7．3.5 已知三角函数值求角
学习目标 1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.2.了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示非特殊角．
知识点 arcsin x，arccos x，arctan x的含义
1．任意给定一个y∈[－1,1]，当sin x＝y且x∈时，通常记作x＝arcsin y.
2．在区间[0，π]内，满足cos x＝y，y∈[－1,1]的x只有一个，记作x＝arccos y.
3．在区间内，满足tan x＝y，y∈R的x只有一个，记作x＝arctan y.
1．已知sin x＝－，x∈，则x＝ .
答案 －
2．已知tan＝－1，则x＝ .
答案 x＝＋kπ，k∈Z
3．已知2cos 2x－＝0，x∈(0，π)，则x＝ .
答案 或
4．2sin x－1>0的解集为 ．
答案
一、已知正弦、余弦值求角
例1 已知f?(x)＝2sin.
(1)x∈且f?(x)＝－，求x的值；
(2)解不等式f?(x)<－.
解 (1)∵2sin＝－，即sin＝－，
∴角2x－的正弦线向下，且长度为，如图．
∴角2x－的终边为OP或OP′，
又sin＝sin＝－，
∴2x－＝－＋2kπ或2x－＝－＋2kπ，k∈Z，
即x＝kπ或－＋kπ，k∈Z，
又∵x∈，∴x＝－或x＝0.
(2)原不等式可化为sin<－，
由(1)及图可知－＋2kπ<2x－<－＋2kπ，k∈Z.
解得－＋kπ∴原不等式的解集为.
反思感悟 已知正弦、余弦三角函数值求特殊角的方法
(1)利用单位圆中的三角函数线，先求一个周期内的角，再加上周期的整数倍，即得到所有的角．
(2)利用三角函数的图像，作出一个周期内的三角函数图像，找出一个周期内的角，再加上周期的整数倍即可．
跟踪训练1 (1)已知cos＝，则x＝ .
(2)不等式cos<的解集为 ．
答案 (1)x＝＋或x＝＋，k∈Z
(2)
解析 (1)利用三角函数线可知，x∈[0,2π]时，
cos ＝cos ＝，
令3x＋＝＋2kπ或3x＋＝＋2kπ，k∈Z.
解得x＝＋或x＝＋，k∈Z.
(2)由(1)及三角函数线知，＋2kπ<3x＋<＋2kπ，k∈Z，
解得＋二、已知正切值求角，解不等式
例2 已知f?(x)＝tan.
(1)已知f?(x)＝，求x；
(2)解不等式f?(x)≥.
解 (1)tan＝>0，
角x＋对应的正切线向下，且长度为，如图角x＋的终边为OT或OT′.
∵tan ＝tan＝，
∴x＋＝＋kπ，k∈Z.
即x＝＋2kπ，k∈Z.
(2)由(1)及三角函数线知＋kπ≤x＋<＋kπ，k∈Z，
解得＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z，
∴原不等式的解集为.
反思感悟 利用单位圆中正切线，先求出一个周期内的角，再加上kπ即可由正切函数值求角，也可以利用正切函数的图像求解．
跟踪训练2 (1)tan＝－，x∈，则x＝ .
(2)不等式tan<－的解为 ．
答案 (1)－或
(2)
解析 (1)在内，tan＝－，
∴2x－＝－＋kπ，k∈Z，
解得x＝＋，k∈Z，
又x∈，
∴x＝－，或x＝.
(2)令－＋kπ<2x－<－＋kπ，k∈Z，
解得－＋三、利用arcsin x，arccos x，arctan x求值，求角
例3 (1)已知sin x＝，求x的值．
解 ∵x∈时，sin x＝，∴x＝arcsin .
∴当x∈R时，x＝arcsin ＋2kπ或x＝π－arcsin ＋2kπ，k∈Z.
(2)已知tan α＝－2，α∈(0,2π)，求α的值．
解 设β∈，且tan β＝－2，
∴β＝arctan(－2)，
∴α＝β＋kπ＝arctan(－2)＋kπ，k∈Z，
又α∈(0,2π)，
∴α＝arctan(－2)＋π或arctan(－2)＋2π.
