2020年沪科版八下数学《第17章 一元二次方程》
单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）方程4x2＝81﹣9x化成一般形式后，二次项的系数为4，它的一次项是（ ）
A．9 B．﹣9x C．9x D．﹣9
2．（4分）一元二次方程9x2﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝3 B．x1＝3，x2＝﹣3
C．x1＝，x2＝﹣ D．x1＝x2＝
3．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+1）2＝7 B．（x﹣1）2＝7 C．（x+1）2＝9 D．（x﹣1）2＝9
4．（4分）若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣ B．m≤，且m≠0 C．m＜，且m≠0 D．m＞
5．（4分）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（ ）
A．6个 B．8个 C．9个 D．12个
6．（4分）如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（ ）
A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
7．（4分）（m2﹣n2）（m2﹣n2﹣2）﹣8＝0，则m2﹣n2的值是（ ）
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．﹣4或2
8．（4分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（ ）
A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支
9．（4分）设a，b是方程x2+3x﹣2017＝0的两个实数根，则a2+2a﹣b的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
10．（4分）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4．因此，max{﹣2，﹣4}＝﹣2；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣1或 C． D．1或
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）若（m﹣1）xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ．
12．（5分）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则这个等腰三角形的周长为 ．
13．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝ ．
14．（5分）已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为 ．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）解方程：
（1）3（2x+1）2＝108
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
（3）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x
16．（8分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同；求每次下降的百分率．
17．（8分）在国庆阅兵仪式上，三军女兵方队共378人，其中领队3人，方队中每排的人数比排数多10人，请你计算一下，三军女兵方队共有多少排？每排多少人？
18．（8分）一个两位数的个位数字比十位数字大1，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原数的积比原数的平方大108，求这个两位数．
19．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若（x1+x2）+x1x2＝0，求m的值．
20．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CD边向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的？
21．（12分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
22．（12分）阅读下面内容，并按要求解决问题：问题：“在平面内，已知分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意三个点都不在同一条直线上．经过每两点画一条直线，它们可以分别画多少条直线？”探究：为了解决这个问题，希望小组的同学们设计了如表格进行探究：（为了方便研究问题，图中每条线段表示过线段两端点的一条直线）
点数
2
3
4
5
…
n
示意图
…
直线条数
1
2+1＝
3+2+1＝
4+3+2+1＝
…
请解答下列问题：
（1）请帮助希望小组归纳，并直接写出结论：当平面内有n个点时，直线条数为 ；
（2）若某同学按照本题中的方法，共画了28条直线，求该平面内有多少个已知点？
23．（14分）某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个．
（1）若售价定为42元，每月可售出多少个？
（2）若书包的月销售量为300个，则每个书包的定价为多少元？
（3）当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？
2020年沪科版八下数学《第17章 一元二次方程》
单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）方程4x2＝81﹣9x化成一般形式后，二次项的系数为4，它的一次项是（ ）
