7．3.3 余弦函数的性质与图像
学习目标 1.会用“五点法”和图像平移伸缩变换作出余弦函数的简图.2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间、最值、对称轴和对称中心，并会简单应用．
知识点一 余弦函数
对于任意一个角x，都有唯一确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为余弦函数．
知识点二 余弦函数的图像与性质
正弦函数、余弦函数的图像、性质对比
函数
y＝sin x
y＝cos x
图像
定义域
R
R
值域
[－1,1]
[－1,1]
奇偶性
奇函数
偶函数
周期性
最小正周期：2π
最小正周期：2π
最值
当x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
当x＝2kπ (k∈Z)时，ymax＝1；
当x＝π＋2kπ (k∈Z)时，ymin＝－1
单调性
在(k∈Z) 上单调递增；
在(k∈Z)上单调递减
在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；
在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减
零点
kπ，k∈Z
＋kπ，k∈Z
对称轴
x＝＋kπ，k∈Z
x＝kπ，k∈Z
对称中心
(kπ，0)(k∈Z)
(k∈Z)
1．函数y＝2cos x＋1，当x＝________时，ymax＝________.
答案 2kπ(k∈Z) 3
2．y＝sin是________函数(填“奇”或“偶”)．
答案 偶
3．函数y＝cos x，x∈的值域为________．
答案
4．函数y＝－cos x的单调递减区间是________；单调递增区间是________．
答案 [－π＋2kπ，2kπ](k∈Z) [2kπ，2kπ＋π](k∈Z)
一、余弦函数的单调性
例1 求函数y＝3cos的单调递增区间．
解 y＝3cos＝3cos.
由2kπ－π≤－≤2kπ(k∈Z)，
得4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝3cos的单调递增区间为(k∈Z)．
反思感悟 确定函数y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想．即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间．若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解．有时还应兼顾函数的定义域．
跟踪训练1 若函数y＝2cos ωx在区间上单调递减，则ω的取值范围是________．
答案
解析 依题意ω>0，
且≥，∴T≥，
∴≥，∴0<ω≤.
二、余弦函数的值域(最值)
例2 求函数y＝3cos2x－4cos x＋1，x∈的值域.
解 y＝3cos2x－4cos x＋1＝32－.
∵x∈，∴cos x∈.
从而当cos x＝－，即x＝时，ymax＝；
当cos x＝，即x＝时，ymin＝－.
∴函数值域为.
反思感悟 求三角函数最值的两种基本类型
(1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合函数图像求最值．
(2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值．
跟踪训练2 已知函数y＝acos＋3，x∈的最大值为4，求实数a的值．
解 ∵x∈，∴2x＋∈，
∴－1≤cos≤.
当a>0，cos＝时，y取得最大值a＋3，
∴a＋3＝4，∴a＝2.
当a<0，cos＝－1时，y取得最大值－a＋3，
∴－a＋3＝4，∴a＝－1，
综上可知，实数a的值为2或－1.
三、余弦函数的对称性
例3 已知函数y＝2cos.
(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；
(2)把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值．
解 (1)令2x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝－，k∈Z.
令k＝0，x＝－；令k＝1，x＝.
∴函数y＝2cos的对称轴中离y轴最近的一条对称轴的方程是x＝.
(2)设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f?(x)，
则f?(x)＝2cos＝2cos.
∵y＝f?(x)的图像关于原点(0,0)对称，
∴f?(0)＝2cos＝0.
∴－2φ＝kπ＋，k∈Z，
解得φ＝－(k∈Z)．
令k＝0，得φ＝.
∴φ的最小正值是.
反思感悟 关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论
(1)f?(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于x＝x0对称?f?(x0)＝A或－A.
(2)f?(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于点(x0,0)中心对称?f?(x0)＝0.
跟踪训练3 已知函数f?(x)＝2cos，φ∈(0，π)且f?(x)的图像关于x＝对称．
(1)求φ；
(2)试说明f?(x)的图像是由y＝cos x的图像经过怎样的变换而得到的．
解 (1)令3x－＋φ＝kπ，k∈Z，
将x＝代入得－＋φ＝kπ，k∈Z，∴φ＝－＋kπ，k∈Z.
又φ∈(0，π)，∴φ＝，∴f?(x)＝2cos.
(2)将y＝cos x的图像向左平移个单位，再纵坐标不变横坐标缩短倍，最后再横坐标不变，纵坐标伸长2倍，即得f?(x)＝2cos的图像．
1．函数f?(x)＝cos 4x，x∈R是( )
A．最小正周期为π的偶函数
B．最小正周期为π的奇函数
C．最小正周期为的偶函数
D．最小正周期为的奇函数
答案 C
2．已知f?(x)＝sin，g(x)＝cos，则f?(x)的图像( )
A．与g(x)的图像相同
B．与g(x)的图像关于y轴对称
C．向左平移个单位，得g(x)的图像
D．向右平移个单位，得g(x)的图像
答案 D
解析 f?(x)＝sin，
g(x)＝cos＝cos＝sin x，
f?(x)的图像向右平移个单位，得到g(x)的图像．
3．下列函数中，在上为减函数的是( )
A．y＝cos B．y＝cos
C．y＝cos D．y＝cos
答案 D
解析 当x∈时，x＋∈，
∵y＝cos x在[0，π]上递减．
所以y＝cos在上递减．
4．如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点中心对称，那么|φ|的最小值为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 由y＝3cos(2x＋φ)的图像关于点中心对称知，f＝0，即3cos＝0.
