人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数存在性问题讲义（无答案）

教师辅导讲义
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授课类型 C专题( 二次函数存在性问题 )
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教学内容
角的存在性问题1.抛物线与x轴交于点A，B（A在B的左侧），与y轴交于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）抛物线的对称轴上存在点P，使∠APB=∠ABC，利用图1求点P的坐标； （3）点Q在y轴右侧的抛物线上，利用图2比较∠OCQ与∠OCA的大小，并说明理由． 2.如图①，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积与△OBC的面积相等，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）点D（2，m）在第一象限的抛物线上，连接BD．在对称轴左侧的抛物线上是否存在一点P，满足∠PBC=∠DBC？如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
3.在平面直角坐标系中，已知A、B是抛物线（）上两个不同的点，其中A在第二象限，B在第一象限，（1）如图1所示，当直线AB与x轴平行，∠AOB=90°，且AB=2时，求此抛物线的解析式和A、B两点的横坐标的乘积．（2）如图2所示，在（1）所求得的抛物线上，当直线AB与x轴不平行，∠AOB仍为90°时，A．B两点的横坐标的乘积是否为常数？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由．（3）在（2）的条件下，若直线分别交直线AB，y轴于点P、C，直线AB交y轴于点D，且∠BPC=∠OCP，求点P的坐标． 直角三角型存在性问题1、如图，抛物线y=a(x﹣1)(x﹣3)与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，其顶点为D．? 写出C，D两点的坐标（用含a的式子表示）； ?（2）设S△BCD：S△ABD=k，求k的值；?（3）当△BCD是直角三角形时，求对应抛物线的解析式 2.如图，在矩形OABC纸片中，OA=7，OC=5，D为BC边上动点，将△OCD沿OD折叠，当点C的对应点落在直线l：y=﹣x+7上时，记为点E，F，当点C的对应点落在边OA上时，记为点G． （1）求点E，F的坐标； （2）求经过E，F，G三点的抛物线的解析式； （3）当点C的对应点落在直线l上时，求CD的长； （4）在（2）中的抛物线上是否存在点P，使以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3.如图，在平面直角坐标系中，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，抛物线经过A，B两点，其中点A，C的坐标分别为（1，0），（﹣4，0），抛物线的顶点为点D．（1）求抛物线的解析式；（2）点E是直角三角形ABC斜边AB上的一个动点（不与A，B重合），过点E作x轴的垂线，交抛物线于点F，当线段FE的长度最大时，求点E的坐标；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点P，使△PEF是以EF为直角边的直角三角形？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，抛物线y=ax2+2x与x轴相交于点B，其对称轴为x=3．（1）求直线AB的解析式；（2）过点O作直线l，使l∥AB，点P是l上一动点，设以点A、B、O、P为顶点的四边形面积为S，点P的横坐标为t，当0＜S≤18时，求t的取值范围；（3）在（2）的条件下，当t取最大值时，抛物线上是否存在点Q，使△OPQ为直角三角形且OP为直角边，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 等腰三角形存在性问题1．如图，已知抛物线y=的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C． （1）求直线BC的解析式； （2）点F是直线BC下方抛物线上的一点，当△BCF的面积最大时，在抛物线的对称轴上找一点P，使得△BFP的周长最小，请求出点F的坐标和点P的坐标； （3）在（2）的条件下，是否存在这样的点Q（0，m），使得△BFQ为等腰三角形？如果有，请直接写出点Q的坐标；如果没有，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，交轴于点，点关于抛物线对称轴的对称点为点. （1）求线段的长度； （2）为线段上方抛物线上的任意一点，点为，一动点从点出发运动到轴上的点，再沿轴运动到点.当四边形的面积最大时，求的最小值； （3）将线段沿轴向右平移，设平移后的线段为，直至平行于轴（点为第2小问中符合题意的点），连接直线.将绕着旋转，设旋转后、的对应点分别为、，在旋转过程中直线与轴交于点，与线段交于点.当是以为腰的等腰三角形时，写出的长度. 等腰直角三角形存在性问题1.如图①,已知抛物线y=ax+bx+c的图象经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式； (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连结PE、PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值； (3)如图②，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由。2.如图,已知抛物线y=ax+bx+c(a≠0)与x轴交于点A(1,0)和点B(?3,0)，与y轴交于点C，且OC=OB. (1)求此抛物线的解析式； (2)若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求出此时点E的坐标； (3)点P在抛物线的对称轴上,若线段PA绕点P逆时针旋转90?后,点A的对应点A′恰好也落在此抛物线上，求点P的坐标。 平行四形存在性问题 1.如图，已知抛物线y=与x轴交于点A，B，点A的坐标为（-1，0），与y轴交于点C（0，2），点D与点C关于x轴对称，点P是x轴正半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M． （1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式； （2）若m=3，试证明△BQM是直角三角形； （3）已知点F（0，），试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？ 2．如图，在矩形OABC中，OA=5，AB=4，点D为边AB上一点，将△BCD沿直线CD折叠，使点B恰好落在OA边上的点E处，分别以OC，OA所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系．（1）求点E坐标及经过O，D，C三点的抛物线的解析式； （2）一动点P从点C出发，沿CB以每秒2个单位长的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿EC以每秒1个单位长的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，DP=DQ；（3）若点N在（2）中的抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使得以M，N，C，E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 菱形存在性问题 1．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y=（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A． （1）如图1，当⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由； （2）如图2，当⊙P运动到与x轴相交，设交点为点B、C．当四边形ABCP是菱形时，求出点A、B、C的坐标 （3）在（2）的条件下，求出经过A、B、C三点的抛物线的解析式． 9、如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB=OC=6. ⑴求抛物线的解析式及点D的坐标；? ⑵连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB=∠EDB时，求点F的坐标；?⑶平行于x轴的直线交抛物线于M，N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且时，求菱形对角线MN的长. 矩形存在性问题 1.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线（a<0）与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，经过点A的直线与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.? (1)求A，B两点的坐标及抛物线的对称轴；? (2)求直线l的函数表达式(其中k、b用含a的式子表示)；? (3)点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为，求a的值；?(4)设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线，以点A，D，P，Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由. 2.如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上． 正方形存在性问题1.如图，矩形OABC的两边在坐标轴上，点A的坐标为（10，0），抛物线过点B，C两点，且与x轴的一个交点为D（﹣2，0），点P是线段CB上的动点，设CP=t（0＜t＜10）．? （1）请直接写出B、C两点的坐标及抛物线的解析式；? （2）过点P作PE⊥BC，交抛物线于点E，连接BE，当t为何值时，∠PBE=∠OCD？ ?（3）点Q是x轴上的动点，过点P作PM∥BQ，交CQ于点M，作PN∥CQ，交BQ于点N，当四边形PMQN为正方形时，请求出t的值．


C专题——二次函数存在性问题

存在性问题









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