7．3.2 正弦型函数的性质与图像(一)
学习目标 1.理解正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)中的A，ω，φ对图像的影响.2.会求正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)的周期、单调性、最值、值域．
知识点 正弦型函数
一般地，形如y＝Asin(ωx＋φ)的函数，称为正弦型函数，其中A，ω，φ都为常数，且A≠0，ω≠0.
正弦型函数的性质
函数
性质
y＝Asin x
y＝sin(x＋φ)
y＝sin ωx
y＝Asin(ωx＋φ)
定义域
R
R
R
R
值域
[－|A|，|A|]
[－1,1]
[－1,1]
[－|A|，|A|]
周期
2π
2π
一、正弦型函数的周期
例1 求下列函数的周期：
(1)y＝sin；
(2)y＝2sin；
(3)y＝|sin x|.
解 (1)方法一 (定义法)
y＝sin
＝sin＝sin，
所以周期为π.
方法二 (公式法)
y＝sin中ω＝2，T＝＝＝π.
(2)y＝2sin中ω＝－，周期T＝＝＝4π.
(3)作图如下．
观察图像可知周期为π.
反思感悟 对于形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的函数的最小正周期的求法，常直接利用T＝来求解，对于形如y＝|Asin ωx|的函数的周期情况常结合图像法来求解．
跟踪训练1 (1)函数y＝sin，x∈R的周期T＝________.
(2)若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)的周期为3π，则ω＝________.
答案 (1)4 (2)±
解析 (1)T＝＝4.
(2)T＝＝3π，∴|ω|＝，∴ω＝±.
二、正弦型函数的单调性
例2 求函数y＝2sin的单调区间．
解 令z＝x－，则y＝2sin z.
∵z＝x－是增函数，
∴y＝2sin z单调递增(减)时，
函数y＝2sin也单调递增(减)．
由z∈(k∈Z)，
得x－∈(k∈Z)，
即x∈(k∈Z)，
故函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
同理可求函数y＝2sin的单调递减区间为(k∈Z)．
延伸探究
1．求函数y＝2sin，x∈[0，π]的单调区间．
解 由例题知f?(x)在(k∈Z)上递增，在(k∈Z)上递减，
又x∈[0，π]，
所以y＝2sin的递增区间为，递减区间为.
2．求函数y＝2sin的单调递减区间．
解 y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，
又y＝sin z的递增区间为(k∈Z)．
∴当－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，
即－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)时，
y＝2sin递减．
∴原函数的单调递减区间是(k∈Z)．
反思感悟 求正弦型函数的单调区间的策略
(1)结合正弦函数的图像，熟记它的单调区间．
(2)在求形如y＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的函数的单调区间时，应采用“换元法”整体代换，将“ωx＋φ”看作一个整体“z”，即通过求y＝Asin z的单调区间而求出原函数的单调区间．当A>0时y＝Asin z与y＝sin x的单调性相同，当A<0时，y＝Asin z与y＝sin x的单调性相反．
(3)求形如y＝Asin(ωx＋φ)，x∈D的单调区间时，先求y＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的单调区间，再把所求的单调区间和区间D取交集即得y＝Asin(ωx＋φ)，x∈D上的单调区间．
跟踪训练2 (1)求函数y＝1＋sin的单调递增区间为__________________．
答案 ，k∈Z
解析 y＝1＋sin＝－sin＋1.
由2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)．
解得4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)．
∴原函数的单调递增区间为，k∈Z.
(2)函数y＝sin，x∈[0，π]的单调递增区间为______________________．
答案 ，
解析 令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
又因为0≤x≤π，
∴0≤x≤或≤x≤π，
∴原函数的单调递增区间为，.
三、正弦型函数的最值、值域
例3 已知函数y＝2sin.
(1)求f?(x)的最小值及相应的x的取值集合；
(2)若x∈，求f?(x)的最大值、最小值．
解 (1)当2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，
即x＝－＋kπ，k∈Z时，f?(x)min＝－2.
∴f?(x)min＝－2，
此时x的取值集合为.
(2)令t＝2x＋，
∴y＝2sin t，
∵x∈，
∴t∈，
由正弦函数y＝2sin t的图像知，
当t＝，即x＝时，ymax＝2，
当t＝－，即x＝－时，ymin＝2sin＝－.
所以f?(x)的最大值为2，最小值为－.
反思感悟 形如y＝Asin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用正弦函数的图像、有界性求出y＝Asin t的最值(值域)．
跟踪训练3 求函数y＝－2sin＋1，x∈的值域．
解 令t＝2x－，∴y＝－2sin t＋1，∵x∈，
∴t∈，
∴sin t∈，
∴－2sin t∈[－，2]，
∴y∈[－＋1,3]．
所以函数y＝－2sin＋1的值域为[－＋1,3]．
1．函数f?(x)＝sin(－2x)，x∈R，则f?(x)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为的奇函数
D．最小正周期为的偶函数
答案 A
2．函数f?(x)＝sin的一个单调递减区间是( )
A. B．[－π，0]
C. D.
答案 D
3．当－≤x≤时，函数f?(x)＝2sin有( )
A．最大值1，最小值－1 B．最大值1，最小值－
C．最大值2，最小值－2 D．最大值2，最小值－1
答案 D
解析 因为－≤x≤，所以－≤x＋≤，
所以－≤sin≤1，所以－1≤f?(x)≤2.
4．函数f?(x)＝sin的最小正周期为，其中ω>0，则ω等于( )
A．5 B．10 C．15 D．20
答案 B
5．函数y＝sin－1的单调递减区间为______________________．
答案 ，k∈Z
解析 令＋2kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得＋≤x≤＋，k∈Z.
