人教版数学九年级上册第二十一章 一元二次方程复习讲义（无答案）

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授课类型 T同步(一元二次方程复习 )
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（大脑放电影~） 同步知识梳理知识点1：定义两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式 ．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中 是二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项．注意:二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号. 知识点2：基本解法1.直接开平方法：对形如(x+a）2=b（b≥0）的方程两边直接开平方而转化为两个一元一次方程的方法。 X+a= =-a+ =-a- 2.配方法：用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化为一般形式；②移项，将常数项移到方程的右边；③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果b≤0，则原方程无解． 3.公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方程的求根公式是(b2－4ac≥0)。步骤：①把方程转化为一般形式；②确定a，b，c的值；③求出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时代入求根公式。 4.因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．理论根据：若ab=0，则a=0或b=0。步骤是：①将方程右边化为0；②将方程左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解． 因式分解的方法：提公因式、公式法、十字相乘法。 5．一元二次方程的注意事项：⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①先化方程为一般形式再确定a，b，c的值；②若b2－4ac＜0，则方程无解． ⑶ 利用因式分解法解方程时，方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4) =3（x＋4）中，不能随便约去x＋4。⑷ 注意：解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．6．一元二次方程解的情况 ⑴b2－4ac≥0方程有两个不相等的实数根； ⑵b2－4ac=0方程有两个相等的实数根； ⑶b2－4ac≤0方程没有实数根。解题小诀窍：当题目中含有“两不等实数根”“两相等实数根”“没有实数根”时，往往首先考虑用b2－4ac解题。主要用于求方程中未知系数的值或取值范围。 知识点3：系数与方程的根之间的关系对于方程ax2＋bx+c=0(a≠0）来说，x1+x2=，,x1x2= 利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 考点一：一元二次方程定义1．下列方程中一元二次方程的个数为（ ）；；；；；． A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 2．一元二次方程2x2﹣5x﹣7=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　） A． 5；2；7 B． 2；﹣5；﹣7 C． 2；5；﹣7 D． ﹣2；5；73、方程（m+2）x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则（　　） A．m=±2 B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±24．若方程的一个根为，则及另一个根的值为（ ） A． 7，3 B． -7，3 C． -，6 D． ，65．已知m是方程x2﹣2x﹣2019＝0的一个根，则2m2﹣4m的值等于（　　） A．2019 B．﹣2019 C．4038 D．﹣40386．若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有一个解为x＝﹣1，则m的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣3 D．37．m是方程x2+x﹣1＝0的根，则式子m3+2m2+2018的值为（　　） A．2017 B．2018 C．2019 D．20208.若是方程的根，则的值为（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-29. 若为关于x的一元二次方程的根，则c+b的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 2 D. -2 10．关于 x 的方程（ m﹣3）x﹣x+9＝0是一元二次方程，则m＝　 　．11．若（m+1）x2﹣mx+2＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是　 　．12．已知关于x的方程（a﹣3）x2﹣4x﹣5＝0是一元二次方程，那么a的取值范围是　 　．13.若关于x的方程x2+px+1=0的一个实数根的倒数恰好是它本身，则p的值是____．14．若实数a是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的一个根，则a3+的值为　 　．15．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是﹣2，则m﹣n＝　 　．16．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝　 　17.定义新运算：m，n是实数，m*n＝m（2n﹣1），若m，n是方程2x2﹣x+k＝0（k＜0）的两根，则m*m﹣n*n＝　_______．18．已知关于x的方程（m+2）x|m|+2x﹣1＝0． （1）当m为何值时是一元一次方程． （2）当m为何值时是一元二次方程． 19.已知a是方程2x2+2x﹣3＝0的一个根，求． 考点二：一元二次方程解法1.是方程x2+x-1=0的根，则式子m3+2m2+2009的值为( ) A.2008 B.2009 C.2010 D.20112.若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（ ） A．