一次函数
知识点1 正比例函数的定义
一般地，形如 (k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数．其中k叫做比例系数，自变量的指数为 ，通常情况下自变量的取值范围为 ．
知识点2 正比例函数的图象及性质
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条过 和点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线，我们称它为直线y＝kx.因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y＝kx(k≠0)的图象．
性质：当 时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，y随着x的增大而 ；当 时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，y随着x的增大而 ．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)下列函数中，y是x的正比例函数的是( )
A．y＝ B．y＝
C．y＝－2x＋1 D．y＝2x2
2．(知识点1)(3分)函数y＝(a＋1)xa－1 是正比例函数，则a的值是( )
A．2 B．－1
C．2或－1 D．－2
3．(知识点2)(3分)已知正比例函数y＝3x的图象经过点(1，m)，则m的值为( )
A． B．3
C．－ D．－3
4．(知识点2)(3分)若一个正比例函数的图象经过点(2，－3)，则这个图象一定也经过点( )
A．(－3，2) B．(，－1)
C．(，－1) D．(－，1)
5．(知识点2)(3分)已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B(－2，y2)，则y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
6．(知识点1)(7分)已知y与x成正比例，且x＝－2时，y＝4.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)设点(a，－2)在这个函数的图象上，求a的值．
7．(知识点2)(8分)已知正比例函数y＝(2m＋4)x.求：
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限；
(2)m为何值时，y随x的增大而减小；
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上．
附加题：(10分)
在函数y＝－3x的图象上取一点P，过点P作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为－2，求△POA的面积(O为坐标原点)．
知识点 一次函数的概念
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成 (k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．
判断函数式是否为一次函数的方法：先看函数式是否是 的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：(1)k≠0；(2)自变量x的次数为 ；(3)常数项b可以为 ．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)下列函数是一次函数的是( )
①y＝－3x；②y＝2x2；③y＝－2；④y＝；⑤y＝3x－1.
A．①⑤ B．①④⑤
C．②③ D．②④⑤
2．(3分)若y＝(m－3)x＋1是一次函数，则( )
A．m＝3 B．m＝－3
C．m≠3 D．m≠－3
3．(3分)下列说法错误的是( )
A．y＝－24x是正比例函数，也是一次函数
B．y＝5π是一次函数，也是正比例函数
C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比
D．如果y＝(m2－4)x＋9是一次函数，那么m≠±2
4．(3分)以等腰三角形底角的度数x为自变量，顶角的度数y与x之间的函数解析式为( )
A．y＝180－2x(0°＜x＜90°) B．y＝90－2x(0°＜x＜60°)
C．y＝180－2x(0°＜x≤90°) D．y＝90＋x(0°≤x＜90°)
5．(3分)李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD.设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数解析式是 ．
6．(8分)写出下列各题中y与x之间的解析式，并判断y是否是x的一次函数．
(1)在时速为70千米的匀速运动中，路程y(千米)与时间x(小时)的关系；
(2)汽车开始行驶时，油箱中有油55升，如果每小时耗油7升，油箱内剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的关系．
7．(7分)已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8)．
(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1时的函数值．
附加题：(10分)
一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s.
(1)求小球速度v(单位：m/s)关于时间x(单位：s)的函数解析式．它是一次函数吗？
(2)求第2.5s时小球的速度．
知识点1 一次函数的图象
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移 个单位长度得到(当b＞0时，向 平移；当b＜0时，向 平移)．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.
在平面直角坐标系中画一次函数的图象时，先描出适合关系式的两点，再过这两点作直线即可．通常选取 和 ，即与坐标轴相交的两点．
知识点2 一次函数的性质
当k＞0时，直线y＝kx＋b(k≠0)从左向右上升，y随x的增大而 ；当k＜0时，直线y＝kx＋b(k≠0)从左向右下降，y随x的增大而 ．
(总分30分)
1．(知识点1)(3分)当b＜0时，一次函数y＝x＋b的图象大致是( )
2．(知识点1)(3分)一次函数y＝－x＋2的图象不经过的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(知识点2)(3分)下列函数中，y随x的增大而减小的函数是( )
A．y＝2x＋8 B．y＝－2＋4x
C．y＝－2x＋8 D．y＝4x
4．(知识点2)(3分)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是( )
A．点(0，k)在l上
B．l经过定点(－1，0)
C．当k＞0时，y随x的增大而增大
D．l经过第一、二、三象限
5．(知识点2)(3分)已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上的两点，则a与b的大小关系是 ．
6．(知识点1、2)(7分)已知一次函数y＝(2m＋4)x＋(3－n)，求：
(1)当m是什么数时，y随x的增大而增大？
(2)当n为何值时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？
(3)m，n为何值时，函数图象过原点？
7．(综合题)(8分)已知一次函数y＝(1－2m)x＋m的图象交y轴于正半轴，并经过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＜y2.
