8．1.2 向量数量积的运算律
学习目标 1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.2.会利用向量的数量积证明垂直、求向量的夹角、模(长度)等．
知识点 向量数量积的运算律
1．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
2．向量数量积的运算性质
多项式乘法
向量数量积
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2a·b＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
思考 若a·b＝b·c(b≠0)，是否可以得出结论a＝c?
答案 不可以．
理由如下：
如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，
b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.
所以a·b＝b·c，但是a≠c.
1．λ·(a·b)＝λa·λb.( × )
2.·＋·＝·(＋)＝·.( √ )
3．若(λa)·b＝0，则a⊥b.( × )
4．|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b)．( √ )
一、求两向量的数量积
例1 (1)已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b)．
解 (2a＋3b)·(3a－2b)
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2
＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72
＝－268.
(2)在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，E是CD的中点，求·的值．
解 ·＝·(－)＝2－2－·＝1－×4－×2×1×＝－.
反思感悟 求两向量的数量积的两种常见题型
(1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解．
(2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运算即可求解．
跟踪训练1 在△ABC中，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，点E，F满足＝2，＝2，点D为BC的中点．求·.
解 如图所示，E为AB的三等分点，F为AC的中点，
设＝a，＝b，
∴|a|＝3，|b|＝4且〈a，b〉＝60°，
∴a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝3×4×＝6，
∴·＝(－)·
＝·
＝－a2－a·b＋b2
＝－×9－×6＋×16＝.
二、求向量的模和夹角
例2 (1)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，则|3a＋b|＝________.
答案 20
解析 ∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，
∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.
(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝＝
＝＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，
则cos θ＝＝＝－.
又∵θ∈[0，π]，
∴θ＝，故a与b的夹角为.
反思感悟 (1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．
(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，再求角．注意向量夹角的范围是[0，π]．
跟踪训练2 已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a－b的夹角．
解 方法一 如图所示，在平面内取一点O，作＝a，＝b，使||＝||，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，
∴＝a－b.
由于|a|＝|b|＝|a＋b|，
即||＝||＝||，
∴∠AOC＝60°，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝30°，
即a与a－b的夹角为30°.
方法二 |a|＝|b|＝|a＋b|，
∴a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，∴a2＝b2＝－2a·b，
∴a·(a－b)＝a2－a·b＝a2－＝a2.
|a－b|＝＝＝＝|a|，
∴cos〈a，a－b〉＝＝＝.
又0°≤〈a，a－b〉≤180°，
∴〈a，a－b〉＝30°，
∴a与a－b的夹角为30°.
三、与垂直有关的问题
例3 已知非零向量m，n满足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，则实数t的值为( )
A．4 B．－4 C. D．－
答案 B
解析 由题意知，cos〈m，n〉＝＝＝，
所以m·n＝|n|2＝n2，
因为n·(tm＋n)＝0，
所以tm·n＋n2＝0，
即tn2＋n2＝0，
所以t＝－4.
反思感悟 解决有关垂直问题时利用a⊥b?a·b＝0.
跟踪训练3 已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小．
解 设a与b的夹角为θ，
由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2
＝3＋10cos θ－8＝0，
所以cos θ＝，
又0°≤θ≤180°，
所以θ＝60°，
即a与b的夹角为60°.
平面几何中利用向量数量积证明垂直问题
典例 已知O为△ABC的外心，E为三角形内一点，满足＝＋＋，求证：AE⊥BC.
证明 ＝－＝＋，＝－，
∵·＝(＋)·(－)＝2－2，
又O为△ABC的外心．
∵||＝||＝||，∴2－2＝0，
∴·＝0，
∴⊥，∴AE⊥BC.
[素养提升] 用向量表示题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题体现了逻辑推理的核心素养．
1．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A．－2 B．－1 C．1 D．2
答案 B
解析 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
2．设向量a，b满足|a＋b|＝，|a－b|＝，则a·b等于( )
A．1 B．2 C．3 D．5
答案 A
解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
3．在?ABCD中，||＝8，||＝6，N为DC的中点，M为BC上一点，且＝2，则·等于( )
A．48 B．36 C．24 D．12
答案 C
解析 ·＝(＋)·(＋)
＝·
＝2－2
＝×82－×62＝24，故选C.
4．已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为________．
答案
解析 |a－b|＝＝＝，
设向量a与a－b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝，
又θ∈[0，π]，
所以θ＝.
5．已知向量a·b满足|a|＝3，|b|＝4，且|a＋b|＝|a－b|，则|2a－3b|＝________.
答案 6
解析 ∵|a＋b|＝|a－b|，
∴(a＋b)2＝(a－b)2，
得a·b＝0，
∴|2a－3b|＝
＝
＝＝6.
1．知识清单：
(1)向量数量积的运算律．
(2)利用向量数量积证明垂直、求夹角、模．
2．方法归纳：数形结合，转化与化归．
3．常见误区：忽视向量数量积不满足结合律．
1．已知a，b方向相同，且|a|＝2，|b|＝4，则|2a＋3b|等于( )
A．16 B．256 C．8 D．64
答案 A
解析 方法一 ∵|2a＋3b|2＝4a2＋9b2＋12a·b＝16＋144＋96＝256，∴|2a＋3b|＝16.
