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第二章章末高效整合知能整合提升热点考点例析答案： ①②课堂练习达标答案： B答案： B答案： D答案： C答案： ③④⑤答案： 3答案： －2阶段质量评估（二）
谢谢观看！阶段质量评估(二) 平面向量
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列命题中的真命题是( )
A．单位向量都相等
B．若a≠b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠b
D．若|a|＝|b|，则a∥b
解析： 只有大小相等和方向相同的向量才是相等向量，大小不相等的向量一定不是相等向量．
答案： C
2．设a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，则(a＋2b)·c＝( )
A．(－15,12) B．0
C．－3 D．－11
解析： a＋2b＝(－5,6)，(a＋2b)·c＝－3.
答案： C
3．已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
解析： 因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
答案： B
4．已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为( )
A. B.
C. D．
解析： ＝(3，－4)，与其同方向的单位向量e＝＝(3，－4)＝.
答案： A
5．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．以上都不对
解析： ∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)，
∴c2＝(a＋b)2，即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cos〈a，b〉，
∴19＝4＋9＋12cos〈a，b〉，
∴cos〈a，b〉＝.
又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝60°.
答案： C
6．向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为( )
A．等腰非直角三角形
B．等边三角形
C．直角非等腰三角形
D．等腰直角三角形
解析： ∵＝－＝(－2，－1)，
∴·＝－2×2＋(－1)×(－4)＝0，∴⊥.
又∵||≠||，
∴△ABC是直角非等腰三角形．
答案： C
7.如图，M，N分别是AB，AC的一个三等分点，且＝λ(－)成立，则λ＝( )
A. B.
C. D．±
解析： 由＝，且＝－，得λ＝.
答案： B
8．已知点A(－1,1)，B(1,2)，C(－2，－1)，D(3,4)，则向量在方向上的投影为( )
A. B.
C．－ D．－
解析： 由已知得＝(2,1)，＝(5,5)，因此在方向上的投影为＝＝.
答案： A
9．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力的大小为20 N，则当它们的夹角为120°时，合力的大小为( )
A．40 N B．10N
C．20 N D． N
解析： 对于两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°，合力的大小为20 N时，由三角形法则可知，这两个力的大小都是10 N；当它们的夹角为120°时，由三角形法则可知力的合成构成一个等边三角形，因此合力的大小为10 N.
答案： B
10．已知O是三角形ABC所在平面内一点，且满足·＋||2＝·＋||2，则O点( )
A．在过点C且垂直于AB的直线上
B．在∠C平分线所在的直线上
C．在AB边中线所在的直线上
D．是△ABC的外心
解析： 由题意有·＋·＋2－2＝0.
即·＋·＋(－)·(＋)
＝·(＋－－－－)＝－2·＝0，
所以⊥.
答案： A
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
11．平面向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，且(a＋b)·(a－2b)＝－7，则向量a，b的夹角为________．
解析： (a＋b)·(a－2b)＝|a|2－a·b－2|b|2＝1－a·b－8＝－7，∴a·b＝0，∴a⊥b.故a，b的夹角为.
答案：
12．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.
解析： |5a－b|＝＝
＝
＝
＝7.
答案： 7
13．已知向量与的夹角为120°，且||＝3，||＝2.若＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．
解析： ＝－，由于⊥，所以·＝0，即(λ＋)·(－)＝－λ2＋2＋(λ－1)·＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2×＝0，解得λ＝.
答案：
14．在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点，若·＝1，则AB的长为________．
解析： 设AB＝x，x＞0，
则·＝||·||cos 60°＝，
又·＝(＋)·＝1－x2＋x＝1，
得x＝，即AB的长为.
答案：
三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分12分)已知向量a，b不共线，c＝ka＋b，d＝a－b.
(1)若c∥d，求k的值，并判断c，d是否同向；
(2)若|a|＝|b|，a与b的夹角为60°，求当k为何值时，c⊥d.
解析： (1)c∥d，故c＝λd，
即ka＋b＝λ(a－b)．
又a，b不共线，则解得
即c＝－d，
故c与d反向．
(2)c·d＝(ka＋b)·(a－b)＝ka2－ka·b＋a·b－b2＝(k－1)a2＋(1－k)|a|2·cos 60°＝(k－1)a2＋a2.
又c⊥d，故(k－1)a2＋a2＝0.
即(k－1)＋＝0，解得k＝1.
16．(本小题满分12分)如右图，在平面直角坐标系中，||＝2||＝2，∠OAB＝，＝(－1，)．
(1)求点B，C的坐标；
(2)求证：四边形OABC为等腰梯形．
解析： (1)设B(xB，yB)，则xB＝||＋||·cos(π－∠OAB)＝，yB＝||·sin(π－∠OAB)＝，
∴＝＋＝＋(－1, )＝，
∴B，C.
(2)证明：连接OC.∵＝，＝，
∴＝3，∴∥.
又||≠||，||＝||＝2，
∴四边形OABC为等腰梯形．
17．(本小题满分12分)如图，G是△OAB的重心，OG的延长线交AB于点M，又P，Q分别是边OA，OB上的动点，且P，G，Q三点共线．
(1)设＝λ，将用λ，，表示；
(2)设＝x，OQ＝y，证明：＋是定值．
解析： (1)＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ.
(2)由(1)及＝x，＝y，得＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)x＋λy.①
∵G是△OAB的重心，
∴＝＝×(＋)＝＋.②
由①②得
＝，
而，不共线．
∴解得
∴＋＝3，即＋是定值．
18．(本小题满分14分)在平面直角坐标系中，已知三点A(4,0)，B(t,2)，C(6，t)，t∈R，O为坐标原点．
(1)若△ABC是直角三角形，求t的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，求||的最小值．
解析： (1)由题意得＝(t－4,2)，＝(2，t)，
＝(6－t，t－2)，
若∠A＝90°，则·＝0，即2(t－4)＋2t＝0，∴t＝2；
若∠B＝90°，则·＝0，即(t－4)(6－t)＋2(t－2)＝0，
∴t＝6±2；
若∠C＝90°，则·＝0，即2(6－t)＋t(t－2)＝0，无解，
∴满足条件的t的值为2或6±2.
(2)若四边形ABCD是平行四边形，则＝，设点D的坐标为(x，y)，
即(x－4，y)＝(6－t，t－2)，
∴，即D(10－t，t－2)，
∴||＝
＝，
∴当t＝6时，||取得最小值4.
