7．4 数学建模活动：周期现象的描述
学习目标 1.借助具体实例，理解一类波动问题(如光波、声波、电磁波)等周期现象可以用三角函数刻画.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题．
知识点一 三角函数的应用
1．三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．
2．用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验．
知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
1．函数y＝3sin的初相为________．
答案 －
2．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sin，则当t＝时，电流为________ A.
答案
3．如图为某简谐运动的图像，则这个简谐运动需要______ s往返一次．
答案 0.8
一、三角函数模型在物理中的应用
例1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ)．
(1)如图所示的是I＝Asin(ωt＋φ)在一个周期内的图像，根据图中数据求I＝Asin(ωt＋φ)的解析式；
(2)如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解 (1)由题图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，
则周期T＝2(t2－t1)＝2＝.
∴ω＝＝150π.
又当t＝时，I＝0，
即sin＝0，
而|φ|<，∴φ＝.
故所求的解析式为I＝300sin.
(2)依题意知，周期T≤，即≤(ω>0)，
∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，
故所求最小正整数ω＝943.
反思感悟 处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．
跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin.
(1)画出它的图像；
(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？
②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？
③小球来回摆动一次需要多少时间？
解 (1)周期T＝＝1(s)．
列表．
t
0
1
2πt＋
π
2π
2π＋
6sin
3
6
0
－6
0
3
作图，如图所示．
(2)①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm.
②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.
③小球来回摆动一次需要1 s(即周期)．
二、三角函数模型在生活中的应用
例2 某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h 20 min，低潮时入口处水的深度为2.8 m，高潮时为8.4 m，已知一次高潮发生在10月3日2：00.
(1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；
(2)求出10月4日15：00入口处水的深度．
解 (1)设此三角函数模型是d＝Asin(ωt＋φ)＋b(t≥0)，根据题意可知周期T＝(h)．
所以ω＝＝，A＝＝＝2.8，b＝＝＝5.6，
所以d＝2.8sin＋5.6(t≥0)，又因为当t＝2时，d取得最大值，
所以2.8sin＋5.6＝8.4，
所以可取φ＝，所以d＝2.8sin＋5.6(t≥0)．
(2)10月4日15：00相当于t＝39，此时入口处水的深度d＝2.8sin＋5.6＝8.4(米)．
反思感悟 解三角函数应用问题的基本步骤
跟踪训练2 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像．某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；
(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？
解 (1)由题意知解得
易知＝14－2，所以T＝24，所以ω＝，
易知8sin＋6＝－2，
即sin＝－1，
故×2＋φ＝－＋2kπ，k∈Z，
又|φ|<π，得φ＝－，
所以y＝8sin＋6(x∈[0,24))．
(2)当x＝9时，y＝8sin＋6
＝8sin ＋6<8sin ＋6＝10.
所以届时学校后勤应该开空调．
1．弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过路程是32 cm，由此可知该振子振动的( )
A．频率为1.5 Hz B．周期为1.5 s
C．周期为6 s D．频率为6 Hz
答案 B
解析 振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s.
2．如图是一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足的函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有( )
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝3
C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝5
答案 A
解析 由题目可知y的最大值为5，所以5＝A×1＋2，得A＝3，由于T＝15，所以ω＝.
3．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin?(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？( )
A．[0,5] B．[5,10] C．[10,15] D．[15,20]
答案 C
解析 由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.
4．在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动．已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1＝5sin，s2＝10cos 2t确定，则当t＝ s时，s1与s2的大小关系是( )
A．s1>s2 B．s1C．s1＝s2 D．不能确定
答案 C
解析 当t＝时，s1＝5sin＝5sin ＝－5，
当t＝时，s2＝10cos ＝10×＝－5，故s1＝s2.
5．设y＝f?(t)是某港口水的深度y(m)关于时间t(h)的函数，其中0≤t≤24，下列是该港口某一天从0 h至24 h记录的时间t与水深y的关系：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
12
15.1
12.1
9.1
11.9
14.9
11.9
8.9
12.1
经观察，函数y＝f?(t)的图像可以近似地看成函数y＝k＋Asin(ωt＋φ)(t∈[0,24])的图像，最能近似表示数据间对应关系的是________________．
答案 y＝12＋3sin t
解析 由图表可知，k＝12，A＝3，＝3，∴T＝12，ω＝＝，又当t＝0时，y＝12，且点(0,12)在函数的单调递增区间上，∴φ＝2nπ，n∈Z，令n＝0，得φ＝0.
∴f?(t)＝12＋3sin t.
1．知识清单：
(1)三角函数模型在物理中的应用．
(2)三角函数模型在生活中的应用．
2．方法归纳：数学建模．
1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过周期后，乙的位置将移至( )
A．x轴上 B．最低点 C．最高点 D．不确定
答案 C
解析 相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．
2.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sin＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )
A．5 B．6 C．8 D．10
答案 C
解析 根据图像得函数的最小值为2，
有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.
