8．1.3 向量数量积的坐标运算
学习目标 1.理解向量数量积坐标表示的推导过程.2.掌握向量数量积的坐标表示及运算.
3.能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
知识点一 向量数量积的坐标表示
非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．
(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝x1x2＋y1y2.
(2)a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.
知识点二 向量模的坐标表示
设a＝(x，y)，则|a|＝.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则||＝.
知识点三 两个向量的夹角公式
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则cos〈a，b〉＝＝.
思考 若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？
答案 不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.
1．已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝________.
答案 －7
2．已知点A(－2,3)，B(1,5)，则||＝________.
答案
3．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,2)，若a⊥b，则x＝________.
答案 4
4．已知a＝(，1)，b＝(－，1)，则〈a，b〉＝________.
答案
一、数量积的坐标运算
例1 (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )
A．10 B．－10 C．3 D．－3
答案 B
解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.
(2)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，a·c＝2，则向量c的坐标为________．
答案 (3,4)
解析 令b＝(x1，y1)，∴a＋2b＝(2x1＋2,2y1－1)＝(6,3)，
∴2x1＋2＝6，且2y1－1＝3，
解得x1＝2，y1＝2，
∴b＝(2,2)，令c＝(x2，y2)，
则解得x2＝3，y2＝4，
∴c＝(3,4)．
反思感悟 进行数量积的坐标运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
跟踪训练1 (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c等于( )
A．(－15,12) B．0 C．－3 D．－11
(2)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，＝2，则·＝________.
答案 (1)C (2)
解析 (1)a＋2b＝(－5,6)，
∴(a＋2b)·c＝－15＋12＝－3，故选C.
(2)如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系．
∴B(2,0)，E(1,2)，C(2,2)，F，
∵＝(－1,2)，＝.
∴·＝2－＝.
二、向量的模
例2 (1)已知点A(0,1)，B(1，－2)，向量＝(4，－1)，则||＝________.
答案
解析 ＝－＝(4，－1)－(1，－3)＝(3,2)，
∴||＝＝.
(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3,0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是( )
A．4，0 B．4,2 C．25,1 D．5,1
答案 D
解析 |2a－b|＝＝
＝＝.
∵cos θ∈[－1,1]，
∴13－12cos θ∈[1,25]，
∴|2a－b|∈[1,5]，故选D.
反思感悟 求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝＝，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
跟踪训练2 已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|等于( )
A. B. C．5 D．25
答案 C
解析 ∵a＝(2,1)，∴a2＝5，
又|a＋b|＝5，∴(a＋b)2＝50，
即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，∴b2＝25，∴|b|＝5.
三、向量的夹角与垂直
例3 已知a＝(4，－3)，b＝(－1,2)．
(1)求a＋b与a－b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
解 (1)a＋b＝(3，－1)，a－b＝(5，－5)，
∴设a＋b与a－b的夹角为θ，
∴cos θ＝＝＝.
∴a＋b与a－b夹角的余弦值为.
(2)∵(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝0，
∴2a2＋(1－2λ)a·b－λb2＝0，
∵a2＝25，b2＝5，a·b＝－4－6＝－10.
∴50－10(1－2λ)－5λ＝0，解得λ＝－.
反思感悟 解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cos θ＝＝直接求出cos θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
跟踪训练3 在△ABC中，＝(2,3)，＝(1，k)，若△ABC是直角三角形，求k的值．
解 ∵＝(2,3)，＝(1，k)，
∴＝－＝(－1，k－3)．
若∠A＝90°，则·＝2×1＋3×k＝0，∴k＝－；
若∠B＝90°，则·＝2×(－1)＋3(k－3)＝0，∴k＝；
若∠C＝90°，则·＝1×(－1)＋k(k－3)＝0，
∴k＝.故所求k的值为－或或.
向量的坐标在平面几何中的应用
典例 如图，已知△ABC的面积为，AB＝2，·＝1，求边AC的长．
解 以点A为坐标原点，为x轴正方向建立平面直角坐标系，
设点C的坐标为(x，y)(y>0)，因为AB＝2，
∴点B的坐标是(2,0)，
∴＝(2,0)，＝(x－2，y)．
∵·＝1，∴2(x－2)＝1，
解得x＝.