方法二 由题意知2a＝b，
∴|2a＋3b|＝|4b|＝4|b|＝16.
2．已知|a|＝4，|b|＝2，a与b的夹角为120°，则(a＋b)·(2a－b)等于( )
A．32 B．24 C．26 D．8
答案 B
解析 依题意a·b＝4×2×＝－4，
∴(a＋b)·(2a－b)＝2a2＋a·b－b2＝32－4－4＝24.
3．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60° C．120° D．150°
答案 C
解析 ∵(2a＋b)⊥b，∴(2a＋b)·b＝0，
∴2a·b＋b2＝0，∵a·b＝－b2，
∴cos〈a，b〉＝＝＝－，
又0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.
4．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于( )
A. B．－ C．± D．1
答案 A
解析 ∵(3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0，∴λ＝.
5.如图，在△ABC中，若AB＝AC＝3，∠BAC＝60°，＝2，则·等于( )
A. B．－
C. D．－
答案 D
解析 令＝a，＝b，则|a|＝|b|＝3，cos〈a，b〉＝，
∴a·b＝3×3×＝，
∴＝b－a，＝＋＝＋＝＋(－)＝a＋b.
∴·＝·(b－a)＝－a2＋a·b＋b2＝－×9＋×＋×9＝－.
6．已知向量a，b满足(2a＋b)·(a－b)＝6，且|a|＝2，|b|＝1，则a与b的夹角为________．
答案
解析 设a与b的夹角为θ，依题意有(2a＋b)·(a－b)＝2a2－a·b－b2＝7－2cos θ＝6，
所以cos θ＝，
因为0≤θ≤π，故θ＝.
7．已知向量⊥，||＝3，则·＝________.
答案 9
解析 ∵⊥，∴·＝·(－)
＝·－2＝·－9＝0，即·＝9.
8．在△ABC中，AB＝4，AC＝3，且∠BAC＝30°，点D为BC的中点，则AD的长为________．
答案
解析 由题意得＝(＋)，
∴2＝(2＋2·＋2)
＝＝，∴||＝.
9．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.
(1)求|a＋b|；
(2)求向量a在向量a＋b上的投影的数量．
解 (1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－3b2－4a·b＝4×16－3×9－4a·b＝61，解得a·b＝－6，
∴|a＋b|2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋9－12＝13，∴|a＋b|＝.
(2)设a与a＋b的夹角为θ，a·(a＋b)＝a2＋a·b＝10，
∴a在a＋b上的投影的数量为|a|cos θ＝＝.
10.如图，等腰梯形ABCD，AB∥CD，且AB＝2AD＝2DC.证明：AC⊥BC.
证明 令＝a，＝b，
则＝a，且|a|＝2|b|，
∴＝＋＝b＋a，＝＋＋＝－a＋b＋a＝－a＋b，
∵·＝·＝b2－a2
＝b2－×4b2＝0，∴⊥，
∴AC⊥BC.
11．已知非零向量a，b，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，则〈a，b〉等于( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 由向量垂直，得
即
化简得
∴cos〈a，b〉＝＝＝.
又∵〈a，b〉∈[0，π]，∴a与b的夹角为.
12．已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则β的余弦值为( )
A．－ B．－ C. D.
答案 C
解析 因为a2＝(3e1－2e2)2＝9－2×3×2×cos α＋4＝9，
所以|a|＝3，
b2＝(3e1－e2)2＝9－2×3×1×cos α＋1＝8，
所以|b|＝2，
a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9e－9e1·e2＋2e＝9－9×1×1×＋2＝8，
所以cos β＝＝＝.
13．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·(a－b)＝0，则|b|的取值范围是________．
答案 [0,1]
解析 ∵b·(a－b)＝a·b－|b|2＝|a||b|cos θ－|b|2＝0，
∴|b|＝0或|b|＝|a|cos θ＝cos θ (θ为a与b的夹角)，θ∈[0，π]，
∴0≤|b|≤1.
14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若·＝1，则AB的长为________．
答案
解析 因为E为CD的中点，所以＝＋＝－＝－，＝＋，因为·＝1，所以·＝(＋)·＝2－2＋·＝1，即1－2＋||cos 60°＝1，所以－2＋||＝0，解得||＝.
15．已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )
A．－ B. C. D.
答案 B
解析 如图所示，
∵＝＋＝＋，
＝－，
∴·
＝·(－)
＝－||2－·＋||2
＝－×1－×1×1×＋＝.
故选B.
16．已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且|a|＝3，|b|＝5，|c|＝7.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)是否存在实数μ使μa＋b与a－2b垂直？
解 (1)∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴|a＋b|＝|c|.
∴(a＋b)2＝c2，即a2＋2a·b＋b2＝c2，
∴a·b＝＝＝＝.