3．弹簧上挂的小球做上下振动，它在时间t(s)时离开平衡位置的位移s(cm)满足函数关系式s＝2sin，给出下列三种说法：①小球开始时在平衡位置上方cm处；②小球下降到最低点时在平衡位置下方2 cm处；③经过2π s小球重复振动一次，其中正确的说法是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
答案 D
解析 当t＝0时，s＝2sin＝，故①正确；smin＝－2，故②正确；函数的最小正周期T＝2π，故③正确．
4．如图是一个简谐运动的图像，则下列判断正确的是( )
A．该质点的振动周期为0.7 s
B．该质点的振幅为－5 cm
C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大
D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零
答案 D
解析 由图像及简谐运动的有关知识知T＝0.8 s，A＝5 cm，当t＝0.1 s及t＝0.5 s时，v＝0，故排除选项A，B，C.
5．某商品一年内每件出厂价在5千元的基础上按月以f?(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B为模型波动，已知3月份第一次达到最高价7千元，7月份第一次达到最低价3千元，根据以上条件可以确定f?(x)的解析式是( )
A．f?(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N＋)
B．f?(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N＋)
C．f?(x)＝7sin＋5(1≤x≤12，x∈N＋)
D．f?(x)＝2sin＋5(1≤x≤12，x∈N＋)
答案 D
解析 根据题意，T＝2×(7－3)＝8，∴ω＝＝，由得∴f?(x)＝2sin＋5，当x＝3时，2sin＋5＝7，又|φ|<，
可得φ＝－，∴f?(x)＝2sin＋5，故选D.
6．已知一弹簧振子的位移y与时间t的函数关系式为y＝Asin(ωt＋φ)(A>0，ω>0)，若已知此振子的振幅为3，周期为，初相为，则这个函数的解析式为________．
答案 y＝3sin，t∈[0，＋∞)
7．某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.
答案 20.5
解析 根据题意得
18＝a＋Acos＝a－A,28＝a＋A，
解得a＝23，A＝5，
所以y＝23＋5cos，
令x＝10，
得y＝23＋5cos＝23＋5cos ＝20.5.
8．已知某种交流电流I(A)随时间t(s)的变化规律可以拟合为函数I＝5sin，t∈[0，＋∞)，则这种交流电在0.5 s内往复运动________次．
答案 50
解析 据I＝5sin知ω＝100π rad/s，
该电流的周期为T＝＝＝0.02 s，
则这种交流电电流在0.5 s内往复运行次数为n＝2·＝2× s＝50(次)．
9．交流电的电压E(单位：伏)与时间t(单位：秒)的关系可用E＝220sin来表示，求：
(1)开始时的电压；
(2)电压的最大值和第一次获得这个最大值的时间．
解 (1)当t＝0时，E＝220sin ＝110(伏)，
即开始时的电压为110 伏．
(2)电压的最大值为220 伏，
当100πt＋＝，
即t＝ 秒时第一次获得这个最大值．
10．某景区客栈的工作人员为了控制经营成本，减少浪费，合理安排入住游客的用餐，他们通过统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：
①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；
②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差400人；
③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多；
若入住客栈的游客人数y与月份x(x∈N＋)之间的关系可用函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0,0<|φ|<π)近似描述．
(1)求该函数的解析式；
(2)请问哪几个月份要准备不少于400人的用餐？
解 (1)由①，得最小正周期T＝＝12，所以ω＝；
由②，得f?(2)最小，f?(8)最大，且f?(8)－f?(2)＝400；
由③，得f?(x)在[2,8]上单调递增，且f?(2)＝100，所以f?(8)＝500，
所以解得
又f?(2)最小，f?(8)最大，所以
由0<|φ|<π，所以φ＝－，
所以y＝200sin＋300(x∈N＋，且1≤x≤12)．
(2)由200sin＋300≥400，
得sin≥.
所以2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，解得12k＋6≤x≤12k＋10(k∈Z)．
因为x∈N＋，且1≤x≤12，所以x＝6,7,8,9,10，
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的用餐．
11．有一冲击波，其波形为函数y＝－sin 的图像，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 C
12．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，青岛市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示．
x
1
2
3
y
10 000
9 500
？
则此楼盘在第三季度的平均单价大约是( )
A．10 000元 B．9 500元
C．9 000元 D．8 500元
答案 C
解析 因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9 500(ω>0)，
所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9 500＝10 000；
当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9 500＝9 500，
所以ω可取，φ可取π，
即y＝500sin＋9 500.
当x＝3时，y＝9 000.
13．示波器上显示的曲线是正弦曲线形状，记录到两个坐标M(2,4)和P(6,0)，已知M，P是曲线上相邻的最高点和平衡位置，则得曲线的方程是________．
答案 y＝4sin
解析 由题意可设曲线方程为y＝4sin(ωx＋φ)(ω>0)．
因为＝4，所以T＝16，所以ω＝＝，
所以y＝4sin.
