人教版数学九年级上册 21.2 解一元二次方程 讲义（含21.1 无答案）

教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T同步(一元二次方程 ) C专题( ) T能力( )
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（大脑放电影~） 知识点1：一元二次方程只含有________个未知数，并且含有未知数的最高次数是__________的整式方程叫一元二次方程。 一元二次方程有四个特点： (1)含有一个未知数； (2)且未知数次数最高次数是2； (3)是整式方程。要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理。如果能整理为 ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程。（4）将方程化为一般形式：ax2+bx+c=0时，应满足（a≠0） 知识点2：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是：，其中是二次项，叫二次项系数；是一次项，叫一次项系数，是常数项。 特别警示：（1）“”是一元二次方程的一般形式的一个重要组成部分；（2）二次项系数、一次项系数及常数项都是方程在一般形式下定义的，所以求一元二次方程的各项系数时，必须先将方程化为一般形式。 知识点3：一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解。知识点4.一元二次方程的解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。 X+a= =-a+ =-a- 2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解．温馨提示：一元二次方程四种解法都很重要，尤其是因式分解法，它使用的频率最高，在具体应用时，要注意选择最恰当的方法解。 知识点5.一元二次方程根的判别式对于一元二次方程的根的判别式是： 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，方程无实数根。 温馨提示：若方程有实数根，则有。 知识点6.一元二次方程根与系数的关系若一元二次方程有两个实数根分别为： 则有 题型1：一元二次方程概念1．在下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．3x+5y＝0 B．5x+2＝0 C．3x2﹣2019＝0 D．2x﹣＝0 2．下列方程是一元二次方程的是（　　） A．x+2y＝1 B．x2＝1 C．x2＝8 D．x（x+3）＝x2﹣13．方程（a﹣2）x2+x+1＝0是关于x的一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≠0 B．a≠2 C．a＝2 D．a＝0 4．下面关于x的方程中①（a2+1）x2+bx+c＝0；②3（x+9）2﹣（x+1）2＝1；③（a2+2a+1）x2﹣a＝0；④x+3＝；⑤＝x﹣1．一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．45.已知关于的方程是一元二次方程，则m的值为_______________6．关于 x 的方程（ m﹣3）x﹣x+9＝0是一元二次方程，则m＝　 　．7．已知关于x的一元二次方程2xa﹣3xb﹣5＝0，试写出满足要求的所有a，b的值． 题型2：一元二次方程的一般形式1．方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A．1，2，3 B．1，2，﹣3 C．1，﹣2，3 D．﹣1，﹣2，32．将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是3，一次项系数是﹣6，常数项是1的方程是（　　） A．3x2+1＝6x B．3x2﹣1＝6x C．3x2+6x＝1 D．3x2﹣6x＝13．关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+5x+m2﹣4＝0的常数项是0，则（　　） A．m＝4 B．m＝2 C．m＝2或m＝﹣2 D．m＝﹣24．一元二次方程2x（x﹣1）＝3（x+5）﹣4化为一般形式为　 　．5．将一元二次方程3x2﹣2x＝5x+6化成一般形式为　 　． 题型3：一元二次方程的解若x＝1是方程ax2+bx+c＝0的解，则下列各式一定成立的是（　　）A．a+b+c＝1 B．a+b+c＝0 C．a﹣b+c＝0 D．a﹣b+c＝11．已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一个根，则2m2﹣4m的值等于（　　） A．2019 B．﹣2019 C．4038 D．﹣40382．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．33．若方程x2﹣3x+2＝0较小的根为p，方程3x2﹣2x﹣1＝0较大的根为q，则p+q等于（　　） A． B．3 C．2 D．14．已知m是方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则代数式2m2﹣4m+2019的值为（　　） A．2022 B．2021 C．2020 D．20195.以3和-1为两根的一元二次方程是(????) A. B. C. D. 6.已知方程的一个根是2，则p的值是 _______ 。 7.m是方程x2﹣6x﹣5＝0的一个根，则代数式11+6m﹣m2的值是_______． 题型4.一元二次方程的解法 1、方程的解是： （ ） A. B. C. D.2．关于x的方程（x+1）2﹣m＝0（其中m≥0）的解为（　　） A．x＝﹣1+m B．x＝﹣1+ C．x＝﹣1±m D．x＝﹣13．一元二次方程x2+4x+1＝0配方后可化为（　　） A．（x+2）2＝5 B．（x﹣2）2﹣5＝0 C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2﹣3＝04.一元二次方程2x(3x-2)=(x-1)(3x-2)的解是(　　) A.x=-1　　　　　　B.x=　　　　　　C.x1=,x2=0　　　　　　D.x1=,x2=-15.如果三角形的两边长分别为方程x2?8x＋15＝0的两根，则该三角形周长L的取值范围是（　　） A、6＜L＜15 B、6＜L＜16 C、10＜L＜16 D、11＜L＜136.若x2﹣9＝0，则x= ______ 　．7.如果方程（x﹣5）2＝m﹣7可以用直接开平方求解，则m的取值范围是_____　 　 把方程x2﹣3＝2x用配方法化为（x+m）2＝n的形式，则m＝_____　，n＝　_______ 　． 