人教版数学九年级上册第二十三章 旋转 旋转模型讲义（无答案）

教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 C专题( 旋转运用 ) C专题( 旋转模型 )
授课日期及时段
教学内容
（课堂精粹） 图形中出现有公共端点的相等线段，可考虑将含有相等线段的图形绕公共端点旋转 两相等线段的夹角后与另一相等线段重合．遇60度旋60度，造等边三角形；遇90度旋90度，造等腰直角；遇等腰旋顶点，造旋转全等 1.如图，在中，，，是内的一点，且，求的度数． 2.如图，D为等边三角形ABC内的一点，DA＝5，DB＝4，DC＝3，将线段AD以点A为旋转中心逆时针旋转60°得到线段AD'，下列结论：①点D与点D'的距离为5；②∠ADC＝150°；③△ACD'可以由△ABD绕点A逆时针旋转60°得到；④点D到CD'的距离为3；⑤S四边形ADCD′＝6+，其中正确的有（　　）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3.如图，在等边△ABC内有一点D，AD＝5，BD＝6，CD＝4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，过E点作EH⊥CD于H，则EH的长为　 　．4.如图，在凸四边形中，,． 求证： 5.如图所示，为正方形内一点，若，，.求：（1） 的度数；（2）正方形的面积. 6.已知，以为边在外作等腰，其中。⑴如图①，若，，四边形是平行四边形，则⑵如图②，若，是等边三角形，，，求的长；⑶如图③，若为锐角，作于，当时，是否成立？若不成立，请说明你的理由；若成立，证明你的结论。 手拉手模型 1、已知：如图，点为线段上一点，、是等边三角形．常见结论： （1）（2）（3）平分（4）是等边三角形．（5）∠AFM=60°且保持不变 2.如图，已知正方形ABCD和正方形AEFG，连结BE、DG. (1)求证：BE=DG，BE⊥DG； (2)连接BD、EG、DE，点M、N、P分别是BD、EG、DE的中点，连接MP，PN，MN，求证：△MPN是等腰直角三角形；(3)若AB=4,EF=2,∠DAE=45?，直接写出MN=___. 3.如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。 (1)概念理如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗?请说明理由。 (2)性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系。 猜想结论：(要求用文字语言叙述)___ 写出证明过程(先画出图形,写出已知、求证). 问题解决：如图3，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE长。 费马点问题1.阅读下列材料对于任意的，若三角形内或三角形上有一点，若有最小值，则取到最小值时，点为该三角形的费马点。 ①若三角形内有一个内角大于或等于，这个内角的顶点就是费马点 ②若三角形内角均小于，则满足条件时，点既为费马点 解决问题： ⑴如图，中，三个内角均小于，分别以、为边向外作等边、，连接、交于点，证明：点为的费马点。(即证明)且 ⑵如图，点为三角形内部异于点的一点，证明： ⑶若，，，直接写出的最小值 2．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB ≌ △ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为+1时，求正方形的边长． 3.【操作发现】：如图 1 中，只要证明△DAB 是等边三角形即可； 【类比探究】：如图 2 中，以 PA 为边长作等边△PAD，使 P、D 分别在 AC 的两侧，连接 CD．利 用全等三角形的性质以及三角形的三边关系即可解决问题； 【解决问题】：如图 3 中，将△APB 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°，得到△AP′C′，只要证明 ∠PP′C＝90°，利用勾股定理即可解决问题； 【拓展应用】：如图 4 中，先由旋转的性质得出△APC≌△EDC，则∠ACP＝∠ECD，AC＝EC＝4，∠PCD＝60°，再证明∠BCE＝90°，然后在 Rt△BCE 中，由勾股定理求出 BE 的长度，即为 PA+PB+PC 的最小值； 1.如图，将一块含45°角的三角尺的底角顶点固定在正方形ABCD的顶点A处，一直角边AP和斜边AQ分别与正方形的对角线BD交于点E、F，且DF=2，BE=3，求EF的长度．2、在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=∠CEF=45°， 将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，如图1，求证：△AEG≌△AEF；若直线EF与AB、AD的延长线分别交于点M,N，如图2，求证： 将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变，请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系。 3.在等边的两边AB，AC所在直线上分别有两点M，N，D为外一点，且，，，探究：当点M，N分别爱直线AB，AC上移动时，BM，NC，MN之间的数量关系及的周长与等边的周长L的关系．⑴如图①，当点M，N在边AB，AC上，且DM=DN时，BM，NC，MN之间的数量关系式__________；此时=__________⑵如图②，当点M，N在边AB，AC上，且时，猜想(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；⑶如图③，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN=x，则Q=_________(用x，L表示) 图（1） 图（2） 图（3） 1、已知：，平分． ⑴在图1中，若，证明：． ⑵在图2中，若，，探究、、三者之间的数量关系，并给出证明； ⑶在图3中：若（），，则（用含的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）2、如图1,正方形和正方形,是正方形的对称中心,MN交于,QM交于． ⑴猜想：与的数量关系 ⑵如图2，若将原题中的“正方形”改为“菱形”，且，其它条件不变，探索线段与线段的数量关系，并加以证明． ⑶如图3，若将原题中的“正方形”改为“矩形”，且，其它条件不变，探索线段与线段的数量关系，并说明理由． ⑷如图4，若将原题中的“正方形”改为平行四边形，且，，其它条件不变，求出的值（直接写出答案） 直三角形中点1.