又S△ABC＝，∴·|AB|·y＝，∴y＝，
∴C点坐标为，则＝，
∴||＝＝，故边AC的长为.
[素养提升] 本题通过建立坐标系利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，突出考查数学运算及直观想象的核心素养．
1．若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于( )
A．3 B．－3 C. D．－
答案 A
解析 a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.
2．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于( )
A．1 B. C．2 D．4
答案 C
解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，
∴n2＝3，∴|a|＝＝2.
3．若平面向量a＝(1，－2)与b的夹角是180°，且|b|＝3，则b等于( )
A．(－3,6) B．(3，－6) C．(6，－3) D．(－6,3)
答案 A
解析 由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，
则|b|＝＝|λ|＝3，
又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6)．
4．若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影的数量为( )
A. B. C. D.
答案 A
解析 a在b上的投影的数量为|a|cos〈a，b〉＝|a|·＝＝＝＝.
5．Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，＝2，＝，则·＝________.
答案
解析 以A点为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示．E为BC的三等分点，F为AC的中点．
∴A(0,0)，B(3,0)，E，F(0,2)，
∴＝，＝(－3,2)，
∴·＝－3＋＝.
1．知识清单：
(1)向量数量积的坐标表示．
(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.
(3)cos θ＝(θ为非零向量a，b的夹角)．
(4)向量数量积在平面几何中的应用．
2．方法归纳：化归与转化，数形结合．
3．常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错．
1．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )
A．|a|＝|b| B．a·b＝0
C．a∥b D．(a－b)⊥b
答案 D
解析 a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，
所以(a－b)⊥b.
2．已知向量＝，＝，则∠ABC等于( )
A．30° B．45° C．60° D．120°
答案 A
解析 ∵||＝1，||＝1，∴cos∠ABC＝＝，∴∠ABC＝30°.
3．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|等于( )
A．5 B．3 C．2 D．2
答案 B
解析 因为a∥b，所以4＋2x＝0，所以x＝－2，
a－b＝(1，－2)－(－2,4)＝(3，－6)，
所以|a－b|＝3.
4．若a＝(2，－3)，则与向量a垂直的单位向量的坐标为( )
A．(3,2)
B.
C.或
D．以上都不对
答案 C
解析 设与a垂直的单位向量坐标为(x，y)，
∴＝1，即x2＋y2＝1.①
又∵(x，y)表示的向量垂直于a，∴2x－3y＝0.②
由①②得或
5．已知点A(－2，－3)，B(19,4)，C(－1，－6)，则△ABC是( )
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
答案 C
解析 ＝(19,4)－(－2，－3)＝(21,7)，
＝(－1，－6)－(－2，－3)＝(1，－3)，
·＝21－21＝0，
∴⊥.
则∠A＝90°，
又||≠||，
∴△ABC为直角三角形．
6．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，若a⊥(2a－b)，则k＝________.
答案 12
解析 ∵a⊥(2a－b)，
∴a·(2a－b)＝0，
∴2a2－a·b＝0，
∴2×5－(－2＋k)＝0，
∴k＝12.
7．已知A(－3,0)，B(0，)，O为坐标原点，C在第二象限，且∠AOC＝30°，＝λ＋，则实数λ的值为________．
答案 1
解析 由题意知＝(－3,0)，＝(0，)，
则＝(－3λ，)．
·＝(－3,0)·(－3λ，)＝9λ，
∴cos∠AOC＝＝＝，
∴λ2＝1，又C在第二象限，∴λ＝1.
8.如图所示，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝AD＝2CD＝4，E为BC的中点，则·＝________.
答案 －4
解析 如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x，y轴建立直角坐标系．
∴A(0,0)，B(4,0)，D(0,4)，C(2,4)，∴E(3,2)，
∵＝(3,2)，＝(－4,4)，
∴·＝3×(－4)＋2×4＝－4.
