人教版八年级上册 11.3多边形及其内角和辅导讲义（无解析）

教师辅导讲义
学员编号： 年 级： 课 时 数： 学员姓名： 辅导科目： 学科教师：
授课类型 T多边形及其内角和
授课日期及时段
教学内容
同步知识梳理 知识点：多边形及其内角和 （1）在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形． 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形。（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形。） （2）多边形的边、顶点、内角和外角、对角线 多边形的内角：多边形相邻两边组成的角 多边形的外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角 多边形的对角线：连接多边形的不相邻的两个顶点的线段(对角线公式：） 注：一个n边形，过一个顶点可以作（n-3）条对角线，可以分成（n-2）个三角形. （3）凸多边形与凹多边形 在图（1）中，画出四边形ABCD的任何一条边所在的直线，整个图形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形，这样的多边形称为凸多边形； 而图（2）就不满足上述凸多边形的特征，因为我们画BD所在直线，整个多边形不都在这条直线的同一侧，我们称它为凹多边形，今后我们在习题、练习中提到的多边形都是凸多边形． （4）正多边形：由正方形的特征出发，得出正多边形的概念． 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形． （5）多边形的内角和、外角和 多边形内角和定理：n边形的内角的和等于: (n - 2)×180°(n大于等于3且n为整数)。 多边形的外角和：多边形的外角和等于360°。 二、同步题型分析 题型1：多边形 1．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（　　） A．六边形 B．五边形 C．四边形 D．三角形 2．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（　　）个三角形． A．6 B．5 C．8 D．7 3．一个多边形截去一角后，变成一个八边形则这个多边形原来的边数是（　　） A．8或9 B．7或8 C．7或8或9 D．8或9或10 4．从n边形的一个顶点出发作对角线，这些对角线把这个n边形分成的三角形个数为（　　） A．（n+1）个 B．n个 C．（n﹣1）个 D．（n﹣2）个 5．从多边形一个顶点出发向其余的顶点引对角线，将多边形分成6个三角形，则此多边形的边数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6．我们知道，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，那么十二边形的对角线总条数是（　　） A．9 B．54 C．60 D．108 7．如图是由相同的花盆按一定的规律组成的正多边形图案，其中第1个图形一共有6个花盆，第2个图形一共有12个花盆，第3个图形一共有20个花盆，…，则第n个图形中花盆的个数为　 　． 8．我们把正n边形（n≥3）的各边三等分，分别以居中的那条线段为一边向外作正n边形，并去掉居中的那条线段，得到一个新的图形叫做正n边形的“扩展图形”，并将它的边数记为an．如图1，将正三角形进行上述操作后得到其“扩展图形”，且a3＝12．图3、图4分别是正五边形、正六边形的“扩展图形”． （1）如图2，在5×5的正方形网格中用较粗的虚线画有一个正方形，请在图2中用实线画出此正方形的“扩展图形”； （2）已知a3＝12，a4＝20，a5＝30，则图4中a6＝　 　，根据以上规律，正n边形的“扩展图形”中an＝　 　；（用含n的式子表示） （3）已知＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，且+++…+＝，则n＝　 　． 题型2：多边形及其内角和 1．如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（　　） A．180° B．360° C．540° D．720° 2．如果一个多边形的内角和等于1440°，那么这个多边形的边数为（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 3．小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果算得800°，这个多边形应该是（　　） A．六边形 B．七边形 C．八边形 D．九边形 4．如图，M是正六边形ABCDEF的边CD延长线上的一点，则∠ADM的度数是（　　） A．135° B．120° C．108° D．60° 5．将若干个大小相等的正五边形排成环状，如图所示是前3个五边形，要完成这一圆环还需_______个正五边形（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 6．