8.对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝________ ．9.小明在解方程x2﹣2x﹣1＝0时出现了错误，其解答过程如下： x2﹣2x＝﹣1　　　　　　　　　　　　（第一步） x2﹣2x+1＝﹣1+1　　　　　　　　　（第二步） （x﹣1）2＝0　　　　　　　　　　　（第三步） x1＝x2＝1　　　　　　　　　　　 （第四步） （1）小明解答过程是从第_____步开始出错的，其错误原因是______； （2）请写出此题正确的解答过程． ? 10.解下列方程：配方法. (2x-3)2=25; (2)x2-4x-3=0. (3)x2+12x-15=0; (4)3x2-5x=2 (5)x2-x-4=0. 公式法x2+x-3=0; (2)3x2+1=2x; (3)2(x-1)2-(x+1)(1-x)=(x+2)2. 因式分解法(x-3)2+2x(x-3)=0. (x+2)2-()2-5(x+2)=0 （1） （2） （3） （4） （5） （6） (7) （8） （9） 题型5.一元二次方程根的判别式1.下列一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A．x2﹣2x﹣3＝0 B．x2+2x+1＝0 C．x2﹣x+1＝0 D．x2＝12.一元二次方程2x2?6x＋5＝0的根的情况是（　　） A、有两个相等的实数根 B、有两个不相等的实数根 C、只有一个实数根 D、无实数根3.已知关于x的一元二次方程x2?2x＋m＝0没有实数根，则实数m的取值范围是（　　） A、m＞1 B、m≤1 C、m＜?1 D、m≤?14.若关于x的一元二次方程mx2?2x＋1＝0有两个实数根，则实数m的取值范围是（　　） A、m≤1 B、m≤?1 C、m≤1且m≠0 D、m≥1且m≠05.若关于x的一元二次方程x2＋（m＋2）x＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（　　） A、2 B、?2 ?2或2 D、?1或36. 对于一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)，下列说法： ①若a+c=0，方程ax2+bx+c=O必有实数根； ②若b2+4ac<0，则方程ax2+bx+c=O一定有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根； ④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是( ) ①② B．①③ C．②③ D．①③④7.关于x的一元二次方程2x2＋4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值是_______8.如果关于x的一元二次方程x2?6x＋m?1＝0有两个不相等的实数根，那么m的取值范围是______． 9.关于x的一元二次方程ax2＋2x＋2+c＝0（a≠0）有两个相等的实数根，则+c的值是_________ 10.已知关于x的一元二次方程x2＋2mx+m2 + m-2＝0有两个实数根 （1）求m的取值范围； （2）若m为正整数，且该方程的根都是负整数，求m的值 11.关于x的一元二次方程x2?（2k?1）x＋k2?1＝0，其中k＜0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）当k＝?1时，求该方程的根． 题型6.一元二次方程根与系数的关系 1.方程2x2＋6x?1＝0的两根为x1、x2，则x1＋x2等于（　　） A、?6 B、6 C、?3 D、3 2.已知m和n是方程的两根，则（ ） B. C. D. 3.已知x1，x2是x2-4x+1=0的两个根，则x1?x2是（　　） A、-4 B、4 C、1 D、-14一元二次方程ax2+bx+c=0，若有两根1和-1，那么a+b+c=（　　） A、-1 B、0 C、1 D、25.关于方程x2＋2x?4＝0的根的情况，下列结论错误的是（　　） A、有两个不相等的实数根 B、两实数根的和为?2 C、没有实数根 D、两实数根的积为?4 6.已知方程x2?3x＋k＝0的一个根是?2，则它的另一个根是________7.已知方程x2?2x?3＝0的两个实数根为x1、x2，则代数式x1＋x2?x1x2的值为____________8.设是方程的两个实数根，那么的值为____________________9.方程的两根为m,n，则_________________ 10.已知方程的两根为，则____________________ 11.若关于x的方程（x﹣4）（x2﹣6x+m）＝0的三个根恰好可以组成某直角三角形的三边长，则m的值为　______　． 12．若等腰三角形一边为3，另两边是关于的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0的根，则三角形的周长为________　 13.已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围． （2）若方程两实数根为x1、x2，且满足5x1+2x2＝2，求实数m的值． （你都掌握了没有呢~~~） 一、选择题1.下列关于x的方程中,一定是一元二次方程的为(　　) A.x2-2=(x+3)2 B.ax2+bx+c=0 C.x2+-5=0 D.x2-1=0 2.x=2不是下列哪一个方程的解?(　　) A.3(x-2)=0　　　　　 B.2x2-3x=2 C.(x-2)(x+2)=0　　　　　D.x2-x+2=0 3.一元二次方程x2-6x-5=0配方可变形为(　　) A.(x-3)2=14　　　　　B.(x-3)2=4 C.(x+3)2=14　　　　　D.(x+3)2=4 4.下列对一元二次方程x2+x-3=0根的情况的判断,正确的是(　　) A.有两个不相等实数根　　　　　B.有两个相等实数根 C.有且只有一个实数根　　　　　D.没有实数根 5.若关于x的一元二次方程kx2+2x-1=0有实数根,则实数k的取值范围是(　　) A.k≥-1　　　　　 B.k>-1 C.k≥-1且k≠0　　　　　D.k>-1且k≠0 6.在设计人体雕像时,使雕像的上部与下部的高度比,等于下部与全部的高度比,可以增加视觉美感.如果雕像高度为2 m,设雕像下部高为x m,则x满足(　　) A.x2=2(2-x)　　　　　B.(2-x)2=2x C.x2=2(2+x)　　　　　D.(2+x)2=2x 7.已知一元二次方程2x2+2x-1=0的两个根为x1,x2,且x1

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