A．9 B．﹣9x C．9x D．﹣9
解：方程整理得：4x2+9x﹣81＝0，
则一次项是9x，
故选：C．
2．（4分）一元二次方程9x2﹣1＝0的根是（ ）
A．x1＝x2＝3 B．x1＝3，x2＝﹣3
C．x1＝，x2＝﹣ D．x1＝x2＝
解：∵9x2﹣1＝0，
∴9x2＝1，
则x2＝，
解得x1＝，x2＝﹣，
故选：C．
3．（4分）用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0时，配方后得到的方程为（ ）
A．（x+1）2＝7 B．（x﹣1）2＝7 C．（x+1）2＝9 D．（x﹣1）2＝9
解：∵x2﹣2x﹣8＝0，
∴x2﹣2x＝8，
则x2﹣2x+1＝8+1，即（x﹣1）2＝9，
故选：D．
4．（4分）若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A．m＜﹣ B．m≤，且m≠0 C．m＜，且m≠0 D．m＞
解：由题意可知：△＝4﹣12m＞0，
m＜，
∵m≠0，
∴m＜且m≠0，
故选：C．
5．（4分）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共比赛36场．则参赛的球队数为（ ）
A．6个 B．8个 C．9个 D．12个
解：设有x个队参赛，
根据题意，可列方程为：x（x﹣1）＝36，
解得：x＝9或x＝﹣8（舍去），
故选：C．
6．（4分）如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（ ）
A．3cm B．4cm C．4.8cm D．5cm
解：依题意，得：40×30﹣2x2﹣2x?（x+）＝950，
整理，得：x2+20x﹣125＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故选：D．
7．（4分）（m2﹣n2）（m2﹣n2﹣2）﹣8＝0，则m2﹣n2的值是（ ）
A．4 B．﹣2 C．4或﹣2 D．﹣4或2
解：设x＝m2﹣n2，则原方程可化为：x（x﹣2）﹣8＝0即x2﹣2x﹣8＝0
解得：x＝4或﹣2．
故选：C．
8．（4分）某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（ ）
A．2根小分支 B．3根小分支 C．4根小分支 D．5根小分支
解：设每个支干长出x个小分支，
根据题意得1+x+x?x＝13，
整理得x2+x﹣12＝0，
解得x1＝3，x2＝﹣4（舍去）．
答：每个支干长出3个小分支．
故选：B．
9．（4分）设a，b是方程x2+3x﹣2017＝0的两个实数根，则a2+2a﹣b的值为（ ）
A．2017 B．2018 C．2019 D．2020
10．（4分）定义新运算：对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号max{a，b}表示a，b中的较大值，如：max{2，4}＝4．因此，max{﹣2，﹣4}＝﹣2；按照这个规定，若，则x的值是（ ）
A．﹣1 B．﹣1或 C． D．1或
解：若x＞﹣x，即x＞0，则x＝，解得x＝（负值舍去）；
若x＜﹣x，即x＜0，则﹣x＝，解得x＝﹣1（正值舍去）；
故选：B．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
11．（5分）若（m﹣1）xm（m+2）﹣1+2mx﹣1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值是 ﹣3 ．
解：由题意，得
m（m+2）﹣1＝2且m﹣1≠0，
解得m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
12．（5分）已知a，b是一个等腰三角形的两边长，且满足a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，则这个等腰三角形的周长为 10或11 ．
解：a2+b2﹣6a﹣8b+25＝0，
a2﹣6a+9+b2﹣8b+16＝0，
（a﹣3）2+（b﹣4）2＝0，
解得，a＝3，b＝4，
当a是腰长时，等腰三角形的周长＝3+3+4＝10，
当b是腰长时，等腰三角形的周长＝3+4+4＝11，
故答案为：10或11．
13．（5分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1，x2，且x12﹣x1+x2＝3x1x2，则m＝ ．
解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的二根为x1、x2，
∴x1+x2＝2，x1?x2＝m，且x12﹣2x1+m＝0，
∴x12﹣x1＝﹣m+x1，
∵x12﹣x1+x2＝3x1x2，
∴﹣m+x1+x2＝3x1x2，
即﹣m+2＝3m，
解得：m＝，
故答案为：．
14．（5分）已知，如图是一个三角形点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有一个点，第二行有两个点，…，第n行有n个点，容易发现，三角形点阵中前4行的点数和是10．若三角形点阵中前a行的点数之和为300，则a的值为 24 ．
解：依题意，得：1+2+3+…+a＝300，
整理，得：a2+a﹣600＝0，
解得：a1＝24，a2＝﹣25（不合题意，舍去）．
故答案为：24．
三．解答题（共9小题，满分90分）
15．（8分）解方程：
（1）3（2x+1）2＝108
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
（3）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x
解：（1）3（2x+1）2＝108
（2x+1）2＝36，
开方得：2x+1＝±6，
解得：x1＝，x2＝﹣；
（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x
