8．1 向量的数量积
8．1.1 向量数量积的概念
学习目标 1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握两个向量的夹角的定义.3.掌握向量数量积的定义和性质.4.理解向量的投影与向量数量积的几何意义．
知识点一 两个向量的夹角
1.给定两个非零向量a，b，在平面内任选一点O，作＝a，＝b，则称[0，π]内的∠AOB为向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．
(1)〈a，b〉的取值范围是[0，π]．
(2)〈a，b〉＝〈b，a〉．
2．当〈a，b〉＝时，称向量a与向量b垂直，记作a⊥b，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．
知识点二 数量积的定义
一般地，当a与b都是非零向量时，称|a||b|cos〈a，b〉为向量a与b的数量积(也称内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(1)两个非零向量的数量积a·b是一个实数．可以是正数，也可以是0，还可以是负数．
(2)当a与b至少有一个为零向量时，a·b＝0.
思考 若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0.
答案 在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
知识点三 数量积的性质
1．|a·b|≤|a||b|.
2．a·a＝|a|2，即|a|＝，a2＝|a|2.
3．a⊥b?a·b＝0.
4．cos〈a，b〉＝.
知识点四 向量的投影与向量数量积的几何意义
1．设非零向量＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量为向量a在直线l上的投影向量或投影．
2．给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为a在向量b上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为.一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，它们的方向既有可能相同，也有可能相反．
3．一般地，如果a，b都是非零向量，则称|a|cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影的数量，投影的数量与投影的长度有关，投影的数量既可能是非负数，也可能是负数．a·b等于a在b上的投影的数量与b的模的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|.特别地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量．
1．a与b的数量积a·b是一个向量．( × )
2．已知a·b＝0，那么a与b有可能不垂直．( × )
3．a在b上的投影一定是正数．( × )
4．若a·b<0，则a与b的夹角为钝角．( × )
一、利用定义求两向量的数量积
例1 已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；(3)·.
解 (1)∵与的夹角为60°.
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)∵与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×＝－.
(3)∵与的夹角为60°，
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
反思感悟 求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．
跟踪训练1 如图，在?ABCD中，||＝4，||＝3，∠DAB＝60°，求：
(1)·；(2)·.
解 (1)·＝||·||cos 0°＝3×3×1＝9.
(2)与的夹角为120°，
∴·＝||||cos 120°＝4×3×＝－6.
二、向量的夹角
例2 (1)已知在△ABC中，AB＝AC＝4，·＝8，则△ABC的形状是________．
答案 等边三角形
解析 ·＝||||cos∠BAC，
即8＝4×4cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，
因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形．
(2)|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则〈a，b〉＝________.
答案 π
解析 cos〈a，b〉＝＝＝－1，
∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝π.
反思感悟 求非零向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解．
跟踪训练2 在△ABC中，||＝3，||＝4，·＝－6，则∠B＝________.
答案 60°
解析 cos〈，〉＝＝＝－，
∴〈，〉＝120°，
又与的夹角为∠B的补角，
∴∠B＝180°－120°＝60°.
三、向量的投影与向量数量积的几何意义
例3 (1)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影为( )
A．2 B．－2 C．2b D．－2b
答案 D
解析 如图所示，＝a，＝b，
∵∠AOB＝120°，过A作AA′⊥OB，垂足为A′，
∴a在b上的投影为′，
∴∠AOA′＝60°，OA＝8，
∴OA′＝OA·cos 60°＝8×＝4，
又|b|＝2.
∴′＝－2b，故选D.
(2)如图，Rt△ABC中∠A＝，AB＝2，点D为线段AC上的动点，则·＝________.
答案 －4
解析 ·＝·，
∵||＝2，
∴在上的投影的数量为－2，
∴·＝－2×||＝－4.
反思感悟 (1)a在b上的投影是一个向量，它的方向与b同向或反向，即a在b上的投影与向量b共线．
(2)利用向量数量积的几何意义可以求两向量的数量积，即a与b的数量积为a在b上的投影的数量与|b|的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)·|b|.