∴＋φ＝kπ＋(k∈Z)．
∴φ＝kπ＋－(k∈Z)．
∴|φ|的最小值为|φ|＝＝.
5．函数y＝2cos，x∈的值域为______．
答案 [－1,2]
解析 ∵x∈，
∴2x＋∈，
∴cos∈，
∴函数的值域为[－1,2]．
1．知识清单：
(1)余弦函数、余弦曲线．
(2)余弦函数的性质．
(3)余弦函数的性质与图像的简单应用．
2．方法归纳：整体代换，换元，数形结合．
3．常见误区：正弦函数与余弦函数的单调性，对称性易混淆．
1．下列函数中周期为，且为偶函数的是( )
A．y＝sin 4x B．y＝cos x
C．y＝sin D．y＝cos
答案 C
解析 显然周期为的有A和C，
又因为y＝sin＝cos 4x是偶函数，故选C.
2．函数y＝－cos x在区间上是( )
A．增函数 B．减函数
C．先减后增函数 D．先增后减函数
答案 C
解析 因为y＝cos x在区间上先增后减，
所以y＝－cos x在区间上先减后增．
3．设a＝cos ，b＝sin ，c＝cos ，则( )
A．a>c>b B．c>b>a
C．c>a>b D．b>c>a
答案 A
解析 b＝sin＝sin＝sin＝sin＝cos，c＝cos＝cos，
因为>>，且y＝cos x在上是单调递减函数，所以a>c>b.
4．函数f?(x)＝cos在[0，π]上的零点个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 C
解析 由题意知，cos＝0，所以3x＋＝＋kπ，k∈Z，所以x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝；当k＝1时，x＝；当k＝2时，x＝，均满足题意，所以函数f?(x)在[0，π]上的零点个数为3.
5．将函数f?(x)＝2cos x向左平移个单位，再把图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图像，则函数y＝g(x)的图像的一个对称中心是( )
A. B.
C. D.
答案 D
解析 依题意g(x)＝2cos，
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，
得x＝＋，k∈Z，
∴g(x)的对称中心为，k∈Z，故选D.
6．函数y＝3cos在x＝________时，y取最大值．
答案 4kπ＋(k∈Z)
解析 当函数取最大值时，x－＝2kπ(k∈Z)，
x＝4kπ＋(k∈Z)．
7．函数y＝的定义域是________________．
答案 ，k∈Z
解析 由2cos x＋1≥0，得cos x≥－，
结合图像(图略)知，x∈，k∈Z.
8．方程x2＝cos x的实数解有________个．
答案 2
解析 作函数y＝cos x与y＝x2的图像，如图所示，
由图像，可知原方程有两个实数解．
9.已知函数f?(x)＝Acos(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图像如图所示．
(1)求f?(x)的解析式；
(2)若x∈，求f?(x)的取值范围．
解 (1)由图知A＝2，＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝2.
∴f?(x)＝2cos(2x＋φ)．
又f?(x)过点代入得2cos＝2，
∴cos＝1，
∴＋φ＝2kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<，
∴φ＝－.
∴f?(x)＝2cos.
(2)∵x∈，
∴2x－∈，
∴cos∈，
∴f?(x)∈(－，2]．
所以当x∈时，f?(x)的取值范围是(－，2]．
10．已知函数f?(x)＝2cos，φ∈，且f?(x)的图像关于x＝对称．
(1)求f?(x)；
(2)若x∈[0，π]，求f?(x)的减区间；
(3)画出f?(x)在一个周期上的简图．
解 (1)令2x＋φ＝kπ，k∈Z，
将x＝代入得2×＋φ＝kπ，φ＝－＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈，
∴φ＝，
∴f?(x)＝2cos.
(2)令2kπ≤2x＋≤π＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
又0≤x≤π，
∴0≤x≤或≤x≤π，
∴当x∈[0，π]时，f?(x)的减区间为，.
(3)列表，
2x＋
0
π
2π
x
－
f?(x)
2
0
－2
0
2
作图，如图所示．
11．把函数f?(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的图像上每一点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位，得到一个最小正周期为2π的奇函数g(x)，则ω和φ的值分别为( )
A．1， B．2，
C.， D.，
答案 B
解析 依题意得f?(x)第一次变换得到的函数解析式为m(x)＝2cos，
则函数g(x)＝2cos.
因为函数的最小正周期为2π，所以ω＝2，
∴g(x)＝2cos，
∵g(x)为奇函数，
∴g(0)＝0，
∴cos＝0，
又∵φ∈(0，π)，
∴φ＝.
12.函数f?(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图像如图所示，则f?(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
答案 D
解析 由图像知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，不妨取φ＝，
∴f?(x)＝cos.
