人教版九年级上册 22.1.1 二次函数（基本性质）讲义（无解析）

教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T同步（二次函数的基本性质）
授课日期及时段
教学内容
（大脑放电影~） 知识点1：二次函数概念 二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数的结构特征： （1）等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． （2）是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 知识点2：二次函数解析式的表示方法 （1）一般式：y＝ax2＋bx＋c (其中a，b，c是常数，a≠0)； （2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k (a≠0)， 它直接显示二次函数的顶点坐标是(h，k)； （3）交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)， 其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标． 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与轴有交点，即时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化，转化时a不变。 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况： 1．一般式法 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值． 2．顶点式法 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式． 3．交点式法 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式． 知识点3：二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数 二次函数中，作为二次项系数，显然． ⑴ 当时，抛物线开口向上，的值越大，开口越小，反之的值越小，开口越大； ⑵ 当时，抛物线开口向下，的值越小，开口越小，反之的值越大，开口越大． 总的说来，决定了抛物线开口的大小和方向，的正负决定开口方向，的大小决定开口的大小。 2. 一次项系数 在二次项系数确定的前提下，决定了抛物线的对称轴． 的符号的判定：对称轴在轴左边则，在轴的右侧则，即“左同右异” 3. 常数项 ⑴ 当时，抛物线与轴的交点在轴上方，即抛物线与轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当时，抛物线与轴的交点为坐标原点，即抛物线与轴交点的纵坐标为； ⑶ 当时，抛物线与轴的交点在轴下方，即抛物线与轴交点的纵坐标为负． 总结起来，决定了抛物线与轴交点的位置． 总之，只要都确定，那么这条抛物线就是确定的、唯一的。 　　项目 字母　　字母的符号图象的特征aa＞0开口向上a＜0开口向下bb＝0对称轴为y轴ab＞0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab＜0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc＝0经过原点c＞0与y轴正半轴相交c＜0与y轴负半轴相交
知识点4：二次函数的性质 函数二次函数y＝ax2＋bx＋c (其中a，b，c为常数，a≠0)a>0a<0图象开口抛物线开口向上，并向上无限延伸抛物线开口向下，并向下无限延伸对称轴、顶点①对称轴是x＝－，顶点坐标是 ②同一个值所对应两个不同的值，也可确定对称轴： 增减性在对称轴的左侧，即当x＜－时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当x＞－时，y随x的增大而增大，简记为“左减右增”在对称轴的左侧，即当x＜－时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当x＞－时，y随x的增大而减小，简记为“左增右减”最值抛物线有最低点，当x＝－时，y有最小值，y最小值＝抛物线有最高点，当x＝－时，y有最大值，y最大值＝
知识点5：二次函数与一元二次方程的关系 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）： 判别式情况b2－4ac＞0b2－4ac＝0b2－4ac＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴的交点a＞0a＜0一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的实数根有两个不相等的实数根x1，x2有两个相等的实数根x1＝x2没有实数根
⑴当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； ⑵当时，图象落在轴的下方，无论为任何实数，都有． 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数中，，的符号，或由二次函数中，，的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实数根抛物线与轴有唯一交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程没有实数根
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 知识点6：二次函数平移 “左加右减，上加下减”：（1）左加右减（针对x）：①一般式平移：左右平移变化x； ..②顶点式平移：左右平移变化h。 .（2）上加下减（针对截距k）。 任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，具体平移方法如下： 1. 沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成： （或） 2. 沿x轴平移：向左（右）平移个单位，变成： （或） 知识点7：二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°） 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是． 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． （热个身先~） 题型1：二次函数的判定与基本性质 例1：二次函数判定 1、下列关系式中，属于二次函数的是（x为自变量）（ ）
A. B. C. D. 2、（2019?鼓楼区校级模拟）下列函数关系中，是二次函数的是（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体质量x之间的关系 B．当距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．半圆面积S与半径R之间的关系 3、如果是关于x的二次函数，则m= 。 例2：二次函数基本性质 1、对于抛物线和的论断： ①开口方向不同；②形状完全相同；③对称轴相同．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C． 2个 D．3个 2.下列关于二次函数图象的说法： ①图象是一条抛物线；②开口向下；③对称轴是y轴；④顶点（0，0）．其中正确的有（　　） A．0个 B．1个 C． 2个 D．3个 3、当m= 时，抛物线开口向下，对称轴是 。在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴右侧，y随x的增大而 . 4、已知函数的图象是开口向下的抛物线，求m的值. 5、函数y=2x2-8x+1，当x= 时，函数有最 值，是 . 6、函数y=x2-3x-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，与x轴交点坐标是 ，与y轴交点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，当x 时，函数y有最 值，是 . 题型2：图像性质 例1：二次函数增减性 1、已知二次函数，当x>3时，y随着x的增大而减小，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2、若二次函数，当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3、已知二次函数，当x≥1时，y的值随着x的增大而减小，则实数b的取值范围是（ ） A.? B. C. D. 4、已知二次函数图象上三点A（-1，y1），B（2，y2），C（4，y3）,则y1、y2、y3的大小关系为（ ）
A.?y1（1）求这个函数关系式及它的图象的顶点坐标.