把边长相等的正六边形ABCDEF和正五边形GHCDL的CD边重合，按照如图所示的方式叠放在一起，延长LG交AF于点P，则∠APG＝（　　） A．141° B．144° C．147° D．150° 7．如图是由10把相同的折扇组成的“蝶恋花”（图1）和梅花图案（图2）（图中的折扇无重叠），则梅花图案中的五角星的五个锐角均为（　　） A．36° B．42° C．45° D．48° 8．如图，七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线交于点O，若∠1，∠2，∠3，∠4的外角和等于210°，则∠BOD的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 9．如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠ABD＝52°，∠ABC＝116°，∠ACB＝α°，则∠BDC的度数为（　　） α B． C．90﹣α D．90﹣α 10．如图，小明从点A出发，前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，这样一直下直到他第一次回到出发点A为止，他所走的路径构成了一个多边形． （1）小明一共走了　 　米； （2）这个多边形的内角和是　 　度． 11．如图，两直线AB与CD平行，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　 　°． 证明题： 1.如图，证明：∠1+∠2=∠C+∠D 2.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D +∠E=180° 3.已知：如图，∠CBE、∠BCF的平分线BP、CP交于点P 求证：∠P=90°-∠A 4.已知：如图，∠ABC、∠ACD的平分线BP、CP交于点P 求证：∠P=∠A 三、课堂达标检测 一、选择题 1.正多边形的一个内角为135°，则该多边形的边数为（　　） A．5B．6C．7D．8
2.如图所示，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积是4cm2，则阴影部分面积等于（　　） A．2cm2B．1cm2C．0.25cm2D．0.5cm2
3.已知三角形的两边长分别为5cm和9cm，则下列长度的四条线段中，不能作为第三边的是（　　） A. 4cm B.6cm C.8cm D.13cm 4.如果三角形的一个外角小于与它相邻的内角，那么这个三角形一定是（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AC≠AB，AD是斜边BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，则图中与∠C（∠C除外）相等的角的个数是（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 6.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角的顶点重合于点O，AB∥OC，与OA交于点E，已知∠A=30°，∠C=45°，则∠DEO的度数为（　　） A．45° B．60° C．70° D．75° 二、填空题 1.如图，将一副三角板叠放在一起，使直角顶点重合于O，则∠AOC+∠DOB= 2．如图，DE⊥AB，∠A=25°，∠D=35°，则∠ACB的度数为________________. 3．如图，为了使木门不变形，木工师傅在木门上加钉了一根木条，这样是利用三角形的________________. 4．把一副常用的三角板如图所示拼在一起，使B、C、E在同一直线上．那么图中∠ACD是________________. 5. 如图，七星形中∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G= 6．如图，⊿ABC中，∠A = 40°，∠B = 72°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE， 则∠CDF = 度。 7.如果将长度为a-2、a+5和a+2的三根线段首尾顺次相接可以得到一个三角形，那么a的取值范围是 8. 如图所示，∠1=60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为 __________ 三、解答题 1.已知：如图1，在△ABC中，CD是高，若∠A=∠DCB．

（1）试说明∠ACB=90°；
（2）如图2，若AE是角平分线，AE、CD相交于点F．求证：∠CFE=∠CEF． 2. 如图，已知D为△ABC边BC延长线上一点，DF⊥AB于F交AC于E， ∠A=35°，∠D=42°，求∠ACD的度数． 3.已知：点D是△ABC所在平面内一点，连接AD、CD．
（1）如图1，若∠A=28°，∠B=72°，∠C=11°，求∠ADC；