由2kπ<πx＋<2kπ＋π，k∈Z，
得2k－∴f?(x)的单调递减区间为，k∈Z.故选D.
13．要得到y＝cos的图像，只要将y＝sin 2x的图像( )
A．向左平移个单位
B．向右平移个单位
C．向左平移个单位
D．向右平移个单位
答案 A
解析 y＝sin 2x＝cos＝cos
＝cos＝cos.
若设f?(x)＝sin 2x＝cos，
则f?＝cos，
所以向左平移个单位．
14．设0≤x≤2π，且|cos x－sin x|＝sin x－cos x，则x的取值范围为________．
答案
解析 由题意知sin x－cos x≥0，即cos x≤sin x，在同一坐标系画出y＝sin x，x∈[0,2π]与y＝cos x，x∈[0,2π]的图像，如图所示．
观察图像知，x∈.
15．当x∈[0，π]时，方程cos＋1＝a有两不相等的实数根，则a的取值范围为________．
答案
解析 cos＋1＝a，
cos＝a－1，令t＝x－，
∵x∈[0，π]，∴t∈，
依题意y＝cos t，t∈与y＝a－1有两个不同的交点，作出y＝cos t，t∈的图像如图．
由图知≤a－1<1，即≤a<2.
16．设函数y＝－2cos，x∈，若该函数是单调函数，求实数a的最大值．
解 由2kπ≤x＋≤2kπ＋π(k∈Z)，得
4kπ－≤x≤4kπ＋(k∈Z)．
∴函数的单调递增区间是(k∈Z)，
同理函数的单调递减区间是(k∈Z)．
令∈，
即≤k≤，
又k∈Z，∴k不存在．
令∈，得k＝1.
∴∈，
这表明y＝－2cos在上是减函数，
∴a的最大值是.
课件29张PPT。7.3.3 余弦函数的性质与图像第七章 7.3 三角函数的性质与图像学习目标XUE XI MU BIAO1.会用“五点法”和图像平移伸缩变换作出余弦函数的简图.
2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间、最值、对
称轴和对称中心，并会简单应用.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 余弦函数对于任意一个角x，都有 确定的余弦cos x与之对应，所以y＝cos x是一个函数，一般称为 .唯一余弦函数知识点二 余弦函数的图像与性质正弦函数、余弦函数的图像、性质对比RR[－1,1][－1,1]奇函数偶函数2π2πx＝2kπ(k∈Z)x＝π＋2kπ (k∈Z)[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)1.函数y＝2cos x＋1，当x＝__________时，ymax＝___.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN2kπ(k∈Z)3偶4.函数y＝－cos x的单调递减区间是______________________；单调递增区间是___________________.[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)2题型探究PART TWO一、余弦函数的单调性确定函数y＝Acos(ωx＋φ)单调区间的基本思想是整体换元思想.即将ωx＋φ看作一个整体，利用基本三角函数的单调性来求复杂三角函数的单调区间.若x的系数为负，通常利用诱导公式化为正数再求解.有时还应兼顾函数的定义域.解析 依题意ω>0，二、余弦函数的值域(最值)求三角函数最值的两种基本类型
(1)将三角函数式化为y＝Acos(ωx＋φ)＋k的形式，结合函数图像求最值.
(2)将三角函数式化为关于cos x(或sin x)的二次函数的形式，利用二次函数的性质和有界性求最值.∴－a＋3＝4，∴a＝－1，
综上可知，实数a的值为2或－1.三、余弦函数的对称性(1)在该函数的对称轴中，求离y轴距离最近的那条对称轴的方程；(2)把该函数的图像向右平移φ个单位后，图像关于原点对称，求φ的最小正值.解 设该函数向右平移φ个单位后解析式为y＝f?(x)，∵y＝f?(x)的图像关于原点(0,0)对称，关于正、余弦函数的对称性有以下重要结论
(1)f?(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于x＝x0对称?f?(x0)＝A或－A.
(2)f?(x)＝Asin(ωx＋φ)(或Acos(ωx＋φ))的图像关于点(x0,0)中心对称?f?(x0)＝0.(1)求φ；(2)试说明f?(x)的图像是由y＝cos x的图像经过怎样的变换而得到的.最后再横坐标不变，纵坐标伸长2倍，3随堂演练PART THREE1.函数f?(x)＝cos 4x，x∈R是
A.最小正周期为π的偶函数
B.最小正周期为π的奇函数
C.最小正周期为 的偶函数
D.最小正周期为 的奇函数√12345A.与g(x)的图像相同 B.与g(x)的图像关于y轴对称
C.向左平移 个单位，得g(x)的图像 D.向右平移 个单位，得g(x)的图像√12345∵y＝cos x在[0，π]上递减.√12345√1234512345[－1,2]∴函数的值域为[－1,2].1.知识清单：
(1)余弦函数、余弦曲线.
(2)余弦函数的性质.
(3)余弦函数的性质与图像的简单应用.
2.方法归纳：整体代换，换元，数形结合.
3.常见误区：正弦函数与余弦函数的单调性，对称性易混淆.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