(1)求m的取值范围；
(2)选取一个符合题意的m的值，写出对应的一次函数的解析式，并在直角坐标系中画出它的图象.
知识点 用待定系数法确定一次函数解析式
先假定解析式中的未知系数，然后根据已知条件求出待定的系数，从而确定出该解析式的方法是数学上常用的方法，这种方法称为待定系数法．
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
(1)设：设解析式为 ；
(2)代：将已知的值代入所设的解析式，得到关于k，b的方程；
(3) (4)写：将k，b的值代回解析式中，并写出解析式．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)已知直线经过点A(2，4)和点B(0，－2)，那么这条直线的解析式是( )
A．y＝－2x＋3 B．y＝3x－2
C．y＝－3x＋2 D．y＝2x－3
2．(3分)直线y＝kx＋b在坐标系中的图象如图所示，则其解析式为( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－x－1
C．y＝－x－2 D．y＝－x－
3．(3分)根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为( )
x －2 0 1
y 3 p 0
A．1 B．－1
C．3 D．－3
4．(3分)已知一次函数y＝kx＋b的图象与y＝x平行，且过点(1，2)，那么它必过点( )
A．(－1，0) B．(2，－1)
C．(2，1) D．(0，－1)
5．(3分)写出同时具备下列两个条件的一次函数的解析式 (写出一个即可)．
(1)y随x的增大而减小；
(2)图象经过点(0，2)．
6．(7分)根据下列条件，分别确定y关于x的函数解析式．
(1)y与x成正比例，且当x＝9时，y＝16；
(2)已知一次函数y＝kx＋b，当x＝3时，y＝2；当x＝－2时，y＝1.
7．(8分)在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠ 0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．
(1)当－2＜x≤3时，求y的取值范围；
(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m－n＝4，求点P的坐标．
一次函数
知识点1 正比例函数的定义
一般地，形如y＝kx(k是常数，k≠0)的函数，叫做正比例函数．其中k叫做比例系数，自变量的指数为1，通常情况下自变量的取值范围为全体实数．
知识点2 正比例函数的图象及性质
图象：正比例函数y＝kx(k是常数，k≠0)的图象是一条过原点和点(1，k)(k是常数，k≠0)的直线，我们称它为直线y＝kx.因为两点确定一条直线，所以可用两点法画正比例函数y＝kx(k≠0)的图象．
性质：当k＞0时，直线y＝kx经过第一、三象限，从左向右上升，y随着x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx经过第二、四象限，从左向右下降，y随着x的增大而减小．
当堂检测(总分30分)
1．(知识点1)(3分)下列函数中，y是x的正比例函数的是( B )
A．y＝ B．y＝
C．y＝－2x＋1 D．y＝2x2
2．(知识点1)(3分)函数y＝(a＋1)xa－1 是正比例函数，则a的值是( A )
A．2 B．－1
C．2或－1 D．－2
3．(知识点2)(3分)已知正比例函数y＝3x的图象经过点(1，m)，则m的值为( B )
A． B．3
C．－ D．－3
4．(知识点2)(3分)若一个正比例函数的图象经过点(2，－3)，则这个图象一定也经过点( C )
A．(－3，2) B．(，－1)
C．(，－1) D．(－，1)
5．(知识点2)(3分)已知函数y＝3x的图象经过点A(－1，y1)，点B(－2，y2)，则y1＞y2(填“＞”“＜”或“＝”)．
6．(知识点1)(7分)已知y与x成正比例，且x＝－2时，y＝4.
(1)求y与x之间的函数解析式；
(2)设点(a，－2)在这个函数的图象上，求a的值．
解：(1)∵y与x成正比例，∴设y＝kx.∵当x＝－2时，y＝4，∴4＝－2k，解得k＝－2，∴y与x的函数解析式为y＝－2x. (2)∵点(a，－2)在这个函数的图象上，∴－2a＝－2，解得a＝1.