（2）当x为何值时，函数y随着x的增大而增大？当x为何值时，函数y随着x的增大而减小？ 6、抛物线上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表: x…-2-1012…y…04664…
从上表可知,下列说法中正确的是 .(填写序号)
①抛物线与x轴的一个交点为（3,0）；②函数的最大值为6；
③抛物线的对称轴是直线； ④在对称轴左侧，y随x增大而增大. 7、填表： 开口方向对称轴顶点坐标最值增减性+4
例2：图像题 1、（2017秋?禹州市期中）已知一次函数y＝ax+b的图象经过第一、二、四象限，则在平面直角坐标系中二次函数y＝ax2+bx的图象大致是（　　） A． B． C． D． 2、（2014?哈尔滨校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx﹣3图象的开口向上，对称轴在y轴右侧，则一次函数y＝ax+b的图象不经过的象限为（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3、（2019?花都区一模）已知函数y＝（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b）的图象如图所示，则函数y＝ax+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 4、二次函数的图象如图所示，对称轴是直线，下列结论： ①；②；③；④. 其中正确的是（ ） ①④ B．②④ C. ①②③ D．①②③④ 5、（2018?宁波）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（　　） A． B． C． D． 6、在同一坐标系中，一次函数y=﹣mx+n2与二次函数y=x2+m的图象可能是（　　） A． B． C． D． 7、已知函数y＝ax+b和?y=ax2+bx，那么它们在同一坐标系内图象的示意图可能是（ ） 题型3：交点问题 例1：与坐标轴交点 抛物线与x轴交点的情况是（ ）
A.?无交点 B.?一个交点 C.?两个交点 D.?无法确定 2、若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为__________. 3、若二次函数y＝mx2＋mx＋m＋1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为__________. 4、二次函数与坐标轴有且只有两个交点，则k的值为________. 5、（2019?无锡模拟）已知函数，则使y＝k成立的x值恰好有4个，则k的值可能为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．2 D．3 题型4：函数变换 例1：平移 1、把抛物线向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2、把二次函数的图象向上平移3个单位，再向右平移4个单位，则两次平移后的函数图象 的关系式是 ____________________ . 3、在同一平面直角坐标系内，将函数y＝2x2＋4x－3的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的图象的顶点坐标是（ ） A．(－3，－6) B．(1，－4) C．(1，－6) D．(－3，－4) 例2：对称 1、竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=__________。 2、（2019?长丰县二模）如图，菱形ABCD的三个顶点在二次函数y＝ax2+2ax+2（a＜0）的图象上，点A，B分别是该抛物线的顶点和抛物线与y轴的交点，则点D的坐标为　 　． 3、已知二次函数，求满足下列条件的二次函数的解析式： （1）图象关于x轴对称； （2）图象关于y轴对称； （3）图象关于原点对称； （4）图象关于经过其顶点且平行于x轴的直线对称。 4、当x=m或x=n（）时，代数式的值相等，则x=m+n时，代数式的值为?? ? ? ? ?。 题型5：求函数解析式 例1：已知点求解析式 1、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式。 2、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10），求解析式。 3、已知二次函数的图象与轴的交点为（－5，0），（2，0），且图象经过（3，－4），求解析式。 4、二次函数的图象与轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。 例2：解析式形式之间的转化 1. 把二次函数y＝x2－12x化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式： 2. 把二次函数y＝3x2－90x+200化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式： 3. 