人教版八年级上册12.3角平分线性质辅导讲义（无解析）

（大脑放电影~）
知识点1：角的平分线的概念：从角的顶点出发，等分这个角的射线，叫做这个角的平分线。
角是轴对称图形，它的对称轴是这个平分线所在的直线。
知识点2：角的平分线性质：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
知识点3：角的平分线性质的逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
角的平分线可以看作这个角的内部（包括顶点）到角的两边距离相等的点的集合。


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题型一：角平分线性质
1、如图,OP平分∠AOB,PC⊥OA,垂足为C,PD⊥OB,垂足为D,则PC与PD的大小关系是( )
A.PC>PD B.PC=PD C.PC

【例2】如图所示，已知，△ABC中，∠C=，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，F在AC上，BE=CF，
求证：BD=DF











【巩固练习】
1．如图，下列推理中正确的个数是（ 　）
①因为OC平分∠AOB，点P、D、E分别在OC、OA、OB上，所以PD＝PE；
②因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，所以PD＝PE；
③因为P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，且OC平分∠AOB，所以PD＝PE
A、0个　　　　　　B、1个　　　　　　C、2个　　　　　D、3个
2．如图，P是∠AOB的平分线上的一点，PC⊥AO于C，PD⊥OB于D，写出图中一组相等的线段______________________（只需写出一组即可）




如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数．









4、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由.







题型二：角平分线逆定理
1．到一个角的两边距离相等的点都在_________.
2、∠AOB的平分线上一点M，M到OA的距离为1.5 cm，则M到OB的距离为_________.

3、如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

A．1处 　　 　B．2处 　　　C．3处 　　　 D．4处

4、给出下列结论，正确的有（）
①到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上；②角的平分线与三角形平分线都是射线；③任何一个命题都有逆命题；④假命题的逆命题一定是假命题
A．1个 　　　B．2个 　　　C．3个 　　D．4个


5、已知：有一块三角形空地，若想在空地中找到一个点，使这个点到三边的距离相等，试找出该点．（保留画图痕迹）



【巩固练习】
1．如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；④恰是∠B，∠DAC，∠ECA三条角平分线的交点，上述结论中，正确结论的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

2.如图，AO、BO分别是∠A、∠B的平分线， OD⊥BC，OE⊥AB，垂足分别为D、E
求证：点O在∠C的平分线上.





3．如图，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．




题型三：“平行”和“角平分线”通常能够构造等腰三角形
【例5】如图，△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点F，过点F作DE∥BC交AB于点D，交AC于点E，那么下列结论：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周长等于AB与AC的和；④BF=CF．其中正确的有（ ）
A．①②③ B．①②③④ C．①② D．①






【例6】如图所示，△ABC中，∠C=90°，AD平分∠A交BC于D，DE⊥AB于E，CF⊥AB于F，交AD于G．求证：DE=CG．







【巩固练习】
1．已知：如图，△ABC的外角∠FAC的平分线为AE， AD = AC。?求证：DC∥AE






题型四：角平分线性质运用
【例7】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=AC，AD平分∠BAC交BC于D，求证：AB=AC+CD．






【例8】如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB，交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△BDE的周长是4cm，求AB的长．



【巩固练习】
1．如图，CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，BD、CE交于O，AO平分∠BAC,求证：OB=OC.





2．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，BD=DC,
求证：BE=CF.









3．如图，BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，S△ABC=36cm2，AB=18cm，BC=12cm，
求DE的长．




【例9】例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．


【巩固练习】
1．如图所示，某铁路MN与公路PQ相交于点O，且夹角为90°，其仓库G在A区，到公路和铁路距离相等，且到铁路图上距离为1cm．
（1）在图上标出仓库G的位置．（比例尺为1∶10000，用尺规作图）
（2）求出仓库G到铁路的实际距离．





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1.已知△ABC,求作一点P，使P到三角形三边的距离相等，则点P是 ( )
A．三边中垂线的交点
B．三边的高线的交点
C．三边中线的交点
D．三个内角的角平分线的交点

2.AD是△ABC的角的平分线，AB=5，AC=3，则S△ABD：S△ABD=（ ）

A．1：1 B．2：1 C．5：3 D．3：5

3.如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=3，则PQ的最小值为（ ）．

A．2 B．3 C．4 D．无法确定

4.如图，直线a、b、c表示三条公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（ ）

一处 B、两处 C、三处 D、四处

5.如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M， 交AC于N，若BM+CN=9，则线段MN的长为（ ）

6 B． 7 C． 8 D． 9
6.如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE⊥AB，垂足为E．若PE=3，则两平行线AD与BC间的距离为 （ ）

A．3 B．5 C．6 D．不能确定


7.如图△ABC中，AD平分∠BAC，AB=4，AC=2，且△ABD的面积为3，则△ACD的面积为 ．


8.已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD．求证：D在∠BAC的平分线上．