7．(知识点2)(8分)已知正比例函数y＝(2m＋4)x.求：
(1)m为何值时，函数图象经过第一、三象限；
(2)m为何值时，y随x的增大而减小；
(3)m为何值时，点(1，3)在该函数的图象上．
解：(1)∵函数图象经过第一、三象限，∴2m＋4＞0，解得m＞－2. (2)∵y随x的增大而减小，∴2m＋4＜0，解得m＜－2. (3)∵点(1，3)在该函数的图象上，∴2m＋4＝3，解得m＝－.
附加题：(10分)
在函数y＝－3x的图象上取一点P，过点P作PA⊥x轴，已知P点的横坐标为－2，求△POA的面积(O为坐标原点)．
解：把x＝－2代入y＝－3x中，得y＝6，∴点P的坐标为(－2，6)．∵PA⊥x轴，∴PA＝6，OA＝2，S△POA＝PA·OA＝×6×2＝6.
知识点 一次函数的概念
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数．
判断函数式是否为一次函数的方法：先看函数式是否是整式的形式，再将函数式进行恒等变形，看它是否符合一次函数解析式y＝kx＋b的结构特征：(1)k≠0；(2)自变量x的次数为1；(3)常数项b可以为任意实数．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)下列函数是一次函数的是( A )
①y＝－3x；②y＝2x2；③y＝－2；④y＝；⑤y＝3x－1.
A．①⑤ B．①④⑤
C．②③ D．②④⑤
2．(3分)若y＝(m－3)x＋1是一次函数，则( C )
A．m＝3 B．m＝－3
C．m≠3 D．m≠－3
3．(3分)下列说法错误的是( B )
A．y＝－24x是正比例函数，也是一次函数
B．y＝5π是一次函数，也是正比例函数
C．商品单价一定，总金额与商品数量成正比
D．如果y＝(m2－4)x＋9是一次函数，那么m≠±2
4．(3分)以等腰三角形底角的度数x为自变量，顶角的度数y与x之间的函数解析式为( A )
A．y＝180－2x(0°＜x＜90°) B．y＝90－2x(0°＜x＜60°)
C．y＝180－2x(0°＜x≤90°) D．y＝90＋x(0°≤x＜90°)
5．(3分)李大爷要围一个长方形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD.设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数解析式是y＝－x＋12(0＜x＜24)．
6．(8分)写出下列各题中y与x之间的解析式，并判断y是否是x的一次函数．
(1)在时速为70千米的匀速运动中，路程y(千米)与时间x(小时)的关系；
(2)汽车开始行驶时，油箱中有油55升，如果每小时耗油7升，油箱内剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的关系．
解：(1)y＝70x，y是x的一次函数，也是正比例函数； (2)y＝55－7t，0＜t≤，y是x的一次函数．
7．(7分)已知函数y＝(n2－4)x2＋(2n－4)xm－2－(m＋n－8)．
(1)当m，n为何值时，函数是一次函数？
(2)如果函数是一次函数，计算当x＝1时的函数值．
解：(1)由题意，得∴∴当m＝3，n＝－2时，函数是一次函数． (2)由(1)得此一次函数解析式为y＝－8x＋7.当x＝1时，y＝－8×1＋7＝－1.
附加题：(10分)
一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其速度每秒增加2m/s.
(1)求小球速度v(单位：m/s)关于时间x(单位：s)的函数解析式．它是一次函数吗？
(2)求第2.5s时小球的速度．
解：(1)v＝2t，它是一次函数． (2)当t＝2.5时，v＝2×2.5＝5，即第2.5s时小球的速度为5m/s.
知识点1 一次函数的图象
一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象可以由直线y＝kx平移|b|个单位长度得到(当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移)．一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y＝kx＋b.