9．如图所示，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
证明 方法一 如图所示，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2x(x>0)，则A(0,0)，D(0,2x)，E(x,0)，F(2x，x)，
则＝(2x，x)，＝(x，－2x)．
因为·＝(2x，x)·(x，－2x)＝2x2－2x2＝0，
所以⊥，即AF⊥DE.
方法二 设＝a，＝b，
则|a|＝|b|，a·b＝0.
又＝＋＝－a＋b，
＝＋＝b＋a，
所以·＝·
＝－a2－a·b＋b2
＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
10．已知平面向量a＝(3,4)，b＝(9，x)，c＝(4，y)，且a∥b，a⊥c.
(1)求b与c；
(2)若m＝2a－b，n＝a＋c，求向量m与n的夹角的大小．
解 (1)∵a∥b，a＝(3,4)，b＝(9，x)，
∴＝，∴x＝12，即b＝(9,12)，
∵a⊥c，
∴a·c＝3×4＋4y＝0，
∴y＝－3，
即c＝(4，－3)．
(2)∵m＝2a－b＝(－3，－4)，
n＝a＋c＝(7,1)，
∴|m|＝＝＝5，
|n|＝＝5，
m·n＝－3×7－4×1＝－25，
∴cos〈m，n〉＝＝－，
又〈m，n〉∈[0，π]，∴〈m，n〉＝，
即m与n的夹角大小为.
11．已知点A(1，－2)，若向量与a＝(2,3)同向，且||＝2，则点B的坐标为( )
A．(5,4) B．(－3，－8)
C．(－5，－4) D．(3,8)
答案 A
解析 设＝(2λ，3λ)(λ>0)，
则||＝＝2，
∴13λ2＝13×22，
∴λ＝2，∴＝(4,6)．
∴＝＋＝(1，－2)＋(4,6)＝(5,4)．
∴点B的坐标为(5,4)．
12．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的( )
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
答案 D
解析 ∵·＝·，∴(－)·＝0，
∴·＝0，∴AC⊥OB.
同理OA⊥BC，OC⊥AB，
∴O为三条高所在直线的交点．
13．在四边形ABCD中，若＝(1,2)，＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2 C．5 D．10
答案 C
解析 ∵·＝0，∴AC⊥BD.
∴四边形ABCD的面积
S＝||||＝××2＝5.
14．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，若a与b的夹角α为钝角，则实数λ的取值范围为________．
答案 (－∞，－1)∪(－1,1)
解析 ∵a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，
∴|a|＝，|b|＝，a·b＝λ－1.
又∵a，b的夹角α为钝角，
∴即
∴λ<1且λ≠－1.
∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．
15．已知△ABC为等边三角形，边长为2，点D满足＝2，点E为线段BC上的动点．则·的取值范围是________．
答案
解析 如图所示，
取BC的中点O，连接AO，以O为原点，BC，OA所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，则A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，
D为BC的三等分点，∴D，
令E(x,0)，x∈[－1,1]，
∴＝，＝(x，－)，
∵·＝x＋3，
∵x∈[－1,1]，
∴·∈.
16．平面内有向量＝(1,7)，＝(5,1)，＝(2,1)，点Q为直线OP上的一个动点．
(1)当·取最小值时，求的坐标；
(2)当点Q满足(1)的条件和结论时，求cos∠AQB的值．
解 (1)设＝(x，y)，
∵Q在直线OP上，
∴向量与共线．
又∵＝(2,1)，
∴x－2y＝0，∴x＝2y，∴＝(2y，y)．
又∵＝－＝(1－2y,7－y)，
＝－＝(5－2y,1－y)，
∴·＝(1－2y)(5－2y)＋(7－y)(1－y)
＝5y2－20y＋12＝5(y－2)2－8.
故当y＝2时，·有最小值－8，
此时＝(4,2)．
(2)由(1)知＝(－3,5)，＝(1，－1)，
∴·＝－8，||＝，||＝，
∴cos∠AQB＝＝＝－.
