－的四个根之和为2π.
综上，方程f?(x)＝的所有根的和等于0.故选A.
16．若方程2sin x＋a－1＝0在x∈上有两个实数根，求a的取值范围．
解 原方程可化为sin x＝.在同一直角坐标系中作出y＝sin x，x∈的图像，y＝的图像，由图像可知，
当≤<1，即当－1所以a的取值范围为(－1,1－ ]．
课件27张PPT。7.3.1 正弦函数的性质与图像(二)第七章 7.3 三角函数的性质与图像学习目标XUE XI MU BIAO1.了解由正弦函数的性质及“五点法”作正弦函数的图像.
2.理解正弦曲线及其对称轴、对称中心.
3.能利用正弦函数解决简单问题.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 正弦曲线1.函数y＝sin x的图像，称为正弦曲线.
2.正弦函数y＝sin x的对称轴为x＝ ，对称中心为 ，k∈Z.(kπ，0)知识点二 五点法作正弦曲线“五点法”作正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图像的步骤
(1)列表：(2)描点：画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，五个关键点是____________
.
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦曲线的简图.(0,0)， ，(π，0)， ，(2π，0)1.正弦函数的图像向左右是无限伸展的.( )
2.正弦函数y＝sin x的图像在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图像形状相同，只是位置不同.( )
3.函数y＝sin x的图像向下平移1个单位得到函数y＝sin x＋1的图像.( )
4.函数y＝sin x的图像关于原点对称.( )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU×√√√2题型探究PART TWO一、“五点法”作图的应用例1 利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图.解 取值，列表如下.描点作图，如图所示.延伸探究
本例中除了用五点法作图之外，是否还有其它方法得到y＝1－sin x(0≤x≤2π)的图像.解 作出y＝sin x(0≤x≤2π)的图像关于x轴对称的图像，
得到y＝－sin x(0≤x≤2π)的图像，
再将y＝－sin x(0≤x≤2π)的图像向上平移1个单位，
即得到y＝－sin x＋1(0≤x≤2π)的图像.作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图.“五点”即y＝sin x的图像在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点.“五点法”是作简图的常用方法.跟踪训练1 (1)用“五点法”画出函数y＝ ＋sin x，x∈[0,2π]的简图.解 取值，列表如下.描点作图，如图所示.(2)函数y＝sin x＋ 的图像的对称轴为_________________，
对称中心为______________.二、利用正弦函数图像解不等式例2 利用正弦函数的图像，求满足sin x≥ 的x的集合.解 作出正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图像，如图所示，用三角函数图像解三角不等式的步骤
(1)作出相应的正弦函数在[0,2π]上的图像.
(2)写出不等式在区间[0,2π]上的解集.
(3)根据公式①写出定义域内的解集.跟踪训练2 函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为_____________________________.可知函数y＝log2(2sin x＋1)的定义域为三、正弦函数的对称性例3 利用sin(3π－x)＝sin x，证明正弦曲线关于x＝ 对称.证明 令f?(x)＝sin x，f?(3π－x)＝sin(3π－x)＝sin x，
∴f?(3π－x)＝f?(x)，函数f?(x)的对称性的解题策略
(1)若函数f?(x)满足f?(a＋x)＝f?(a－x)，则f?(x)关于直线x＝a对称.
(2)若函数f?(x)满足f?(a＋x)＝－f?(a－x)，则f?(x)关于点(a,0)对称.跟踪训练3 利用sin(2π－x)＝－sin x，证明正弦曲线关于点(π，0)对称.证明 令f?(x)＝sin x.
∴f?(2π－x)＝sin(2π－x)＝－sin x，
∴f?(2π－x)＝－f?(x)，
令t＝π－x，则x＝π－t，
∴f? [2π－(π－t)]＝－f?(π－t)，
即f?(π＋t)＝－f?(π－t)，
∴f?(x)＝sin x关于点(π，0)对称.3随堂演练PART THREE1.函数y＝sin(－x)，x∈[0,2π]的简图是12345√解析 y＝sin(－x)＝－sin x，
y＝－sin x与y＝sin x的图像关于x轴对称，故选B.2.在同一平面直角坐标系内，函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像
A.重合 B.形状相同，位置不同
C.关于y轴对称 D.形状不同，位置不同√12345解析 根据正弦曲线的作法可知函数y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝sin x，x∈[2π，4π]的图像只是位置不同，形状相同.3.用“五点法”画函数y＝2－3sin x的图像时，首先应描出五点的横坐标是√12345解析 所描出的五点的横坐标与函数y＝sin x的五点的横坐标相同，4.若方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，则实数m的取值范围是_________.12345解析 由正弦函数的图像，知当x∈[0,2π]时，sin x∈[－1,1]，
要使得方程sin x＝4m＋1在x∈[0,2π]上有解，12345由y＝sin x，x∈[0,2π]的图像知，1.知识清单：
(1)正弦曲线.
(2)五点法作图.
(3)函数图像的应用.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：五点的选取.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束