跟踪训练3 已知a·b＝－9，a在b上的投影的数量为－3，b在a上的投影的数量为－，求a与b的夹角．
解 由题意，得∴
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝.
1．已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于( )
A．－6 B．6 C．－6 D．6
答案 C
2．已知|a|＝9，|b|＝6，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为( )
A．45° B．135° C．120° D．150°
答案 B
解析 ∵cos θ＝＝＝－，
又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.
3．已知|a|＝6，|b|＝3，〈a，b〉＝150°，则向量b在a上的投影的数量为( )
A．2 B．－2 C. D．－
答案 D
解析 向量b在a上的投影的数量为
|b|cos〈a，b〉＝3×cos 150°＝－.
4．已知|b|＝3，a在b上的投影的数量为，则a·b等于( )
A．3 B. C．2 D.
答案 B
解析 由数量积的几何意义知a·b＝(|a|cos〈a·b〉)|b|＝×|b|＝.
5．在△ABC中，||＝13，||＝5，||＝12，则·的值是________．
答案 －25
解析 易知||2＝||2＋||2，则∠C＝90°.
∴cos B＝.
又cos 〈，〉＝cos(180°－B)，
∴·＝||||cos(180°－B)
＝13×5×＝－25.
1．知识清单：
(1)向量的夹角，向量数量积的定义．
(2)向量数量积的性质．
(3)向量的投影及向量数量积的几何意义．
2．方法归纳：数形结合．
3．常见误区：混淆投影与投影的数量．
1．已知向量a，b，下列选项中错误的是( )
A．|a|＝
B．若|a·b|＝|a||b|，则a与b共线
C．若a≠0且b≠0，则a·b≠0
D．|a·b|≤|a||b|
答案 C
2．在等腰直角三角形ABC中，若∠C＝90°，AC＝，则·的值等于( )
A．－2 B．2 C．－2 D．2
答案 B
解析 ·＝||||cos∠ABC＝2××cos 45°＝2.
3．已知向量a在b上的投影的数量为－6，|a|＝12，则向量a与b的夹角〈a，b〉等于( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 依题意|a|cos〈a，b〉＝－6，
∴cos〈a，b〉＝＝－，
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，
∴〈a，b〉＝120°.
4．在△ABC中，＝a，＝b，且a·b>0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．钝角三角形
答案 D
解析 a·b>0，∴〈a，b〉的夹角为0°或锐角，
∴与的夹角为锐角，
∴△ABC的内角∠ABC为钝角，
∴△ABC为钝角三角形．
5．在四边形ABCD中，·＝0，＝，则四边形ABCD是( )
A．直角梯形 B．菱形
C．矩形 D．正方形
答案 C
解析 四边形ABCD中＝，
∴BC∥AD且BC＝AD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
又·＝0，
∴AB⊥BC，
∴四边形ABCD为矩形．
6．已知向量|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－4，则sin〈a·b〉＝________.
答案
解析 ∵cos〈a，b〉＝＝＝－，
∴〈a·b〉∈，
∴sin〈a，b〉＝＝＝.
7．在边长为3的等边三角形ABC中，点D在BC上，且＝2，则·＝________.
答案 3
解析 ∵＝2，∴点D为BC上靠近点B的三等分点，
∴||＝||＝2，
〈，〉＝〈，〉＝60°，
∵·＝||||cos 60°＝3×2×＝3.
8．已知a·b＝－4，且|b|＝4，则a在b上的投影的数量为________．
答案 －1
解析 a·b＝(|a|cos〈a，b〉)|b|?|a|cos〈a，b〉＝＝＝－1.
9．在△ABC中，已知||＝5，||＝4，||＝3，求：
(1)·；(2)在上的投影的数量；
(3)在上的投影的数量．
解 ∵||＝5，||＝4，||＝3，
∴△ABC为直角三角形，且∠C＝90°.
∴cos A＝＝，cos B＝＝.
(1)·＝||·||cos(π－B)
＝5×4×(－cos B)
＝20×＝－16.