1 B．2 C．1或2 D．03.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A、 B、3 C、6 D、94.方程mx2－4x+1=0的根（ ） A． B． C． D．以上都不对方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为????????????．关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是_____.7.若一个三角形的三边长均满足方程x2－6x+8=0，则此三角形的周长为_____．8.将4个数a,b,c,d排成2行、2列,两边各加一条竖线记成,定义=ad-bc,上述记号就叫做2阶行列式.若=12,则x=　　　　.? 考点三：一元二次方程根的判别1.已知关于的方程有实数根，则的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、2．关于x的一元二次方程（k+1）x2﹣2x﹣1＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≥﹣2 B．k＞﹣2 C．k≥﹣2且k≠﹣1 D．k＞﹣2且k≠﹣13.方程组的解是，那么方程x2+ax+b=0 （ ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个根为2和34.关于x的一元二次方程x2+x+n＝0（m≠0）有两个相等的实数根，则的值为（　　） A．4 B．﹣4 C． D．5.如果关于的方程的两个实数根互为倒数，那么的值为（ ） A、 B、 C、 D、6.若关于x的一元二次方程（k+2）x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k＜且k≠﹣2 B．k C．k≤且k≠﹣2 D．k7.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（ ）．； ．；．； ． 8．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x2﹣10x+m＝0的两个实数根，则等腰三角形底边的值是（　　） A．4 B．25 C．4或6 D．24或259．下列说法正确的有（　　） ①如果a2＞b2，那么a＞b②的算术平方根是4 ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行 ④关于x的方程mx2+2x+1＝0没有实数根，那么m的取值范围是m＞1且m≠0 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个10.下列说法正确的是　_______．（填写正确说法的序号） ①在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上； ②一元二次方程x2﹣3x＝5无实数根； ③的平方根为±4； ④了解北京市居民”一带一路”期间的出行方式，采用抽样调查方式； ⑤圆心角为90°的扇形面积是π，则扇形半径为2．11.根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．1或2x 6.17 6.18 6.19 6.20 y=ax2+bx+c 0.02 －0.01 0.02 0.04 12.已知关于的一元二次方程，如果，，那么方程的根的情况是 （ ） A. 有两个不相等的实数根 　B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 必有一个根为013.已知关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣（2m﹣1）x+m+1＝0（m为常数）有两个实数根，求m的取值范围． 14．若关于x的方程|x2﹣x﹣2|＝k有四个不相等的实数根，则整数k的值为________　． 12．已知关于x的一元二次方程（m﹣2）x2+2mx+m+3＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）当m取满足条件的最大整数时，求方程的根． 考点四：一元二次方程根与系数的关系已知一元二次方程x2+3x﹣4＝0的两个根为x1、x2，则的值是（　　）A．﹣4 B．﹣2 C．4 D．21．若m，n是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个根，则m+n﹣mn的值是（　　） A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．12．若a、b是一元二次方程x2+3x﹣6＝0的两个不相等的根，则a2﹣3b的值是（　　） A．3 B．﹣15 C．﹣3 D．153.设一元二次方程（x-1）（x-2）=m(m>0)的两实根分别为α，β，则α，β满足( )A. 1<α<β<2 B. 1<α<2 <β C. α<1<β<2 D.α<1且β>24.对于一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)，下列说法： ①若+ =-1，则方程ax2+bx+c=O 一定有一根是x=1; ②若c=a3，b=2a2，则方程ax2+bx+c=O有两个相等的实数根； ③若a<0，b<0，c>0，则方程cx2+bx+a=0必有实数根； ④若ab-bc=0且<-l，则方程cx2+bx+a=0的两实数根一定互为相反数． 其中正确的结论是( ) A．①②③④ B．①②④ C．①③ D．②④5.对于一元二次方程ax2+bx+c=O(a≠0)，下列说法： ①若a+c=0，方程ax2+bx+c=O必有实数根； ②若b2+4ac<0，则方程ax2+bx+c=O一定有实数根； ③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根； ④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根． 其中正确的是( ) ①② B．①③ C．②③ D．①③④6．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根，则+的值是_____　．7．关于x的方程x2+2（m﹣1）x﹣4m＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x1﹣x2＝2，则m的值是_____8．x1，x2是方程x2+2x﹣3＝0的两个根，则代数式x12+3x1+x2＝-----　．9．若等腰三角形一边为3，另两边是关于的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0的根，则三角形的周长为　 　．