（2）如图2，若存在一点P，使得PB平分∠ABC，同时PD平分∠ADC，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明；
（3）如图3，在?（2）的条件下，将点D移至∠ABC的外部，其它条件不变，探究∠A，∠P，∠C的关系并证明．
4.三角形不等式是指一个三角形的两边长度之和大于第三边的长度.在下图中，E位于线段CA上，D位于线段BE上. （1）证明：AB+AE＞DB+DE； （2）证明：AB+AC＞DB+DC； （3）AB+BC+CA与2（DA+DB+DC）哪一个更大？证明你的结论； （4）AB+BC+CA与DA+DB+DC哪一个更大？证明你的结论. 5. 如图，∠MON=90°，点A、B分别在射线PM、PN上，∠MAB和∠NBA的平分线相交于点P.点A和点B在运动过程中，∠P的大小是否发生变化？请说明你的理由. 6. 如图，已知AB∥CD，BD平分∠ABC交AC于点O，CE平分∠DCG.若∠ACE=90°，试判断BD与AC的位置关系，并说明理由. 7. 如图①，则∠1+∠2+∠3+∠4 = °； 如图②，则∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5 = °； 如图③，则∠1+∠2+∠3+∠4 +∠5+∠6 = °. 8. 已知：如图，在△ABC中，BO1、BO2是∠ABC的三等分线，CO1、CO2是∠ACB的三等分线. （1）当∠A=60°时，∠BO2C= °； （2）探索∠BO1C与∠BO2C之间的数量关系，并证明你的结论. 9. 如图，线段AB、CD交于点O，连接AD、BC，我们把形如图1的图形称为“8字形”. （1）如图（1），直接写出∠A+∠D与∠B+∠C的关系； （2）如图（2），∠DAB和∠BCD的平分线AP、CP交于点P，且分别与AB、CD交于点M、N，∠D=46°，∠B=30°. 先观察图中还有哪些“8字形”，再利用（1）的结论求∠P的度数； （3）在（2）中，若∠D=α，∠B=β，直接写出∠P的度数(用含有α、β的式子表示). 10.如图，△ABC中，∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线交于A1．

（1）当∠A为70°时，
∵∠ACD-∠ABD=∠____ ∴∠ACD-∠ABD=______°
∵BA1、CA1是∠ABC的角平分线与∠ACB的外角∠ACD的平分线
∴∠A1CD-∠A1BD=（∠ACD-∠ABD）
∴∠A1=______°；
（2）∠A1BC的角平分线与∠A1CD的角平分线交于A2，∠A2BC与A2CD的平分线交于A3，如此继续下去可得A4、…、An，请写出∠A与∠An的数量关系___________；
（3）如图2，四边形ABCD中，∠F为∠ABC的角平分线及外角∠DCE的平分线所在的直线构成的角，若∠A+∠D=230度，则∠F=____________．
（4）如图3，若E为BA延长线上一动点，连EC，∠AEC与∠ACE的角平分线交于Q，当E滑动时有下面两个结论：①∠Q+∠A1的值为定值；②∠Q-∠A1的值为定值．其中有且只有一个是正确的，请写出正确的结论，并求出其值． 11. 如图，四边形ABCD中，内角∠ABC的角平分线与外角∠DCE的角平分线交于点F，且∠F为锐角.设∠A=α，∠D=β. 如图①，α+β>180°，试用α、β表示∠F； 如图②，α+β<180°，请在图中画出∠F，并试用α、β表示∠F； 一定存在∠F吗？如有，求出∠F的值；如不一定，指出α、β满足什么条件时，不存在∠F. 12. 如图，长方形纸片ABCD，点E是AB上一动点，M是BC上一点，N是AD上一点，将△EAN沿EN翻折得到△EA′N，将△EBM沿EM翻折得到△EB′M．
（1）若∠A′EB′=80°，EN以2°/秒的速度顺时针旋转，若EM以4°/秒的速度逆时针旋转，t秒后，EA′与EB′重合，求t的值．
（2）若继续旋转，使EB′平分∠A′EN，探究∠A′EN与∠B′EM的数量关系．
13.如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小. 14.阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题；
△ABC中，有两个内角相等．
①若∠A=110°，求∠B的度数；
②若∠A=40°，求∠B的度数．
小明通过探究发现，∠A的度数不同，∠B的度数的个数也可能不同，因此为同学们提供了如下解题的想法：
对于问题①，根据三角形内角和定理，∵∠A=110°＞90°，∠B=∠C=35°；
对于问题②，根据三角形内角和定理，∵∠A=40°＜90°，∴∠A=∠B或∠A=∠C或∠B∠C，∴∠B的度数可求．
请回答：
（1）问题②中∠B的度数为________；
（2）参考小明解决问题的思路，解决下面问题：
△ABC中，有两个内角相等．设∠A=x°，当∠B有三个不同的度数时，求∠B的度数（用含x的代式表示）以及x的取值范围．


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