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第二章章末高效整合知能整合提升热点考点例析答案: ①②课堂练习达标答案: B答案: B答案: D答案: C答案: ③④⑤答案: 3答案: -2阶段质量评估(二)
谢谢观看!阶段质量评估(二) 平面向量
(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题中的真命题是( )
A.单位向量都相等
B.若a≠b,则|a|≠|b|
C.若|a|≠|b|,则a≠b
D.若|a|=|b|,则a∥b
解析: 只有大小相等和方向相同的向量才是相等向量,大小不相等的向量一定不是相等向量.
答案: C
2.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=( )
A.(-15,12) B.0
C.-3 D.-11
解析: a+2b=(-5,6),(a+2b)·c=-3.
答案: C
3.已知向量m=(λ+1,1),n=(λ+2,2),若(m+n)⊥(m-n),则λ=( )
A.-4 B.-3
C.-2 D.-1
解析: 因为m+n=(2λ+3,3),m-n=(-1,-1),由(m+n)⊥(m-n),可得(m+n)·(m-n)=(2λ+3,3)·(-1,-1)=-2λ-6=0,解得λ=-3.
答案: B
4.已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D.
解析: =(3,-4),与其同方向的单位向量e==(3,-4)=.
答案: A
5.已知a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=,则向量a与b的夹角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.以上都不对
解析: ∵a+b+c=0,∴c=-(a+b),
∴c2=(a+b)2,即|c|2=|a|2+|b|2+2|a||b|cos〈a,b〉,
∴19=4+9+12cos〈a,b〉,
∴cos〈a,b〉=.
又∵0°≤〈a,b〉≤180°,∴〈a,b〉=60°.
答案: C
6.向量=(4,-3),向量=(2,-4),则△ABC的形状为( )
A.等腰非直角三角形
B.等边三角形
C.直角非等腰三角形
D.等腰直角三角形
解析: ∵=-=(-2,-1),
∴·=-2×2+(-1)×(-4)=0,∴⊥.
又∵||≠||,
∴△ABC是直角非等腰三角形.
答案: C
7.如图,M,N分别是AB,AC的一个三等分点,且=λ(-)成立,则λ=( )
A. B.
C. D.±
解析: 由=,且=-,得λ=.
答案: B
8.已知点A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4),则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C.- D.-
解析: 由已知得=(2,1),=(5,5),因此在方向上的投影为==.
答案: A
9.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力的大小为20 N,则当它们的夹角为120°时,合力的大小为( )
A.40 N B.10N
C.20 N D. N
解析: 对于两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°,合力的大小为20 N时,由三角形法则可知,这两个力的大小都是10 N;当它们的夹角为120°时,由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形,因此合力的大小为10 N.
答案: B
10.已知O是三角形ABC所在平面内一点,且满足·+||2=·+||2,则O点( )
A.在过点C且垂直于AB的直线上
B.在∠C平分线所在的直线上
C.在AB边中线所在的直线上
D.是△ABC的外心
解析: 由题意有·+·+2-2=0.
即·+·+(-)·(+)
=·(+----)=-2·=0,
所以⊥.
答案: A
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)
11.平面向量a,b满足|a|=1,|b|=2,且(a+b)·(a-2b)=-7,则向量a,b的夹角为________.
解析: (a+b)·(a-2b)=|a|2-a·b-2|b|2=1-a·b-8=-7,∴a·b=0,∴a⊥b.故a,b的夹角为.
答案:
12.已知向量a,b的夹角为120°,|a|=1,|b|=3,则|5a-b|=________.
解析: |5a-b|==
=
=
=7.
答案: 7
13.已知向量与的夹角为120°,且||=3,||=2.若=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.
解析: =-,由于⊥,所以·=0,即(λ+)·(-)=-λ2+2+(λ-1)·=-9λ+4+(λ-1)×3×2×=0,解得λ=.
答案:
14.在平行四边形ABCD中,AD=1,∠BAD=60°,E为CD的中点,若·=1,则AB的长为________.
解析: 设AB=x,x>0,
则·=||·||cos 60°=,
又·=(+)·=1-x2+x=1,
得x=,即AB的长为.
答案:
三、解答题(本大题共4小题,共50分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(本小题满分12分)已知向量a,b不共线,c=ka+b,d=a-b.
(1)若c∥d,求k的值,并判断c,d是否同向;
(2)若|a|=|b|,a与b的夹角为60°,求当k为何值时,c⊥d.
解析: (1)c∥d,故c=λd,
即ka+b=λ(a-b).
又a,b不共线,则解得
即c=-d,
故c与d反向.
(2)c·d=(ka+b)·(a-b)=ka2-ka·b+a·b-b2=(k-1)a2+(1-k)|a|2·cos 60°=(k-1)a2+a2.
又c⊥d,故(k-1)a2+a2=0.
即(k-1)+=0,解得k=1.
16.(本小题满分12分)如右图,在平面直角坐标系中,||=2||=2,∠OAB=,=(-1,).
(1)求点B,C的坐标;
(2)求证:四边形OABC为等腰梯形.
解析: (1)设B(xB,yB),则xB=||+||·cos(π-∠OAB)=,yB=||·sin(π-∠OAB)=,
∴=+=+(-1, )=,
∴B,C.
(2)证明:连接OC.∵=,=,
∴=3,∴∥.
又||≠||,||=||=2,
∴四边形OABC为等腰梯形.
17.(本小题满分12分)如图,G是△OAB的重心,OG的延长线交AB于点M,又P,Q分别是边OA,OB上的动点,且P,G,Q三点共线.
(1)设=λ,将用λ,,表示;
(2)设=x,OQ=y,证明:+是定值.
解析: (1)=+=+λ=+λ(-)=(1-λ)+λ.
(2)由(1)及=x,=y,得=(1-λ)+λ=(1-λ)x+λy.①
∵G是△OAB的重心,
∴==×(+)=+.②
由①②得
=,
而,不共线.
∴解得
∴+=3,即+是定值.
18.(本小题满分14分)在平面直角坐标系中,已知三点A(4,0),B(t,2),C(6,t),t∈R,O为坐标原点.
(1)若△ABC是直角三角形,求t的值;
(2)若四边形ABCD是平行四边形,求||的最小值.
解析: (1)由题意得=(t-4,2),=(2,t),
=(6-t,t-2),
若∠A=90°,则·=0,即2(t-4)+2t=0,∴t=2;
若∠B=90°,则·=0,即(t-4)(6-t)+2(t-2)=0,
∴t=6±2;
若∠C=90°,则·=0,即2(6-t)+t(t-2)=0,无解,
∴满足条件的t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形,则=,设点D的坐标为(x,y),
即(x-4,y)=(6-t,t-2),
∴,即D(10-t,t-2),
∴||=
=,
∴当t=6时,||取得最小值4.