(2)在上的投影的数量为||·cos〈，〉＝3×cos A＝3×＝.
(3)在上的投影的数量为||·cos〈，〉＝5×cos(π－B)＝－5cos B＝－5×＝－4.
10.如图所示正方形ABCD中，边长为1，点E是AB边上的动点，点F在BC上，且＝2.求·，·.
解 如图，过F作FF′⊥AD，F′为垂足．
∵＝2，∴F为BC的三等分点，∴F′为AD的三等分点，又||＝1，∴AF′＝，
∴在上的投影的数量为，
根据向量数量积的几何意义知·＝×1＝.
同理，在上的投影为，
又||＝1，∴在上的投影的数量为－1，
∴·＝－1×1＝－1.
11．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60° ，则·等于( )
A．－a2 B．－a2 C.a2 D.a2
答案 D
解析 如图所示，
∵在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，∴∠BDC为30°，〈，〉＝30°.
又菱形的边长为a，∴BD＝a.
∵·＝||·||cos〈，〉＝a×a×cos 30°＝a2.
12．已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论中正确的有( )
①e1在e2上的投影为cos θ；
②e1·e2＝1；
③e＝e；
④(e1＋e2)⊥(e1－e2)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 e1在e2上的投影是一个向量，故①不正确．e1·e2＝|e1||e2|·cos〈e1，e2〉＝cos θ，故②不正确．e＝|e1|2＝1，e＝|e2|2＝1，故③正确．
如图所示，设＝e1，＝e2，
作平行四边形ABCD，则ABCD为菱形．
则＝e1＋e2，＝e1－e2.
∵⊥，∴(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故④正确．
13．已知|a|＝2，|b|＝12，a·b＝－12，则b在a上的投影为( )
A．－3 B．3 C．－3a D．3a
答案 C
解析 cos〈a，b〉＝＝＝－，又〈a，b〉∈[0，π]，
∴〈a，b〉＝，
如图，＝a，＝b，过B作BB′⊥OA，
垂足为B′，则b在a上的投影为′，
∵|b|＝12，
∴|′|＝12×cos ＝6，又|a|＝2，
∴′＝－3a，故选C.
14．定义：a×b＝|a||b|·sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则a×b＝________.
答案 8
解析 由|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，得cos θ＝－，
∴sin θ＝，∴a×b＝|a||b|·sin θ＝2×5×＝8.
15．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围为________．
答案
解析 ∵Δ＝|a|2－4|a||b|cos θ(θ为向量a与b的夹角)，
若方程有实根，则有Δ≥0，即|a|2－4|a||b|cos θ≥0，
又|a|＝2|b|，
∴Δ＝4|b|2－8|b|2cos θ≥0，∴cos θ≤.
又∵0≤θ≤π，∴≤θ≤π.
16．如图，四边形ABCD为直角梯形，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝2DC＝4.E为腰BC上的动点．求·的取值范围．
解 如图，过E作EE′⊥AB，垂足为E′，过C作CC′⊥AB，垂足为C′.
则在上的投影为′，
∴在上的投影的数量为|′|，
由向量数量积的几何意义知·＝|′|·||＝4|′|.
∵E在腰BC上运动，∴点E′在线段C′B上运动，
∴|′|≤|′|≤||，
∴2≤|′|≤4，
∴8≤4|′|≤16，
∴·的取值范围是[8,16]．
课件35张PPT。8.1.1 向量数量积的概念第八章 8.1 向量的数量积学习目标XUE XI MU BIAO1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所
做的功.
2.掌握两个向量的夹角的定义.
3.掌握向量数量积的定义和性质.
4.理解向量的投影与向量数量积的几何意义.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 两个向量的夹角1.给定两个 向量a，b，在平面内任选一点O，作 ＝a， ＝b，则称
[0，π]内的 为向量a与b的夹角，记作〈a，b〉.
(1)〈a，b〉的取值范围是 .
