7．3.4 正切函数的性质与图像
学习目标 1.了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质.2.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题．
知识点一 正切函数
对于任意一个角x，只要x≠＋kπ，k∈Z.就有唯一确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数．
知识点二 正切函数的图像与性质
解析式
y＝tan x
图像
定义域
值域
R
最小正周期
π
奇偶性
奇函数
单调性
在每个开区间(k∈Z)上都是增函数
对称性
对称中心(k∈Z)
零点
kπ，k∈Z
思考 正切函数y＝tan x的图像与x＝kπ＋，k∈Z有公共点吗？
答案 没有．正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋(k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的．
1．正切函数的定义域和值域都是R.( × )
2．正切函数图像是中心对称图形，有无数个对称中心．( √ )
3．函数y＝tan x在其定义域上是增函数．( × )
4．正切函数在区间上单调递增．( × )
一、正切函数的定义域、值域问题
例1 (1)函数y＝3tan的定义域为________．
答案
解析 由－≠＋kπ，得x≠－－4kπ，k∈Z，
即函数的定义域为.
(2)函数y＝tan，x∈的值域是________．
答案 (－∞，1)
解析 ∵－∴tan<1，即函数的值域为(－∞，1)．
反思感悟 求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.
跟踪训练1 函数y＝tan(cos x)的定义域为________，值域为________．
答案 R [－tan 1，tan 1]
解析 因为－1≤cos x≤1，
∴tan(－1)≤tan(cos x)≤tan 1，
∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1.
所以定义域为R，值域为[－tan 1，tan 1]．
二、正切函数的单调性及其应用
例2 (1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：
①tan ________tan ；
②tan ________tan.
答案 ①< ②<
解析 ①tan ＝tan ，且0<<<，
又y＝tan x在上单调递增，
所以tan ②tan ＝tan ，tan＝tan ，
因为0<<<，
又y＝tan x在上单调递增，
所以tan (2)函数y＝tan的单调递增区间为__________________．
答案 (k∈Z)
解析 令z＝x＋，则y＝tan z.
由于函数y＝tan z在(k∈Z)上是增函数，且z＝x＋是增函数，
由－＋kπ<x＋<＋kπ，k∈Z，
解得－＋2kπ所以函数y＝tan的单调递增区间为(k∈Z)．
延伸探究
求函数y＝3tan的单调递减区间．
解 y＝3tan可化为y＝－3tan，
由kπ－<x－得2kπ－故单调递减区间为(k∈Z)．
反思感悟 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．
②运用单调性比较大小关系．
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．
跟踪训练2 (1)函数y＝tan的单调区间为______________________．
答案 (k∈Z)
解析 ∵y＝tan x在(k∈Z)上是增函数，
∴－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，
即－＋∴函数y＝tan的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间．
(2)比较大小：tan 32°________tan 215°.
答案 <
解析 tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，
又y＝tan x在0°∴tan 32°故tan 32°三、正切函数图像与性质的综合应用
例3 设函数f?(x)＝tan.
(1)求函数f?(x)的定义域、最小正周期、单调区间及对称中心；
(2)求不等式－1≤f?(x)≤的解集．
解 (1)由－≠＋kπ(k∈Z)，
得x≠＋2kπ(k∈Z)，
所以f?(x)的定义域是.
因为ω＝，所以最小正周期T＝＝＝2π.
由－＋kπ<－<＋kπ(k∈Z)，
得－＋2kπ所以函数f?(x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间．
由－＝(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)，
故函数f?(x)的对称中心是，k∈Z.
(2)由－1≤tan≤，
得－＋kπ≤－≤＋kπ(k∈Z)，
解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)．
所以不等式－1≤f?(x)≤的解集是
.
反思感悟 解答正切函数图像与性质问题应注意的两点
(1)对称性：正切函数图像的对称中心是(k∈Z)，不存在对称轴．
(2)单调性：正切函数在每个(k∈Z)区间内是单调递增的，但不能说其在定义域内是递增的．
跟踪训练3 关于x的函数f?(x)＝tan(x＋φ)有以下几种说法：
①对任意的φ，f?(x)都是非奇非偶函数；②f?(x)的图像关于对称；③f?(x)的图像关于(π－φ，0)对称；④f?(x)是以π为最小正周期的周期函数．
其中不正确的说法的序号是________．
答案 ①
解析 ①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f?(x)＝tan x，此时，f?(x)为奇函数，所以①错；观察正切函数y＝tan x的图像，可知y＝tan x关于(k∈Z)对称，令x＋φ＝(k∈Z)得x＝－φ(k∈Z)，分别令k＝1,2知②，③正确，④显然正确．
1．函数y＝tan的最小正周期是( )
A．π B．2π C. D.
