沪科版八年级数学下册 17.3 一元二次方程根的判别式 上课课件（19张）

(共19张PPT)
17.3 一元二次方程根的判别式
第17章 一元二次方程
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程根的判别式的概念；
2.会用判别式判断一元二次方程的根的情况；
3.根据一元二次方程的根的情况确定字母的取值范围.（重点、难点）
导入新课

问题：老师写了4个一元二次方程让同学们判断它们是否有解，大家都才解第一个方程呢，小红突然站起来说出每个方程解的情况，你想知道她是如何判断的吗？

回顾：用配方法解方程 ax2 + bx +c = 0(a≠0) .
解：二次项系数化为1，得 x2 + x + = 0 .
配方，得 x2 + x +( )2 -( )2 - = 0,
移项，得 (x + )2 =
问题1：接下来能用直接开平方解吗？
讲授新课



一元二次方程根的判别式
一
问题2：什么情况下可以直接开平方？什么情况下不能直接开？
(x + )2 ≥ 0 , 4a2 ＞0 .
当 b2– 4ac＞0 时, x1= , x2=

当 b2– 4ac=0 时, x1=x2=
当 b2- 4ac ＜0 时,不能开方(负数没有平方根),
所以原方程没有实数根.
两个不相等实数根
两个相等实数根
没有实数根
两个实数根




判别式的情况
根的情况










我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，通常用符号“ ”表示，即 = b2-4ac.
> 0
= 0
< 0
≥ 0
要点归纳
按要求完成下列表格：
练一练

的值
0

4
根的情况
有两个相等的实数根
没有实数根
有两个不相等的实数根
3.判别根的情况，得出结论.
1.化为一般式，确定a,b,c的值.
要点归纳
根的判别式使用方法
2.计算 的值，确定 的符号.



根的判别式的应用
二
应用1：用根的判别式判断一元二次方程根的情况
例1:已知一元二次方程x2+x=1，下列判断正确的是( )
A.该方程有两个相等的实数根
B.该方程有两个不相等的实数根
C.该方程无实数根
D.该方程根的情况不确定
解析：原方程变形为x2+x-1=0.∵b2-4ac=1-4×1×（-1）=5＞0，∴该方程有两个不相等的实数根，故选B.
B
方法归纳
判断一元二次方程根的情况的方法：
利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根.
b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根.
b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
应用2：根据方程根的情况确定字母的取值范围
例2:若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )
A.k>-1 B.k>-1且k≠0
C.k<1 D.k<1且k≠0
解析：由根的判别式知，方程有两个不相等的实数根，则b2-4ac>0，同时要求二次项系数不为0，即 ，k≠0.解得k>-1且k≠0，故选B.
B
应用3：不解方程判断一元二次方程的根的情况
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）3x2+4x－3=0；（2）4x2=12x－9; (3) 7y=5(y2+1).
解：（1）3x2+4x－3=0，a=3,b=4,c=－3,
∴b2－4ac=32－4×3×(－3)=52＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）方程化为：4x2－12x+9=0,
∴b2－4ac=(－12)2－4×4×9=0.
∴方程有两个相等的实数根．
例3:不解方程，判断下列方程的根的情况．
(3) 7y=5(y2+1).
解：（3）方程化为：5y2－7y+5=0,
∴b2－4ac=(－7)2－4×5×5=－51＜0.
∴方程无实数根．
当堂练习
1.关于x的一元二次方程 有两个实根，则m的取值范围是 .
注意：一元二次方程有实根，说明方程可能有两个不等实根或两个相等实根两种情况.
解析：
∴
2.不解方程，判断下列方程的根的情况．
（1）2x2+3x-4=0；（2）x2-x+ =0; (3) x2-x+1=0.
解：（1）2x2+3x-4=0，a=2,b=3,c=-4,
∴b2-4ac=32-4×2×(-4)=41＞0.
∴方程有两个不相等的实数根．
（2）x2-x+ =0,a=1,b=-1,c= .
∴b2-4ac=(-1)2-4×1× =0.
∴方程有两个相等的实数根．
（3）x2-x+1=0，a=1,b=-1,c=1.
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×1=-3<0.
∴方程无实数根．
3.不解方程，判别关于x的方程
的根的情况.
解：
∴方程有两个实数根．
能力提升：
在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长.
解：∵关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，
∴Δ=b2－4ac=(b+2)2-4×(6-b)=b2+8b-20=0.
∴b=2或b=-10(舍去).
当a为底，b为腰时，则2+2<5,构不成三角形，此情况不成立；
当b为底，a为腰时，则5-2<5<5+2,能构成三角形；
∴△ABC 的三边长为5，5，2，其周长为5+5+2=12.
根的判别式：b2-4ac

课堂小结
判别式大于0，方程有两个不相等的实数根
判别式小于0，方程没有实根
判别式等于0，方程有两个相等的实根