10．设a，b是方程x2+x﹣2019＝0的两个实数根，则a2+2a+b的值为　 　；11．设α、β是方程x2+2013x﹣2＝0的两根，则（α2+2016α﹣1）（β2+2016β﹣1）＝　 　．12．若a、b是关于一元二次方程x2+x﹣3＝0的两实数根，则的值为　 　．13．菱形的两条对角线的长是方程x2﹣7x+1＝0的两根，则菱形的面积是　 　． 11.关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根为. 求实数k的取值范围； 是否存在实数k，使方程的两个实数根满足：？若存在，请求出实数k的值；若不存在，请说明理由. 12．关于x的方程x2﹣2（k﹣1）x+k2＝0有两个实数根x1、x2． （1）求k的取值范围； （2）若x1+x2＝1﹣x1x2，求k的值． 13.已知关于的一元二次方程的两个实数根为，. （1）求k的取值范围。 （2）是否存在实数可k,使得成立?若存在,请求出k值,若不存在,请说明理由. 考点五：求代数式值1. 已知x=2是关于x的一元二次方程ax2-3bx-5=0的一个根，则4a-6b的值是(． ) ： A.4 B.5 C.8 D.10 2、已知m、n是方程的两根，则与的积是 .3、若，则= .4、要使代数式的值等于0，则x等于 （ ） A、1 B、-1 C、3 D、3或-15、已知a、b是一元二次方程x2－2x－1=0的两个实数根，则代数式（a－b）（a＋b－2）＋ab的值等于________ 考点六：一元二次方程应用1．在元且庆祝活动中，参加活动的同学互赠贺卡，共送贺卡90张，则参加活动的有（　　）人． A．9 B．10 C．12 D．15 2.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　）A.x（x+1）=1035 B．x（x﹣1）=1035×2 C．x（x﹣1）=1035 D．2x（x+1）=10353.2018年安徽全省生产总值比2017年增长8.02%，2017年比2016年增长8.5%．设安徽省这两年生产总值的年平均增长率为x，则所列方程正确的为（　　） A．（1+x）2＝8.02%×8.5% B．（1+2x）2＝8.02%×8.5% C．（1+2x）2＝（1+8.02%）×（1+8.5%） D．（1+x）2＝（1+8.02%）×（1+8.5%）4．某商场的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏损成本，售价的折扣（即降低的百分数）不得超过d%，则d可用p表示为（ ）． A． B．p C． HYPERLINK "http://www.czsx.com.cn" D．5．有x支球队参加篮球比赛，共比赛了90场，每两队之间都比赛2场，则下列方程中符合题意的是（　　） A．x（x﹣1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x+1）＝906一个凸多边形共有230条对角线，则该多边形的边数是_____．7.某企业2018年初获利润300万元，到2020年初计划利润达到507万元，则这两年的年利润平均增长率为________. 8.某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 9.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元. 为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施. 经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出 2件．设每件商品降价x元. 据此规律，请回答： （1）商场日销售量增加 _____ 件，每件商品盈利 ________元（用含x的代数式表示）； （2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？ 10.长沙市马王堆蔬菜批发市场某批发商原计划以每千克10元的单价对外批发销售某种蔬菜．为了加快销售，该批发商对价格进行两次下调后，售价降为每千克6.4元． （1）求平均每次下调的百分率； （2）某大型超市准备到该批发商处购买2吨该蔬菜，因数量较多，该批发商决定再给予两种优惠方案以供选择．方案一：打八折销售；方案二：不打折，每吨优惠现金1000元．试问超市采购员选择哪种方案更优惠？请说明理由． 11.合肥市某小区有一块长12米、宽6米的，计划在其中修建两块矩形空地相同的长方形绿化地，它们的面积之和为36平方米，两块绿化地之间及周围留有宽度相等的小路，求小路的宽度为多少米？ 12.如图所示，有一长方形的空地，长为x米，宽为12米，建筑商把它分成甲、乙、丙三部分，甲和乙为正方形，现计划甲建筑成住宅区，乙建成商场，丙开辟成公园． （1）请用含x的代数式表示正方形乙的边长：　（x﹣12）　米； （2）若丙地的面积为32平方米，请求出x的值． 12.现有一块宽为a（a＞2），长是宽的2倍的矩形空地，想采取下列两种方案进行改造． 方案一：如图①，在矩形内预留一块宽为1，长为2的小矩形空地，剩下部分（阴影部分）进行绿化，记绿化面积为S1； 方案二：如图②，在矩形内部四周预留宽均为1的小路，剩下部分（阴影部分）进行绿化，记绿化面积为S2； （1）请用含a的代数式表示S1和S2； （2）当a＝4时，比较哪一种方案的绿化面积大？ 12．社区利用一块矩形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52米，宽为28米，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分是等宽的通道．已知铺花砖的面积为640平方米． （1）求通道的宽是多少米？ （2）该停车场共有车位64个，据调查分析，当每个车位的月租金为200元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨多少元时，停车场的月租金收入为14400元？ 13．如图已知直线AC的函数解析式为y＝x+8，点P从点A开始沿AO方向以1个单位/秒的速度运动，点Q从O点开始沿OC方向以2个单位/秒的速度运动．如果P、Q两点分别从点A、点O同时出发，经过多少秒后能使△POQ的面积为8个平方单位？ 14.如图,A、B、C、D为矩形的四个顶点,AB=16cm,AD=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达B为止,点Q以2?cm/s的速度向D移动.
(1)P、Q两点从出发开始到几秒?四边形PBCQ的面积为33cm2;
(2)P、Q两点从出发开始到几秒时?点P和点Q的距离是10cm.


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