答案 C
解析 最小正周期为T＝＝.
2．函数y＝tan的定义域是( )
A.
B.
C.
D.
答案 D
解析 y＝tan＝－tan，
∴令x－≠＋kπ，k∈Z.
∴x≠π＋kπ，k∈Z，故选D.
3．直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是( )
A．π B.
C. D.
答案 B
解析 y＝3与y＝tan ωx(ω>0)相邻两点间的距离是一个周期，
因为T＝，故选B.
4．函数y＝tan的一个对称中心是( )
A．(0,0) B. C. D．(π，0)
答案 C
解析 令x＋＝，k∈Z，得x＝－，k∈Z，
所以函数y＝tan的对称中心是，k∈Z.
令k＝2，可得函数的一个对称中心为.
5．函数y＝tan x的值域是________________．
答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞)
解析 函数y＝tan x在上单调递增，在上也单调递增，
所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
1．知识清单：
(1)正切函数图像的画法．
(2)正切函数的性质．
2．方法归纳：三点两线法，整体代换法，换元法．
3．常见误区：最小正周期T＝，在定义域内不单调，对称中心为(k∈Z)．
1．函数y＝tan是( )
A．最小正周期为4π的奇函数
B．最小正周期为2π的奇函数
C．最小正周期为4π的偶函数
D．最小正周期为2π的偶函数
答案 B
2．下列正切值中，比tan 大的是( )
A．tan B．tan
C．tan 35° D．tan(－142°)
答案 D
解析 tan＝－tan <0tan π＝tan ＝×180°＝36°.
∴tan 35°tan(－142°)＝tan(－142°＋180°)＝tan 38°>tan 36°.故选D.
3．函数y＝2tan的一个单调递减区间是( )
A. B.
C. D.
答案 C
解析 y＝2tan＝－2tan，
令－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z.
解得－＋∴该函数的单调递减区间为，k∈Z，
当k＝1时，单调递减区间为，故选C.
4．与函数y＝tan的图像不相交的直线的方程可能是( )
A．x＝ B．y＝ C．x＝ D．y＝
答案 C
解析 令2x＋≠＋kπ，k∈Z，
解得x≠＋，k∈Z，
故该函数的定义域为，故选C.
5．下列关于函数y＝tan的说法正确的是( )
A．在区间上单调递增
B．最小正周期是π
C．图像关于点成中心对称
D．图像关于直线x＝成轴对称
答案 B
解析 令kπ－6．函数y＝3tan的最小正周期是，则ω＝________.
答案 ±2
解析 T＝＝，
∴ω＝±2.
7．函数y＝的定义域为________．
答案 (k∈Z)
8．函数y＝2tan－5的单调递增区间是________．
答案 ，k∈Z
解析 令kπ－<3x＋－9．设函数f?(x)＝tan.
(1)求函数f?(x)的最小正周期、对称中心；
(2)作出函数f?(x)在一个周期内的简图．
解 (1)∵ω＝，
∴最小正周期T＝＝＝3π.
令－＝(k∈Z)，
得x＝π＋(k∈Z)，
∴f?(x)的对称中心是(k∈Z)．
(2)令－＝0，则x＝π；
令－＝，则x＝；
令－＝－，则x＝－.
∴函数y＝tan的图像与x轴的一个交点坐标是(π，0)，在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x＝－，x＝，从而得到函数y＝f?(x)在一个周期内的简图(如图)．
10．已知函数f?(x)＝3tan.
(1)求f?(x)的最小正周期和单调递减区间；
(2)试比较f?(π)与f?的大小．
解 (1)因为f?(x)＝3tan＝－3tan，
所以T＝＝＝4π.
由kπ－<－得4kπ－因为y＝3tan在(k∈Z)内单调递增，
所以f?(x)＝－3tan在(k∈Z)内单调递减．
故原函数的最小正周期为4π.
单调递减区间为(k∈Z)．
(2)f?(π)＝3tan＝3tan＝－3tan ，
f?＝3tan＝3tan＝－3tan ，
因为0<<<，
且y＝tan x 在上单调递增，
所以tan f?.
11．若f?(x)＝tan，则( )
A．f?(0)>f?(－1)>f?(1) B．f?(0)>f?(1)>f?(－1)
C．f?(1)>f?(0)>f?(－1) D．f?(－1)>f?(0)>f?(1)
答案 A
解析 f?(x)在kπ－即kπ－∵f?(1)＝f?(1－π)，－<1－π<－1<0<，
∴f?(1－π)f?(－1)>f?(1)．
12．已知函数y＝tan ωx在区间内是减函数，则( )
A．0<ω≤1 B．－1≤ω<0
C．ω≥1 D．ω≤－1
答案 B
解析 ∵y＝tan ωx在内是减函数，
∴ω<0且T＝≥π，
∴－1≤ω<0.故选B.