把二次函数y＝-5x2+20x+3化为形如y＝a(x－h)2＋k的形式： 4. 把二次函数y＝x2－12x+32化为形如y＝a(x－x1) (x－x2)的形式： 5. 把二次函数y＝2x2－10x+12化为形如y＝a(x－x1) (x－x2)的形式： 6. 把二次函数y＝-3x2－18x+48化为形如y＝a(x－x1) (x－x2)的形式： 题型7：二次函数与一元二次方程的联系 例1：根的个数 1、已知正数a，b，c满足b>a+c，那么关于方程ax2+bx+c=0的根的情况（?A???） A.有两个实根 B.有两个等根??? ?C.无实根??? ?D.不确定 2、已知抛物线， （1）若，求该抛物线与轴公共点的坐标 （2）若，且当-1＜x＜1时，抛物线与轴有且只有一个公共点，求的取值范围。 3、（1）关于x的方程2kx2-2x-3k-2=0的两根一个小于1，一个大于1，求实数k的取值范围。 （2）设不等式对满足的一切实数m恒成立，求实数x的取值范围。 5、（东城区一模）已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（4m+1）x+3m+3＝0 （m＞1）． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＞x2），若y是关于m的函数，且y＝x1﹣3x2，求解析式； （3）将（2）中所得的函数的图象在直线m＝2的左侧部分沿直线m＝2翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当关于m的函数y＝2m+b的图象与此图象有两个公共点时，b的取值范围． 例2：韦达定理 1、已知关于x的二次方程x2﹣ax+a2﹣4＝0： （1）有两正根；（2）两根异号；（3）只有一个正实数根； 分别求a的值． 三、课堂达标检测 1、二次函数的图象经过点，则的值是（　　） A. 3 ?B. ?C. ? ?D. 2、若抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（ ?）. A. B. ??C. ??D. 3、已知二次函数的与的部分对应值如下表： 则下列判断正确的是（ ?）. A. 抛物线与轴的一个交点在和之间 B. 当时， C. 抛物线与轴交于负半轴 D. 抛物线开口向上 4、对于二次函数由下列四个结论：它的对称轴是直线；设，则当时，有 它的图像与轴的两个交点是和；当时，其中正确的结论的个数是（ ?）. A. B. C. D. 5、若将抛物线的图像绕原点旋转，则旋转后的抛物线的关系式（ ?） ????A. ?B. C. ?D. 6、如图，在矩形中，，，点从点出发，沿边向点以的速度移动，同时点从点出发，沿以的速度移动，分别达到、两点就停止运动，则的面积最大时，所用时间为（??? ） A. ?B. ?C. ?D. 7、已知二次函数的图象如图所示.再有下列结论:.其中结论正确的个数是（??? ） A. 个 ?B. 个 ?C. 个 ?D. 个 8、二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（??? ） ????A. ????B. ????C. D. 9、已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是（　　） ????A. ??B. ?C. ?D. 10、在平面直角坐标系中，二次函数的图象如图所示，点，是该二次函数图象上的两点，其中，则下列结论正确的是（??? ） ????A. 的最小值是 ?B. 的最小值是 ?C. ?D. 11、点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（　　） ????A. ????B. ????C. D. 12、二次函数的图象如图所示，那么一次函数的图象大致是（??? ） A. ??B. ?C. ?D. 13、某生产不锈钢的工厂2016年上半年共生产吨不锈钢，2016年下半年的产量比2016年上半年的增产倍，2017年上半年的产量比2016年下半年的增产倍，则2017年上半年不锈钢的产量与之间的函数解析式为（　　） ????A. ????B. ????C. ????D. 14、个球队进行单循环比赛（参加比赛的任何一只球队都与其他所有的球队各赛一场），总的比赛场数为，则有（　　） ????A. ???? B. ????C. D. 15、若（其中是常数）为二次函数，则（　　） ????A. 均不为 ????B. ，且 ????C. ????D. ，或 16、二次函数的最大值是???????????? 17、如果二次函数图像的顶点在轴上，那么的值是????????????. 18、已知，当时，函数的最小值是，则????????????．（若结果为分数，写成a/b形式，如：1/2） 19、如果函数是二次函数，那么的取值范围是______． 20、求抛物线的顶点和对称轴．

21、函数，当为何值时，函数有最大值还是最小值，并求出最值．
22、若是二次函数．
（1）求的值．
（2）求出该图象上纵坐标为的点的坐标．


1