(3)arcos ＝ .
答案
解析 在[0，π]内，cos ＝，
∴arccos ＝.
反思感悟 (1)方程y＝sin x＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝2kπ＋arcsin a，或(2k＋1)π－arcsin a，k∈Z}，也可化简为{x|x＝kπ＋(－1)karcsin a，k∈Z}．
(2)方程cos x＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}．
(3)方程tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋arctan a，k∈Z}．
跟踪训练3 (1)已知cos＝－，x∈(－π，π)，则x＝ .
答案 －或
解析 在(0,2π)内，cos ＝cos ＝－，
∴x－＝＋2kπ或x－＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，
又x∈(－π，π)，∴x＝－或.
(2)arccos＝ ，arctan ＝ .
答案
1．下列等式不成立的是( )
A．2sin x＋1＝0 B．tan x＋2 020＝0
C．cos x＝ D．tan x＝0
答案 C
2．已知sin＝－，x∈，则x的值为( )
A. B．－ C．－或 D．－或
答案 B
解析 由题意得，2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
解得x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z，
又∵x∈，∴x＝－.
3．已知tan＝，则x＝ .
答案 ＋，k∈Z
解析 2x－＝＋kπ，k∈Z，
即x＝＋，k∈Z.
4．arcsin ＝ ，arctan(－1)＝ .
答案 －
5．函数y＝ln的定义域为 ．
答案
解析 依题意得cos 2x－1>0，
∴cos 2x>，
∴－＋2kπ<2x<＋2kπ，k∈Z.
解得－＋kπ1．知识清单：
(1)利用单位圆中的三角函数线，由三角函数值求角，解不等式．
(2)arcsin x，arccos x，arctan x的含义．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：arcsin x，arccos x，arctan x的取值范围．
1．若α是三角形内角，且sin α＝，则α等于( )
A．30° B．30°或150°
C．60° D．120°或60°
答案 B
解析 ∵sin 30°＝，sin(180°－30°)＝sin 30°＝，
∴α＝30°或150°.
2．已知cos＝－，πA. B.或 C.或 D.
答案 B
解析 2x＋＝＋2kπ或2x＋＝＋2kπ，k∈Z，
∴x＝＋kπ或＋kπ，k∈Z，
∵π∴x＝或.
3．若tan x＝－，0A.或 B.或
C.或 D.或
答案 D
解析 ∵tan x＝－<0，
∴x为第二或第四象限角．
符合条件tan x0＝的锐角x0＝.
而tan＝－tan ＝－，
tan＝－tan ＝－，
∴x＝π－＝或x＝2π－＝.
4．不等式sin>－的解集为( )
A.
B.
C.
D.
答案 C
解析 －＋2kπ解得－＋2kπ5．下列叙述错误的是( )
A．arctan y表示一个内的角
B．若x＝arcsin y，|y|≤1，则sin x＝y
C．若tan ＝y，则x＝2arctan y
D．arcsin y，arccos y中的y∈[－1,1]
答案 C
6．使等式2cos ＝1成立的x的集合为 ．
答案
解析 cos ＝，
∴＝±＋2kπ，k∈Z，
∴x＝±＋4kπ，k∈Z.
7．已知tan x＝，且x∈(0,2π)，则x＝ .
答案 arctan 或π＋arctan
解析 ∵tan x＝，∴x∈(0，π)时，x＝arctan .
所以x∈(π，2π)时，x＝π＋arctan .
8．已知x＝arctan，x∈，则sin x＝ .
答案 －
解析 ∵arctan＝－，
∴x＝－，
∴sin x＝sin＝－.
9．已知sin ＝－，且α是第二象限的角，求角α.
解 ∵α是第二象限的角，
∴是第一或第三象限的角．
∵sin ＝－<0，∴是第三象限的角，
在[0,2π]内找到满足条件的，
∵sin ＝，
∴在[0,2π]内满足条件的角＝π＋＝.