在平面直角坐标系中画一次函数的图象时，先描出适合关系式的两点，再过这两点作直线即可．通常选取(0，b)和(－，0)，即与坐标轴相交的两点．
知识点2 一次函数的性质
当k＞0时，直线y＝kx＋b(k≠0)从左向右上升，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线y＝kx＋b(k≠0)从左向右下降，y随x的增大而减小．
(总分30分)
1．(知识点1)(3分)当b＜0时，一次函数y＝x＋b的图象大致是( B )
2．(知识点1)(3分)一次函数y＝－x＋2的图象不经过的象限是( C )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
3．(知识点2)(3分)下列函数中，y随x的增大而减小的函数是( C )
A．y＝2x＋8 B．y＝－2＋4x
C．y＝－2x＋8 D．y＝4x
4．(知识点2)(3分)关于直线l：y＝kx＋k(k≠0)，下列说法不正确的是( D )
A．点(0，k)在l上
B．l经过定点(－1，0)
C．当k＞0时，y随x的增大而增大
D．l经过第一、二、三象限
5．(知识点2)(3分)已知点M(1，a)和点N(2，b)是一次函数y＝－2x＋1图象上的两点，则a与b的大小关系是a＞b．
6．(知识点1、2)(7分)已知一次函数y＝(2m＋4)x＋(3－n)，求：
(1)当m是什么数时，y随x的增大而增大？
(2)当n为何值时，函数的图象与y轴的交点在x轴的下方？
(3)m，n为何值时，函数图象过原点？
解：(1)依题意得2m＋4＞0，得m＞－2. (2)依题意得，3－n＜0，得n＞3. (3)函数图象过原点，则2m＋4≠0，3－n＝0，解得m≠－2，n＝3.
7．(综合题)(8分)已知一次函数y＝(1－2m)x＋m的图象交y轴于正半轴，并经过点A(x1，y1)和B(x2，y2)，当x1＜x2时，y1＜y2.
(1)求m的取值范围；
(2)选取一个符合题意的m的值，写出对应的一次函数的解析式，并在直角坐标系中画出它的图象.
解：(1)由题意得，解得0＜m＜，即m的取值范围是0＜m＜. (2)∵0＜m＜，∴可取m＝，将它代入y＝(1－2m)x＋m中，得y＝x＋.取两点(2，)，(4，)，描点，连线，得函数的图象如图．
知识点 用待定系数法确定一次函数解析式
先假定解析式中的未知系数，然后根据已知条件求出待定的系数，从而确定出该解析式的方法是数学上常用的方法，这种方法称为待定系数法．
用待定系数法求一次函数解析式的步骤：
(1)设：设解析式为y＝kx＋b；
(2)代：将已知的值代入所设的解析式，得到关于k，b的方程；
(3) 解：解方程组求k，b的值；
(4)写：将k，b的值代回解析式中，并写出解析式．
当堂检测(总分30分)
1．(3分)已知直线经过点A(2，4)和点B(0，－2)，那么这条直线的解析式是( B )
A．y＝－2x＋3 B．y＝3x－2
C．y＝－3x＋2 D．y＝2x－3
2．(3分)直线y＝kx＋b在坐标系中的图象如图所示，则其解析式为( B )
A．y＝－2x－1 B．y＝－x－1
C．y＝－x－2 D．y＝－x－
3．(3分)根据表中一次函数的自变量x与函数y的对应值，可得p的值为( A )
x －2 0 1
y 3 p 0
A．1 B．－1
C．3 D．－3
4．(3分)已知一次函数y＝kx＋b的图象与y＝x平行，且过点(1，2)，那么它必过点( A )
A．(－1，0) B．(2，－1)
C．(2，1) D．(0，－1)
5．(3分)写出同时具备下列两个条件的一次函数的解析式y＝－x＋2(答案不唯一)(写出一个即可)．
(1)y随x的增大而减小；
(2)图象经过点(0，2)．
6．(7分)根据下列条件，分别确定y关于x的函数解析式．
(1)y与x成正比例，且当x＝9时，y＝16；
(2)已知一次函数y＝kx＋b，当x＝3时，y＝2；当x＝－2时，y＝1.
解：(1)设y＝k′x(k′≠0)，把x＝9，y＝16代入，得16＝9k′，k′＝，所以y＝x. (2)把x＝3，y＝2和x＝－2，y＝1分别代入y＝kx＋b，得解得所以y＝x＋.
7．(8分)在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠ 0)的图象经过点(1，0)和(0，2)．
(1)当－2＜x≤3时，求y的取值范围；
(2)已知点P(m，n)在该函数的图象上，且m－n＝4，求点P的坐标．
解：将(1，0)，(0，2)代入y＝kx＋b得：解得∴这个函数的解析式为y＝－2x＋2. (1)把x＝－2代入y＝－2x＋2得，y＝6，把x＝3代入y＝－2x＋2得，y＝－4，∴y的取值范围是－4≤y＜6. (2)∵点P(m，n)在该函数的图象上，∴n＝－2m＋2.∵m－n＝4，∴m－(－2m＋2)＝4，解得m＝2.∴n＝－2，∴点P的坐标为(2，－2)．