课件34张PPT。8.1.3 向量数量积的坐标运算第八章 8.1 向量的数量积学习目标XUE XI MU BIAO1.理解向量数量积坐标表示的推导过程.
2.掌握向量数量积的坐标表示及运算.
3.能根据两向量的坐标解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题.NEI RONG SUO YIN内容索引知识梳理题型探究随堂演练1知识梳理PART ONE知识点一 向量数量积的坐标表示非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2).
(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝ .
(2)a⊥b?a·b＝0? ＝0.x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2知识点二 向量模的坐标表示设a＝(x，y)，则|a|＝ .设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，知识点三 两个向量的夹角公式思考 若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案 不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.1.已知a＝(－3,4)，b＝(5,2)，则a·b＝_____.预习小测 自我检验YU XI XIAO CE ZI WO JIAN YAN－73.已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,2)，若a⊥b，则x＝______.42题型探究PART TWO一、数量积的坐标运算例1 (1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于
A.10 B.－10 C.3 D.－3√解析 a＋2b＝(4，－3)，a－3b＝(－1,2)，
所以(a＋2b)·(a－3b)＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10.(2)已知a＝(2，－1)，a＋2b＝(6,3)，若b·c＝14，a·c＝2，则向量c的坐标为_______.解析 令b＝(x1，y1)，∴a＋2b＝(2x1＋2,2y1－1)＝(6,3)，
∴2x1＋2＝6，且2y1－1＝3，
解得x1＝2，y1＝2，
∴b＝(2,2)，令c＝(x2，y2)，(3,4)∴c＝(3,4).进行数量积的坐标运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.跟踪训练1 (1)设向量a＝(1，－2)，向量b＝(－3,4)，向量c＝(3,2)，则向量(a＋2b)·c等于
A.(－15,12) B.0 C.－3 D.－11√解析 a＋2b＝(－5,6)，
∴(a＋2b)·c＝－15＋12＝－3，
故选C.解析 如图所示，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系.二、向量的模(2)已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3,0)，则|2a－b|的最大值和最小值分别是√∵cos θ∈[－1,1]，
∴13－12cos θ∈[1,25]，
∴|2a－b|∈[1,5]，故选D.求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方.
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝ ＝ ，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.√解析 ∵a＝(2,1)，∴a2＝5，即a2＋2a·b＋b2＝50，
∴5＋2×10＋b2＝50，
∴b2＝25，∴|b|＝5.三、向量的夹角与垂直例3 已知a＝(4，－3)，b＝(－1,2).
(1)求a＋b与a－b夹角的余弦值；解 a＋b＝(3，－1)，a－b＝(5，－5)，
∴设a＋b与a－b的夹角为θ，解 ∵(a－λb)⊥(2a＋b)，
∴(a－λb)·(2a＋b)＝0，
∴2a2＋(1－2λ)a·b－λb2＝0，
∵a2＝25，b2＝5，a·b＝－4－6＝－10.(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值.解决向量夹角问题的方法及注意事项(2)注意事项：利用三角函数值cos θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cos θ＝ 判断θ的值时，要注意cos θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cos θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.核心素养之数学运算与直观想象HE XIN SU YANG ZHI SHU XUE YUN SUAN YU ZHI GUAN XIANG XIANG向量的坐标在平面几何中的应用设点C的坐标为(x，y)(y>0)，因为AB＝2，
∴点B的坐标是(2,0)，本题通过建立坐标系利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，突出考查数学运算及直观想象的核心素养.3随堂演练PART THREE1.若向量a＝(x,2)，b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于12345√解析 a·b＝－x＋6＝3，故x＝3.2.已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于√12345解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2
＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，12345A.(－3,6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6,3)√解析 由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)，又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).4.若a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影的数量为√12345解析 a在b上的投影的数量为解析 以A点为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示.
E为BC的三等分点，F为AC的中点.123451.知识清单：
(1)向量数量积的坐标表示.
(2)a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.课堂小结KE TANG XIAO JIE(4)向量数量积在平面几何中的应用.
2.方法归纳：化归与转化，数形结合.
3.常见误区：两向量夹角的余弦公式易记错.本课结束
