极值法、极端法
一、选择题
1、一人乘电梯上楼,在竖直上升过程中加速度a随时间t变化的图线如图所示,以竖直向上为a的正方向,则人对地板的压力
A.t=2s时最大 B.t=2s时最小 C.t=8.5s时最大 D.t=8.5s时最小
2、在同一位置以相同的速率把三个小球分别沿水平、斜向上、斜向下方向抛出,不计空气阻力,则落在同一水平地面时的速度大小( )
A.一样大 B.水平抛的最大 C.斜向上抛的最大 D.斜向下抛的最大
3、将两个质量均为m的小球a、b用细线相连后,再用细线悬挂于O点,如图所示.用力F拉小球b,使两个小球都处于静止状态,且细线Oa与竖直方向的夹角保持θ=30°,则F的最小值为( )
A. B. C.mg D.
4、如图所示,质量为M的小车置于光滑的水平面上,有一质量为m、速度为的小物块从水平方向射入小车光滑轨道上,假定小物块一直不离开轨道,则在轨道上上升的最大高度为 ( )
A. B. C. D.
5、如图所示,一辆四分之一圆弧小车停在粗糙水平地面上,质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下,若小车始终保持静止状态,当小球运动到半径与竖直方向夹角为θ时,关于夹角θ的大小和地面对小车的最大摩擦力,正确的是( )
A. 30?, B. 45?, C. 45?, D. 60?,
6、一条宽为L的河流,水流速度为,船在静水划行速度为,若,要使它到达对岸时向下游行驶的距离最小,则它的航行方向与水流速度方向的夹角为( )
A. B. C. D.
7、一条宽为L的河流,水流速度为,船在静水划行速度为,若,要使它到达对岸时向下游行驶的距离最小,则最小距离为( )
A. B. C. D.
8、一列车以速度向前行驶,司机突然发现在同一轨道上前方距车头S处有另一辆列车正在沿着相同方向以较小的速度做匀速运动,于是他立即使列车以加速度做匀减速运动,要使两列车不相撞,必须满足什么条件是( )
A. B.
C. D.
9、如图所示的电路中,R1=2Ω,R2=4Ω,R3=6Ω,当滑片P由a向b的移动过程中, A、B两端总电阻的最大值为( )
A. 3 Ω B. 4 Ω C. 5 Ω D. 2 Ω
10、给房屋设计屋顶时,把屋顶设计成斜面,设跨度为L,如图所示,把雨水沿着屋顶滑下的运动理想化为小球沿光滑斜面滑下的情形,为了要使雨水能尽快地滑下并从屋檐落下,即雨水从屋顶到屋檐的时间最短,则时间最短为( )
A. B. C. D.
二、解答题
11、如图所示,质量为m的物体放在水平面上,物体与水平面间的动摩擦因数为,物体做匀速直线运动。求牵引力F的最小值和方向角。
12、如图所示,一个质量为m的小物块以初速度=10m/s沿光滑地面滑行,然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上,并由高台上飞出.当高台的高度h为多大时,小物块飞行的水平距离最大?这个距离是多少?(g取10m/s2)
13、如图所示,光滑轨道竖直放置,半圆部分半径为R,在水平轨道上停着一个质量为M=0.99kg的木块,一颗质量为m=0.01kg的子弹,以=400m/s的水平速度射入木块中,然后一起运动到轨道最高点水平抛出,试分析:当圆半径R多大时,平抛的水平位移是最大?且最大值为多少?
14、如图所示,已知定值电阻R1,电源内阻,滑动变阻器的最大阻值为R(R > R1+r),当滑动变阻器连入电路的电阻多大时,在变阻器上消耗的功率最大?
15、如图所示,宽为L的金属导轨置于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向竖直向下.电源电动势为E,内阻为r,不计其它电阻和一切摩擦,求开关K闭合后,金属棒PQ速度多大时,安培力的功率最大?最大值是多少?
16、如图所示,顶角为2θ的光滑圆锥,置于磁感应强度大小为B,方向竖直向下的匀强磁场中,现有一个质量为m,带电量为+q的小球,沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动,求小球作圆周运动的最小轨道半径。
17、如图所示为矩形的水平光滑导电轨道bcd,b边和cd边的电阻均为5R0,d边和bc边长均为L,d边电阻为4R0,bc边电阻为2R0,整个轨道处于与轨道平面垂直的匀强磁场中,磁感强度为B。轨道上放有一根电阻为R0的金属杆mn,现让金属杆mn在平行轨道平面的未知拉力F作用下,从轨道右端以速率匀速向左端滑动,设滑动中金属杆mn始终与b、cd两边垂直,且与轨道接触良好。b和cd边电阻分布均匀,求滑动中拉力F的最小牵引功率。
18、一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰,碰后原子获得一定速度,并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。求电子必须具有的最小初动能是多少?
【答案与解析】
一、选择题
1、【答案】AD
【解析】0~4s,加速度向上,人超重,设地板对人支持力为FN,则,当时,加速度最大,支持力就最大,根据牛顿第三定律,人对地板压力也最大;7~10s,加速度向下,人失重,设地板对人支持力为FN,则,当时,加速度最大,支持力就最小,根据牛顿第三定律,人对地板压力也最小。
2、【答案】A
【解析】三个小球被抛出后,均仅在重力作用下运动,三球从同一位置落至同一水平地面时,设其下落高度为h,并设小球的质量为m,根据动能定理有:mgh=-,解得小球的末速度大小为:v=,与小球的质量无关,即三球的末速度大小相等,故选项A正确。
3、【答案】C
【解析】以两个小球组成的整体为研究对象,分析受力,作出F在三个方向时整体的受力图,如图所示:
根据平衡条件得知F与T的合力与总重力2mg大小相等、方向相反,由力的合成图可知,当F与绳子Oa垂直时,F有最小值,即图中2位置,F的最小值Fmin=2mgsin 30°=mg,故选C.