13．函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域为________．
答案 [－4,4]
解析 ∵－≤x≤，
∴－1≤tan x≤1.
令tan x＝t，则t∈[－1,1]，
∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5.
∴当t＝－1，即x＝－时，ymin＝－4，
当t＝1，即x＝时，ymax＝4.
故所求函数的值域为[－4,4]．
14．已知函数f?(x)＝3tan(ωx＋φ)的图像与x轴相交的两相邻点的坐标为和，则f?(x)＝______________，f?(x)≥的x的取值范围为________________．
答案 3tan (k∈Z)
解析 由题意可得f?(x)的周期为
T＝－＝＝，所以ω＝，
f?(x)＝3tan，因为图像过点，
所以tan＝0，即tan＝0，
所以＋φ＝kπ(k∈Z)，得φ＝kπ－，k∈Z，
又|φ|<，所以φ＝－，
所以f?(x)＝3tan.
由3tan≥，
所以tan≥，
得kπ＋≤x－解得＋≤x<＋，k∈Z，
所以满足f?(x)≥的x的取值范围是(k∈Z)．
15．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图像是( )
答案 D
解析 当当x＝π时，y＝0；
当πsin x，y＝2sin x．故选D.
16.已知函数f?(x)＝Atan(ωx＋φ)，ω>0，φ∈(0，π)的部分图像如图所示，求f?的值．
解 依题意＝－＝，
∴T＝，
∴＝，∴ω＝2，
∵f?(x)＝Atan(2x＋φ)，
又f?(x)过点，
得Atan＝0，
∴＋φ＝kπ，k∈Z，
∴φ＝－＋kπ，k∈Z，
又∵φ∈(0，π)，∴φ＝，
∴f?(x)＝Atan，
又f?(x)过点(0,1)，
∴Atan ＝1，∴A＝，
∴f?(x)＝tan，
∴f?＝tan＝tan ＝.
课件34张PPT。7.3.4 正切函数的性质与图像第七章 7.3 三角函数的性质与图像学习目标XUE XI MU BIAO1.了解正切函数图像的画法，理解掌握正切函数的性质.
2.能利用正切函数的图像及性质解决有关问题.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 正切函数对于任意一个角x，只要________________.就有 确定的正切值tan x与之对应，因此y＝tan x是一个函数，称为正切函数.唯一知识点二 正切函数的图像与性质Rπ奇函数思考 正切函数y＝tan x的图像与x＝kπ＋ ，k∈Z有公共点吗？1.正切函数的定义域和值域都是R.( )
2.正切函数图像是中心对称图形，有无数个对称中心.( )
3.函数y＝tan x在其定义域上是增函数.( )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU×√××2题型探究PART TWO一、正切函数的定义域、值域问题(－∞，1)求正切函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠ ＋kπ，k∈Z.
(2)求正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”，令ωx＋φ≠kπ＋ ，k∈Z，解得x.跟踪训练1 函数y＝tan(cos x)的定义域为____，值域为______________.R[－tan 1，tan 1]解析 因为－1≤cos x≤1，
∴tan(－1)≤tan(cos x)≤tan 1，
∴－tan 1≤tan(cos x)≤tan 1.
所以定义域为R，值域为[－tan 1，tan 1].二、正切函数的单调性及其应用例2 (1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)：<<延伸探究(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
②运用单调性比较大小关系.
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.(2)比较大小：tan 32°________tan 215°.<解析 tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°，
又y＝tan x在0°∴tan 32°故tan 32°①对任意的φ，f?(x)都是非奇非偶函数；②f?(x)的图像关于 对称；③f?(x)的图像关于(π－φ，0)对称；④f?(x)是以π为最小正周期的周期函数.
其中不正确的说法的序号是________.①解析 ①若取φ＝kπ(k∈Z)，则f?(x)＝tan x，此时，f?(x)为奇函数，所以①错；3随堂演练PART THREE√12345√123453.直线y＝3与函数y＝tan ωx(ω>0)的图像相交，则相邻两交点间的距离是12345√解析 y＝3与y＝tan ωx(ω>0)相邻两点间的距离是一个周期，√1234512345(－∞，－1]∪[1，＋∞)所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞).1.知识清单：
(1)正切函数图像的画法.
(2)正切函数的性质.
2.方法归纳：三点两线法，整体代换法，换元法.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