在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动， 交于点，试说明的形状和面积将如何变化． 2.等腰直角三角形，为中点，，求的周长． 已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB（或延长线）于E、F． 当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时（如图1），易证．当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立? 若成立，请给予证明；若不成立， , , 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明． （ 画竹必先成竹于胸！） 1．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点E，F在AB，AC上，且∠EDF＝90°．求证：BE＝AF；（2）点M，N分别在直线AD，AC上，且∠BMN＝90°．①如图2，当点M在AD的延长线上时，求证：AB+AN＝AM；②当点M在点A，D之间，且∠AMN＝30°时，已知AB＝2，直接写出线段AM的长． 2.问题：如图（1），点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE+FD，请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2），四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足　 　关系时，仍有EF＝BE+FD．【探究应用】如图（3），在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形ABCD．已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，∠EAF＝75°且AE⊥AD，DF＝40米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长（结果取整数，参考数据：≈1.41，≈1.73） 3.在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP． （1）当点P在线段AC上时，如图1． ①依题意补全图1； ②若EQ=BP，则∠PBE的度数为 ，并证明； （2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD的边长为1， 请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果） 4.如图，正方形ABCD中，点E是BC边上的一个动点，连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转90°，得到AF，连接EF，交对角线BD于点G，连接AG． （1）根据题意补全图形；（2）判定AG与EF的位置关系并证明； （3）当AB = 3，BE = 2时，求线段BG的长． 1.如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，△AB′C′与△ABC关于直线EF对称，∠CAF=10°，连接BB′，则∠ABB′的度数是（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 2．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°）．若∠1＝116°，则∠α的大小是（　　）A．64° B．36° C．26° D．22°3.如图①，正方形A的一个顶点与正方形B的对称中心重合，重叠部分面积是正方形A面积的，如图②，移动正方形A的位置，使正方形B的一个顶点与正方形A的对称中心重合，则重叠部分面积是正方形B面积的（　　）A． B． C． D． 4.如图，把△ABC绕着点A顺时针方向旋转，得到△A B 'C '，点C恰好在B 'C '上，旋转角为α，则∠C '的度数为　　（用含α的式子表示）． 5.如图, 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC= BC，将Rt△ABC绕点A逆时针旋转15°得到Rt△，交AB于E，若图中阴影部分面积为，则的长为_____. 6如图,将边长为的正方形绕点B逆时针旋转30°,那么图中阴影部分的面积为 (　　) A.3 B.C.3- D.3-7.在平面直角坐标系中，点绕坐标原点顺时针旋转后，恰好落在右图中阴影区域（包括边界）内，则的取值范围是 . 8．如图，四边形ABCD为正方形，AB＝1，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△AEF，连接DF，则DF的长为（　　）A． B． C． D． 9．如图，正方形ABCD的边长为，点E是正方形ABCD内一点，将△BCE绕着点C顺时针旋转90°，点E的对应点F和点B，E三点在一条直线上，BF与对角线AC相交于点G，若DF＝6，则GF的长为　 　．10．如图，AB＝AC，∠CAB＝90°，∠ADC＝45°，AD＝1，CD＝3，则BD＝　 　． 11．如图，将等边△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EFC，∠ACE的平分线CD交EF于点D，连接AD、AF．（1）求∠CFA度数；（2）求证：AD∥BC． 12．将一副三角尺的直角重合放置（∠B＝30°，∠C＝45°），如图1所示，（1）图1中∠BEC的度数为　 　；（2）三角尺AOB的位置保持不动，将三角尺COD绕其直角顶点O顺时针方向旋转： ①当旋转至图2所示位置时，恰好OD∥AB，求此时∠AOC的大小； ②若将三角尺COD继续绕O旋转，直至回到图1位置，在这一过程中，是否会存在△COD其中一边能与AB平行？如果存在，请你画出图形，并直接写出相应的∠AOC的大小；如果不存在，请说明理由． 13.在四边形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝60°，AB＝BC＝4，CD＝3．（1）如图1，求△BCD的面积；（2）如图2，M是CD边上一点，将线段BM绕点B逆时针旋转60°，可得线段BN，过点N作NQ⊥BC，垂足为Q，设NQ＝n，BQ＝m，求n关于m的函数解析式．（自变量m的取值范围只需直接写出）


C专题——旋转模型

等线段共点模型

半角模型















对角互补模型



F

B

C

E

D

A

图1

B

A

E

C

F

D

图2

图3

E

B

A

D

F

C

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