∴函数y＝sin－1的单调递减区间为，k∈Z.
1．知识清单：
(1)正弦型函数的周期公式．
(2)正弦型函数的单调性．
(3)正弦型函数的最值、值域．
2．方法归纳：整体代换思想，换元思想，数形结合．
3．常见误区：单调区间漏写k∈Z，用集合表示，以及用并集符号连接．
1．下列函数中，周期为4π的是( )
A．y＝sin B．y＝sin 2x
C．y＝ D．y＝|sin x|
答案 A
2．对于函数f?(x)＝sin 2x，下列选项中正确的是( )
A．f?(x)在上是递增的
B．f?(x)的图像关于原点对称
C．f?(x)的最小正周期为2π
D．f?(x)的最大值为2
答案 B
解析 因为函数y＝sin x在上是递减的，
所以f?(x)＝sin 2x在上是递减的，故A错误；
因为f?(－x)＝sin 2(－x)＝sin(－2x)
＝－sin 2x＝－f?(x)，
所以f?(x)为奇函数，图像关于原点对称，故B正确；
f?(x)的最小正周期为π，故C错误；
f?(x)的最大值为1，故D错误．
3．函数f?(x)＝2sin，当f?(x)取得最小值时相应的x取值集合为( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 令2x＋＝－＋2kπ，k∈Z，解得x＝－＋kπ，k∈Z，故选D.
4．函数y＝2sin(ω>0)的周期为π，则其单调递增区间为( )
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
答案 C
解析 周期T＝π，∴＝π，∴ω＝2.
∴y＝2sin.
由－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
5．函数y＝sin(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ的值是( )
A．0 B. C. D．π
答案 C
解析 由题意，得sin(－φ)＝±1，即sin φ＝±1，因为φ∈[0，π]，所以φ＝，故选C.
6．函数y＝sin的最小正周期为2，则ω的值为________．
答案 ±π
解析 ∵T＝＝2，∴|ω|＝π，∴ω＝±π.
7．函数f?(x)＝sin，x∈，则当x＝________时，f?(x)有最小值为________．
答案 0 －
解析 ∵x∈，
∴－≤2x－≤，
∴当2x－＝－，即x＝0时，
f?(x)＝sin取得最小值，为－.
8．函数f?(x)＝sin(x∈[0，π])的单调递增区间为________．
答案
解析 f?(x)＝sin＝－sin，
当＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，
即＋2kπ≤x≤＋2kπ时，f?(x)递增，
又0≤x≤π，
∴≤x≤π，
∴x∈[0，π]时，f?(x)的单调递增区间为.
9．函数f?(x)＝2sin(ω>0)，周期为.
(1)求ω；
(2)求f?(x)的单调递增区间；
(3)若x∈，求f?(x)的取值范围．
解 (1)T＝＝，∴ω＝3，
∴f?(x)＝2sin.
(2)令－＋2kπ≤3x＋≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋≤x≤＋，k∈Z.
∴f?(x)的单调递增区间为，k∈Z.
(3)∵x∈，
∴3x＋∈，
∴sin∈，
∴f?(x)∈(－，2]．
故当x∈时，f?(x)的取值范围是(－，2]．
10．已知函数f?(x)＝asin＋b(a＞0)．当x∈时，f?(x)的最大值为，最小值是－2，求a和b的值．
解 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，
∴－≤sin≤1，∵a>0，
∴f?(x)max＝a＋b＝，f?(x)min＝－a＋b＝－2.
由得
∴a＝2，b＝－2＋.
11．函数y＝2sin在一个周期内的三个“零点”的横坐标可能是( )
A．－，， B．－，，
C．－，， D．－，，
答案 B
解析 令x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－＋2kπ，
分别令k＝0,1,2，得x＝－，，.故选B.
12．函数f?(x)＝sin＋cos的最大值为( )
A. B．1 C. D.
答案 A
解析 cos＝cos
＝sin，
则f?(x)＝sin＋sin
＝sin，函数的最大值为.
13．已知函数f?(x)＝sin是奇函数，则φ∈时，φ的值为________．
答案 －
解析 由题意知＋φ＝kπ(k∈Z)，
∴φ＝kπ－(k∈Z)，
又∵φ∈，
∴k＝0时，φ＝－符合条件．
14．若f?(x)＝2sin ωx(0<ω<1)在区间上的最大值是，则ω＝________.
答案
解析 ∵x∈，
即0≤x≤，且0<ω<1，
∴0≤ωx≤<，
∴f?(x)max＝2sin ＝，
∴sin ＝，＝，即ω＝.
15．f?(x)＝－2cos2x＋2sin x＋3，x∈，则f?(x)的值域为________．
答案
解析 f?(x)＝－2(1－sin2x)＋2sin x＋3
＝2sin2x＋2sin x＋1
＝22＋.
因为x∈，
所以≤sin x≤1.
当sin x＝1时，ymax＝5；
当sin x＝时，ymin＝.
所以f?(x)在上的值域为.
16．已知函数f?(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，且|φ|<π.若f?(x)≤对x∈R 恒成立．且f?>f?(π)，求f?(x)的单调递增区间．
解 由f?(x)≤对x∈R恒成立知，
2·＋φ＝2kπ±(k∈Z)．
∴φ＝2kπ＋或φ＝2kπ－(k∈Z)．
∵|φ|<π，得φ＝或φ＝－，
又∵f?>f?(π)，
∴φ＝－，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故f?(x)的单调递增区间是(k∈Z)．