又曲线经过点M(2,4)，
所以×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以φ＝＋2kπ，k∈Z，
所以y＝4sin.
14．国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为________．
答案
解析 因为国际油价在某一时间内呈现出正弦波动规律：P＝Asin＋60，最高油价80美元，
所以A＝20.
当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω>0，所以令k＝1，
得150ωπ＋＝2π－，解得ω＝.
故ω的最小值为.
15．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
答案 10sin
解析 秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示，
sin ＝，
所以d＝10sin .
16．如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径为40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请解答下列问题：
(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分钟)的函数关系式；
(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？
解 (1)由已知可设y＝40.5－40cos ωt，t≥0，
由周期为12分钟可知，当t＝6时，摩天轮第1次到达最高点，即此函数第1次取得最大值，
所以6ω＝π，即ω＝，
所以y＝40.5－40cos t(t≥0)．
(2)设转第1圈时，第t0分钟时距离地面60.5米．
由60.5＝40.5－40cos t0，得cos t0＝－，
所以t0＝或t0＝，
解得t0＝4或t0＝8，
所以t＝8(分钟)时，第2次距地面60.5米，
故第4次距离地面60.5米时，用了12＋8＝20(分钟)．
课件31张PPT。7.4 数学建模活动：周期现象的描述第七章 三角函数学习目标XUE XI MU BIAO1.借助具体实例，理解一类波动问题(如光波、声波、电磁波)等周期
现象可以用三角函数刻画.
2.会用三角函数解决一些简单的实际问题.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 三角函数的应用1.三角函数模型的作用
三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用.
2.用函数模型解决实际问题的一般步骤
收集数据―→画散点图―→选择函数模型―→求解函数模型―→检验.知识点二 函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义Aωx＋φφ预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN3.如图为某简谐运动的图像，则这个简谐运动需要______ s往返一次.0.82题型探究PART TWO一、三角函数模型在物理中的应用例1 已知电流I与时间t的关系为I＝Asin(ωt＋φ).(2)如果t在任意一段 的时间内，电流I＝Asin(ωt＋φ)都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？∴ω≥300π>942，又ω∈N＋，
故所求最小正整数ω＝943.处理物理学问题的策略
(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性.
(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题.跟踪训练1 一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S(单位：cm)与时间t(单位：s)的函数关系是S＝6sin .(1)画出它的图像；列表.作图，如图所示.(2)回答以下问题：
①小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置是多少？解 小球开始摆动(即t＝0)时，离开平衡位置为3 cm.②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？解 小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6 cm.③小球来回摆动一次需要多少时间？解 小球来回摆动一次需要1 s(即周期).二、三角函数模型在生活中的应用例2 某港口相邻两次高潮发生的时间间隔为12 h 20 min，低潮时入口处水的深度为2.8 m，高潮时为8.4 m，已知一次高潮发生在10月3日2：00.
(1)若从10月3日0：00开始计算时间，选用一个三角函数模型来近似描述这个港口入口处的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；解 设此三角函数模型是d＝Asin(ωt＋φ)＋b(t≥0)，(2)求出10月4日15：00入口处水的深度.解 10月4日15：00相当于t＝39，解三角函数应用问题的基本步骤跟踪训练2 通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b的图像.某年2月下旬某地区连续几天最高温度都出现在14时，最高温度为14 ℃；最低温度出现在凌晨2时，最低温度为零下2 ℃.
(1)求出该地区该时段的温度函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0，|φ|<π，x∈[0,24))的表达式；(2)29日上午9时某高中将举行期末考试，如果温度低于10 ℃，教室就要开空调，请问届时学校后勤应该开空调吗？所以届时学校后勤应该开空调.3随堂演练PART THREE1.弹簧振子的振幅为2 cm，在6 s内振子通过路程是32 cm，由此可知该振子振动的
A.频率为1.5 Hz B.周期为1.5 s
C.周期为6 s D.频率为6 Hz√12345解析 振幅为2 cm，振子在一个周期内通过的路程为8 cm，
易知在6 s内振动了4个周期，所以T＝1.5 s.2.如图是一半径为3 m的水轮，水轮圆心O距离水面2 m，已知水轮1 min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y(m)与时间x(s)满足的函数关系y＝Asin(ωx＋φ)＋2，则有√12345解析 由题目可知y的最大值为5，3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sin? (t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？
A.[0,5] B.[5,10] C.[10,15] D.[15,20]12345√知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]，故选C.A.s1>s2 B.s1∴φ＝2nπ，n∈Z，令n＝0，得φ＝0.1.知识清单：
(1)三角函数模型在物理中的应用.
(2)三角函数模型在生活中的应用.
2.方法归纳：数学建模.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