(2)〈a，b〉＝ .∠AOB非零[0，π]〈b，a〉2.当〈a，b〉＝ 时，称向量a与向量b垂直，记作 ，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量 .a⊥b垂直知识点二 数量积的定义一般地，当a与b都是非零向量时，称 为向量a与b的数量积(也称内积)，记作a·b，即a·b＝ .
(1)两个非零向量的数量积a·b是一个实数.可以是正数，也可以是0，还可以是负数.
(2)当a与b至少有一个为零向量时，a·b＝ .|a||b|cos〈a，b〉|a||b|cos〈a，b〉0思考 若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0.答案 在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.知识点三 数量积的性质1.|a·b|≤ .
2.a·a＝ ，即|a|＝ ，a2＝ .
3.a⊥b?a·b＝0.
4.cos〈a，b〉＝ .|a||b||a|2|a|2知识点四 向量的投影与向量数量积的几何意义1.设非零向量 ＝a，过A，B分别作直线l的垂线，垂足分别为A′，B′，则称向量 为向量a在直线l上的 或 .投影向量投影2.给定平面上的一个非零向量b，设b所在的直线为l，则a在直线l上的投影称为 上的投影，如图，向量a在向量b上的投影为 .一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量 ，它们的方向既有可能 ，也有可能 .a在向量b共线相同相反3.一般地，如果a，b都是非零向量，则称 为向量a在向量b上的__
，投影的数量与投影的 有关，投影的数量既可能是 ，也可能是 .a·b等于a在b上的投影的数量与b的 的乘积，即a·b＝_________
.特别地a·e＝|a|cos〈a，e〉，其中e为单位向量.|a|cos〈a，b〉投影的数量长度非负数负数模(|a|cos〈a，b〉)|b|1.a与b的数量积a·b是一个向量.( )
2.已知a·b＝0，那么a与b有可能不垂直.( )
3.a在b上的投影一定是正数.( )
4.若a·b<0，则a与b的夹角为钝角.( )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU××××2题型探究PART TWO一、利用定义求两向量的数量积例1 已知正三角形ABC的边长为1，求：求向量的数量积时，若已知向量的模及其夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cos θ.
运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，两向量的夹角可以直接确定的条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.二、向量的夹角等边三角形因为0°<∠BAC<180°，所以∠BAC＝60°.
又AB＝AC，故△ABC是等边三角形.(2)|a|＝3，|b|＝4，a·b＝－12，则〈a，b〉＝____.π∵〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝π.求非零向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝ 求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.60°∴∠B＝180°－120°＝60°.三、向量的投影与向量数量积的几何意义例3 (1)已知|a|＝8，|b|＝2，〈a，b〉＝120°，则向量a在b上的投影为
A.2 B.－2 C.2b D.－2b√∵∠AOB＝120°，过A作AA′⊥OB，垂足为A′，∴∠AOA′＝60°，OA＝8，－4(1)a在b上的投影是一个向量，它的方向与b同向或反向，即a在b上的投影与向量b共线.
(2)利用向量数量积的几何意义可以求两向量的数量积，即a与b的数量积为a在b上的投影的数量与|b|的乘积，即a·b＝(|a|cos〈a，b〉)·|b|.跟踪训练3 已知a·b＝－9，a在b上的投影的数量为－3，b在a上的投影的数量为 ，求a与b的夹角.3随堂演练PART THREE1.已知|a|＝3，|b|＝4，且a与b的夹角θ＝150°，则a·b等于√123452.已知|a|＝9，|b|＝ ，a·b＝－54，则a与b的夹角θ为
A.45° B.135° C.120° D.150°√12345又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝135°.3.已知|a|＝6，|b|＝3，〈a，b〉＝150°，则向量b在a上的投影的数量为√12345解析 向量b在a上的投影的数量为4.已知|b|＝3，a在b上的投影的数量为 ，则a·b等于√1234512345－251.知识清单：
(1)向量的夹角，向量数量积的定义.
(2)向量数量积的性质.
(3)向量的投影及向量数量积的几何意义.
2.方法归纳：数形结合.
3.常见误区：混淆投影与投影的数量.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