又∵a·b＝|a||b|cos θ，
∴＝3×5×cos θ，
∴cos θ＝，θ＝60°.
(2)假设存在，∵(μa＋b)⊥(a－2b)，
∴(μa＋b)·(a－2b)＝0，
∴μa2－2b2－2μa·b＋a·b＝0，
∴9μ－2×25－2μ×＋＝0，∴μ＝－.
∴存在μ＝－，
使得μa＋b与a－2b垂直．
课件37张PPT。8.1.2 向量数量积的运算律第八章 8.1 向量的数量积学习目标XUE XI MU BIAO1.掌握平面向量数量积的运算律及常用公式.
2.会利用向量的数量积证明垂直、求向量的夹角、模(长度)等.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点 向量数量积的运算律1.向量数量积的运算律
(1)a·b＝ (交换律).
(2)(λa)·b＝______＝ (数乘结合律).
(3)(a＋b)·c＝ (分配律).b·aa·(λb)a·c＋b·cλ(a·b)2.向量数量积的运算性质(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2(a－b)2＝a2－2a·b＋b2(a＋b)·(a－b)＝a2－b2思考 若a·b＝b·c(b≠0)，是否可以得出结论a＝c?答案 不可以.
理由如下：
如图，a·b＝|a||b|cos β＝|b||OA|，
b·c＝|b||c|cos α＝|b||OA|.
所以a·b＝b·c，但是a≠c.1.λ·(a·b)＝λa·λb.( )思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU×√3.若(λa)·b＝0，则a⊥b.( )
4.|a|2－|b|2＝(a＋b)·(a－b).( )×√2题型探究PART TWO一、求两向量的数量积例1 (1)已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b).解 (2a＋3b)·(3a－2b)
＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2
＝6|a|2＋5a·b－6|b|2
＝6×42＋5×4×7·cos 120°－6×72
＝－268.求两向量的数量积的两种常见题型
(1)类似向量线性运算之后再求数量积的题型，只需按照向量运算律展开即可求解.
(2)在平面图形中求两向量的数量积，一般先找好基底，用基底表示所求向量，再进行基底之间的运算即可求解.解 如图所示，E为AB的三等分点，F为AC的中点，∴|a|＝3，|b|＝4且〈a，b〉＝60°，二、求向量的模和夹角例2 (1)已知|a|＝|b|＝5，且|3a－2b|＝5，则|3a＋b|＝____.20解析 ∵|3a－2b|2＝9|a|2－12a·b＋4|b|2
＝9×25－12a·b＋4×25＝325－12a·b，
∵|3a－2b|＝5，
∴325－12a·b＝25，
∴a·b＝25.
∴|3a＋b|2＝(3a＋b)2
＝9a2＋6a·b＋b2＝9×25＋6×25＋25＝400，
故|3a＋b|＝20.(2)设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角.解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2设a与b的夹角为θ，又∵θ∈[0，π]，(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.
(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝ 求出夹角的余弦值，再求角.注意向量夹角的范围是[0，π].跟踪训练2 已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|，求a与a－b的夹角.解 方法一 如图所示，在平面内取一点O，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则四边形OACB为菱形，OC平分∠AOB，由于|a|＝|b|＝|a＋b|，∴∠AOC＝60°，∠AOB＝120°，
∴∠OAB＝30°，
即a与a－b的夹角为30°.方法二 |a|＝|b|＝|a＋b|，
∴a2＝b2＝a2＋2a·b＋b2，∴a2＝b2＝－2a·b，又0°≤〈a，a－b〉≤180°，
∴〈a，a－b〉＝30°，
∴a与a－b的夹角为30°.三、与垂直有关的问题√因为n·(tm＋n)＝0，
所以tm·n＋n2＝0，所以t＝－4.解决有关垂直问题时利用a⊥b?a·b＝0.跟踪训练3 已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小.解 设a与b的夹角为θ，
由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2
＝3＋10cos θ－8＝0，又0°≤θ≤180°，
所以θ＝60°，
即a与b的夹角为60°.核心素养之逻辑推理HE XIN SU YANG ZHI LUO JI TUI LI平面几何中利用向量数量积证明垂直问题又O为△ABC的外心.用向量表示题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题体现了逻辑推理的核心素养.3随堂演练PART THREE1.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2√12345解析 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，
所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2
＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.12345A.1 B.2 C.3 D.5√解析 ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10， ①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6， ②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.A.48 B.36 C.24 D.12√123454.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为______.设向量a与a－b的夹角为θ，则123455.已知向量a·b满足|a|＝3，|b|＝4，且|a＋b|＝|a－b|，则|2a－3b|＝______.解析 ∵|a＋b|＝|a－b|，
∴(a＋b)2＝(a－b)2，
得a·b＝0，123451.知识清单：
(1)向量数量积的运算律.
(2)利用向量数量积证明垂直、求夹角、模.
2.方法归纳：数形结合，转化与化归.
3.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律.课堂小结KE TANG XIAO JIE本课结束