3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0
（x﹣1）（3x+2）＝0，
x﹣1＝0，3x+2＝0，
x1＝1，x2＝﹣；
（3）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2
（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2＝0
[（x﹣3）+（5﹣2x）][（x﹣3）﹣（5﹣2x）]＝0
﹣x+2＝0，3x﹣8＝0，
x1＝2，x2＝；
（4）x（2x﹣4）＝5﹣8x
2x2+4x﹣5＝0，
b2﹣4ac＝42﹣4×2×（﹣5）＝56，
x＝＝，
x1＝，x2＝．
16．（8分）某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同；求每次下降的百分率．
解：设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
50（1﹣a）2＝32，
解得：a＝1.8（舍）或a＝0.2，
答：每次下降的百分率为20%．
17．（8分）在国庆阅兵仪式上，三军女兵方队共378人，其中领队3人，方队中每排的人数比排数多10人，请你计算一下，三军女兵方队共有多少排？每排多少人？
解：设三军女兵方队共有x排，则每排有（x+10）人，根据题意得：
x（x+10）+3＝378，
整理，得x2+10x﹣375＝0．
解得x1＝15，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．
则x+10＝15+10＝25（人）．
答：三军女兵方队共有15排，每排25人．
18．（8分）一个两位数的个位数字比十位数字大1，如果把个位数字与十位数字对调，那么所得的两位数与原数的积比原数的平方大108，求这个两位数．
解：设这个数的个位数为x，十位数为x﹣1，
根据题意列出方程得：
（10x+x﹣1）[10（x﹣1）+x]﹣108＝[10（x﹣1）+x]2，
解得：x＝2或x＝﹣1，
则这个两位数是12．
19．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围；
（2）若（x1+x2）+x1x2＝0，求m的值．
解：（1）根据题意得△＝（﹣2）2﹣4m≥0，解得m≤1．
故m的取值范围为m≤1；
（2）根据题意得x1+x2＝2，x1?x2＝m，
∵（x1+x2）+x1x2＝0，
∴×2+m＝0，解得m＝﹣1．
20．（10分）如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm．点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CD边向点B以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，几秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的？
解：设x秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的，
∵点P从点B出发沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，点Q从C点出发沿CD边向点B以1cm/s的速度移动，
∴2秒钟后，可使△PCQ的面积为五边形ABPQD面积的．
21．（12分）如图所示，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用的墙长为19m），另外三边利用学校现有总长38m的铁栏围成．
（1）若围成的面积为180m2，试求出自行车车棚的长和宽；
（2）能围成的面积为200m2自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
解：（1）设AB＝x，则BC＝38﹣2x；
根据题意列方程的，
x（38﹣2x）＝180，
解得x1＝10，x2＝9；
当x＝10，38﹣2x＝18（米），
当x＝9，38﹣2x＝20（米），而墙长19m，不合题意舍去，
答：若围成的面积为180m2，自行车车棚的长和宽分别为10米，18米；
（2）根据题意列方程的，
x（38﹣2x）＝200，
整理得出：x2﹣19x+100＝0；
△＝b2﹣4ac＝361﹣400＝﹣39＜0，
故此方程没有实数根，
答：因此如果墙长19m，满足条件的花园面积不能达到200m2．
22．（12分）阅读下面内容，并按要求解决问题：问题：“在平面内，已知分别有2个点，3个点，4个点，5个点，…，n个点，其中任意三个点都不在同一条直线上．经过每两点画一条直线，它们可以分别画多少条直线？”探究：为了解决这个问题，希望小组的同学们设计了如表格进行探究：（为了方便研究问题，图中每条线段表示过线段两端点的一条直线）
请解答下列问题：
（1）请帮助希望小组归纳，并直接写出结论：当平面内有n个点时，直线条数为 ；
（2）若某同学按照本题中的方法，共画了28条直线，求该平面内有多少个已知点？
解：（1）由表格数据的规律可得：当平面内有n个点时，直线条数为：
故答案为：．
（2）设该平面内有 x个已知点．
由题意，得＝28
解得x1＝8，x2＝﹣7（舍）
答：该平面内有8个已知点．
23．（14分）某商场计划购进一批书包，经市场调查发现：某种进货价格为30元的书包以40元的价格出售时，平均每月售出600个，并且书包的售价每提高1元，某月销售量就减少10个．
（1）若售价定为42元，每月可售出多少个？
（2）若书包的月销售量为300个，则每个书包的定价为多少元？
（3）当商场每月有10000元的销售利润时，为体现“薄利多销”的销售原则，你认为销售价格应定为多少？
解：（1）当售价为42元时，每月可以售出的个数为600﹣10（42﹣40）＝580（个）；
（2）当书包的月销售量为300个时，每个书包的价格为：40+（600﹣300）÷10＝70（元）；
当x＝50时，销售量为500个；当x＝80时，销售量为200个，
因此为体现“薄利多销”的销售原则，我认为销售价格应定为50元．