∴所有满足条件的＝2kπ＋ (k∈Z)，
即α＝4kπ＋ (k∈Z)．
10．求函数y＝＋lg(1－tan x)的定义域．
解 由题意，得即－1≤tan x<1.
在内，满足上述不等式的x的取值范围是，又y＝tan x的周期为π，
所以函数的定义域是(k∈Z)．
11．在△ABC中，sin－cos＝0，则A等于( )
A. B.
C.或 D.或
答案 D
解析 sin＝cos，
∴tan＝1，
∴2A－＝＋kπ，k∈Z，∴A＝＋，k∈Z，
又A∈(0，π)，∴A＝或，故选D.
12．函数f?(x)＝＋lg (cos x)，则f?(x)的定义域为( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 依题意∴
∴＋2kπ≤x<＋2kπ，k∈Z，故选A.
13．若＜x＜π且cos x＝－，则x等于( )
A．arccos B．－arccos
C．π－arccos D．π＋arccos
答案 C
14．arcsin＝ .
arccos(－1)＝ .
答案 － π
15．函数f?(x)＝＋log2(2sin x－)的定义域是 ．
答案 ∪∪
解析 依题意即
由sin x>，得＋2kπ又－8≤x≤8，∴－故f?(x)的定义域为∪∪.
16．计算arcsin＋tan＋2sin.
解 cos ＝，∴arcsin ＝.
arcsin＝－，∴tan＝－，
arccos＝，∴sin ＝，
∴2sin＝，
∴原式＝－＋＝.
课件32张PPT。7.3.5 已知三角函数值求角第七章 7.3 三角函数的性质与图像学习目标XUE XI MU BIAO1.掌握已知三角函数值求角的步骤和方法.
2.了解符号arcsin x，arccos x，arctan x的含义，并能用这些符号表示
非特殊角.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 arcsin x，arccos x，arctan x的含义1.任意给定一个y∈[－1,1]，当sin x＝y且x∈ 时，通常记作x＝ .
2.在区间 内，满足cos x＝y，y∈[－1,1]的x只有一个，记作x＝ .
3.在区间 内，满足tan x＝y，y∈R的x只有一个，记作x＝ .arcsin y[0，π]arccos yarctan y预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN4.2sin x－1>0的解集为 .2题型探究PART TWO一、已知正弦、余弦值求角已知正弦、余弦三角函数值求特殊角的方法
(1)利用单位圆中的三角函数线，先求一个周期内的角，再加上周期的整数倍，即得到所有的角.
(2)利用三角函数的图像，作出一个周期内的三角函数图像，找出一个周期内的角，再加上周期的整数倍即可.解析 利用三角函数线可知，x∈[0,2π]时，二、已知正切值求角，解不等式利用单位圆中正切线，先求出一个周期内的角，再加上kπ即可由正切函数值求角，也可以利用正切函数的图像求解.三、利用arcsin x，arccos x，arctan x求值，求角(2)已知tan α＝－2，α∈(0,2π)，求α的值.∴β＝arctan(－2)，
∴α＝β＋kπ＝arctan(－2)＋kπ，k∈Z，
又α∈(0,2π)，
∴α＝arctan(－2)＋π或arctan(－2)＋2π.(1)方程y＝sin x＝a，|a|≤1的解集可写为{x|x＝2kπ＋arcsin a，或(2k＋1)π－arcsin a，k∈Z}，也可化简为{x|x＝kπ＋(－1)karcsin a，k∈Z}.
(2)方程cos x＝a，|a|≤1的解集可写成{x|x＝2kπ±arccos a，k∈Z}.
(3)方程tan x＝a，a∈R的解集为{x|x＝kπ＋arctan a，k∈Z}.3随堂演练PART THREE1.下列等式不成立的是
A.2sin x＋1＝0 B.tan x＋2 020＝0
C.cos x＝ D.tan x＝012345√√123451234512345123451.知识清单：
(1)利用单位圆中的三角函数线，由三角函数值求角，解不等式.
(2)arcsin x，arccos x，arctan x的含义.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：arcsin x，arccos x，arctan x的取值范围.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