4、【答案】B
【解析】此题可定量分析计算,按常规做法是用动量守恒和机械能守恒列式求解得到结论(略),但费时较多。用极限思维方法求解如果M→∞,则物块滑上小车时,可认为小车不动,则由机械能守恒得物块上升的最大高度为,这在四个选择项中讨论M→∞,得B正确,故应选B。
5、【答案】C
【解析】设圆弧半径为R,当小球运动到半径与竖直方向夹角为θ时,速度为,
根据机械能守恒定律和牛顿第二定律有:
解得小球对小车的压力为:N=3mgcosθ,
其水平分量为
根据平衡条件,地面对小车的静摩擦力水平向右,
大小为: ,
当sin2θ = 1,即θ = 45?时,地面对小车的静摩擦力最大,
其值为:.
6、【答案】A
【解析】如图所示,以水流速度矢量的箭头端为圆心,以船的划行速度的大小为半径 ,作一圆周,分析可知,船航行的可能方向都由O指向圆上的点 ,在的情况下 ,当船航行的方向恰好与圆相切(图中OP)时,到达对岸向下游行驶的距离最小,此时船的划行速度垂直于船航行方向(OP)。
当,即时船到达对岸时向下游行驶的距离最小。故A正确。
7、【答案】B
【解析】与上题解法相同,如图所示,最小距离是OA,
由几何关系,所以. 故选项B正确。
8、【答案】D
【解析】设经任意时间t后,后车与前车不相撞,则后车与前车的距离
这个关于t的一元二次不等式的二次项系数,且t取任何值不等式都要成立,
由
所以
解得,故选项D正确。
9、【答案】A
【解析】P由a向b滑动到P点,设aP间电阻为,由电阻并联规律
因两个整数,之和为定值,则当它们相等时,它们的乘积最大(定和求积原理),
故当,时,
有最大值,即
故选项A正确。
10、【答案】B
【解析】设斜面AB的倾角为,当雨水(理想化为小球)从斜面滑下时,其加速度为,根据牛顿第二定律,从A到B的距离为,
设从A到B的时间为,则
得
当90°,有最大值为1
所以,当= 45°时,有最小值:
故选项B正确。
二、解答题
11、【答案】
【解析】受力图如图
由牛顿第二定律有:
并且
联立解得
令
则
所以
当时,牵引力F最小,
最小值为
12、【答案】2.5米;5米。
【解析】设小物块从曲面顶部的高台飞出的瞬间的速度为,
由机械能守恒定律 ①
小物块做平抛运动, ②
将①②联立,
当时,最大飞行距离:.
13、【答案】0.8m
【解析】子弹与木块发生碰撞的过程,动量守恒,设共同速度为,
则
所以= 4m/s;
设在轨道最高点平抛时物块的速度为,由于轨道光滑,故机械能守恒
所以
则平抛后
位移
当R= 0.2m时,平抛的最大水平位移是.
14、【答案】
【解析】设变阻器连入电路的为(),
由闭合电路欧姆定律有:,
则,
的最大功率
,
要使有最大值,就是要有最小值,
所以当时,的功率最大,
故的最大功率为.
本题用“等效内阻”的方法,就简单多了,把看作内阻,就是外电阻,最大输出功率的条件是=,最大功率为.
15、【答案】,
【解析】开关闭合后,电路中的电流,
金属棒受到的安培力为,
可见,F与是线性关系,作出图线如图,
安培力的功率
安培力的功率最大就是直角三角形内接矩形面积最大。
(直角三角形内接矩形的性质:设两直角边边长分别为、
当时,,内接矩形面积最大,最大面积为)
根据直角三角形内接矩形的性质,
当金属棒PQ的速度 (即最大速度的一半)
安培力为 (即最大值的一半)
安培力的功率最大值为.
当然也可以利用二次函数极值公式求解本题。
16、【解析】小球在运动时将受重力mg,圆锥面对球的弹力N,及洛仑兹力f的作用.设小
球作匀速圆周运动的轨道半径为R,速率为,
正交分解得
解得
因为有实数解,由,
即
得
∴小球作圆周运动的最小半径为
17、【答案】见解析。
【解析】mn金属杆从右端向左端匀速滑动切割磁感线产生感应电动势,
mn相当于电源,电源电动势不变,但外电阻在变化,
设金属杆运动的距离为时,设左边的电阻为R1,右边的电阻为R2,
外电阻由两部分并联组成,设b和cd边的长度为L
外电阻
可知当时,外电阻最大时,外电阻最大值,总电阻最大值5 R0
总电阻最大时,电功率最小,拉力的功率等于电功率
最小功率为.
根据极值定理求最大外电阻:
与并联,且,当时,外电阻最大,
外电阻最大值。这样就避免了前面的繁琐运算。
18、【答案】
【解析】设电子碰前的速度为,碰后的速度为,静止的原子被碰后的速度为.
由动量守恒定律有 ①
由能量守恒有 ②
由①式解出代入②
可得:
整理可得:
因电子碰后的速度必为实数,所以此方程的判别式
即
根据上式整理可得:
所以电子必须具有的最小的初动能是.
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