高中数学人教A版选修4-4第一讲极坐标系及简单曲线的极坐标方程（共32张PPT）
文档属性
| 名称 | 高中数学人教A版选修4-4第一讲极坐标系及简单曲线的极坐标方程（共32张PPT） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教新课标A版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-03-30 10:58:23 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
5 海里
（1）距离：5 海里
（2）方向：东偏北30?.
o
x
拯救船
30?
SOS!!!
如何确定以下两船的位置关系呢？
如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
(1)他向东偏600方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？
从教学楼向北偏西450走50米！
出发点
方向
（角度）
距离
在生活中人们经常用一个基点、参照方向和距离来表示一点的位置
这种用一个基点、参照方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
——它直观、方便
分析下面这句话，他告诉了问路人什么？
O
在平面内取一个定点O，叫做极点。
自极点引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和
角度单位（一般用弧度制）及
它的正方向（通常取逆时针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。
一、极坐标系
二、极坐标
M（ ? ，?）
?
?
点M的极径?
注意：极角一般是用弧度来表示
点M的极角?
有序数对（?，?）
——点M到极点O的距离
——以Ox（极轴）为始边，OM 为终边的角。
M的极坐标
例1 说出下图中各点的极坐标
标出(2, π/6),
(4, 3π/4),
(3.5, 5π/3)
所在位置。
例2.用点A,B,C,D,E分别表示教学 楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.
解:以点A为极点,AB所在的
射线为极轴(单位长度为1m),建立极坐标系.则点A,B,C,D,E的极坐标分别为
练习：第12页第1题
建立了极坐标后，给定ρ、?，就可以在平面内惟一确定点M，
反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的极坐标(?，?)。
点与它的极坐标是否一一对应？
1.这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。
2. 这些极角有何关系？
极角的始边相同，终边也相同，
即:它们是终边相同的角。
3. 这些极坐标所表示的点有什么关系?
它们表示同一个点。
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
点的极坐标的统一表达式:
平面内点的极坐标有无数种表示。
极点的坐标表示为（0,θ）, θ为任意角
横坐标、纵坐标
角度和距离
点与坐标
一一对应
点与极坐标
不一一对应
极点，极轴，长度单位；角度单位
和正方向
原点，x，y轴长度单位和正方向
极坐标与直角坐标的区别
要素
极坐标系
平面直角坐系
定位方式
点与坐标
三、极坐标与直角坐标的互化
设点M的直角坐标是 (x, y)，
极坐标是 (ρ,θ)
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极坐标时，取
例1. 将点M的极坐标 化成直角坐标.
练习：第12页第4题
例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.
练习：第12页第5，3题
例3 已知两点 ,
求两点间的距离.
o
x
A
B
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
直角坐标
(x, y)
极坐标
(ρ,θ)
注意：点的象限位置
决定极角的象限位置
3、极坐标与直角坐标的互化公式
1、极坐标系的四要素
2、点与其极坐标一一对应的条件
极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。
1.已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
2. 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
x
如图,半径为a的圆的圆心坐标
为(a,0)(a>0), 你能用一个等式表示圆上
任意一点的极坐标(?,?)满足的条件？
O
M
θ
ρ
一、圆的极坐标方程
例1已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，
可以使圆的极坐标方程更简单？
?＝2
?＝2acos ?
?＝2asin ?
1.求下列圆的极坐标方程
（１）中心在极点，半径为２；
（２）中心在Ｃ（a，０），半径为a ；
（３）中心在（ a ， ），半径为a ；
2.极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少？
3.求以直角坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的极坐标方程
ρ2-2 ρ cosθ-2ρ sinθ+1=0
在平面直角坐标系中，
1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为
x=3
x=3
2、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_______
x=a
特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。
分析：
极径可以取任意的非负数。故所求
直线的极坐标方程为
二、直线的极坐标方程
对比：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为
或
例题2 求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。
为直线L上除点A外的任意一点，连接OM
即
思考有没有更好的解法？
三、曲线的极坐标方程和直角坐标的互化
例1
例2
例3
例4
练习：第15页第3，4题
1
3
1
3
5 海里
（1）距离：5 海里
（2）方向：东偏北30?.
o
x
拯救船
30?
SOS!!!
如何确定以下两船的位置关系呢？
如图为某校园的平面示意图，假设某同学在教学楼处。
(2)如果有人打听体育馆和办公楼的位置，他应如何描述？
(1)他向东偏600方向走120m后到达什么位置？该位置惟一确定吗？
从教学楼向北偏西450走50米！
出发点
方向
（角度）
距离
在生活中人们经常用一个基点、参照方向和距离来表示一点的位置
这种用一个基点、参照方向和距离表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。
——它直观、方便
分析下面这句话，他告诉了问路人什么？
O
在平面内取一个定点O，叫做极点。
自极点引一条射线OX，叫做极轴。
再选定一个长度单位和
角度单位（一般用弧度制）及
它的正方向（通常取逆时针方向）。
这样就建立了一个极坐标系。
一、极坐标系
二、极坐标
M（ ? ，?）
?
?
点M的极径?
注意：极角一般是用弧度来表示
点M的极角?
有序数对（?，?）
——点M到极点O的距离
——以Ox（极轴）为始边，OM 为终边的角。
M的极坐标
例1 说出下图中各点的极坐标
标出(2, π/6),
(4, 3π/4),
(3.5, 5π/3)
所在位置。
例2.用点A,B,C,D,E分别表示教学 楼,体育馆,图书馆,实验楼,办公楼的位置.建立适当的极坐标系,写出各点的极坐标.
解:以点A为极点,AB所在的
射线为极轴(单位长度为1m),建立极坐标系.则点A,B,C,D,E的极坐标分别为
练习：第12页第1题
建立了极坐标后，给定ρ、?，就可以在平面内惟一确定点M，
反过来，给定平面内任意一点，也可以找到它的极坐标(?，?)。
点与它的极坐标是否一一对应？
1.这些极坐标之间有何异同？
极径相同，极角不同。
2. 这些极角有何关系？
极角的始边相同，终边也相同，
即:它们是终边相同的角。
3. 这些极坐标所表示的点有什么关系?
它们表示同一个点。
在同一极坐标系中, 有如下极坐标：
点的极坐标的统一表达式:
平面内点的极坐标有无数种表示。
极点的坐标表示为（0,θ）, θ为任意角
横坐标、纵坐标
角度和距离
点与坐标
一一对应
点与极坐标
不一一对应
极点，极轴，长度单位；角度单位
和正方向
原点，x，y轴长度单位和正方向
极坐标与直角坐标的区别
要素
极坐标系
平面直角坐系
定位方式
点与坐标
三、极坐标与直角坐标的互化
设点M的直角坐标是 (x, y)，
极坐标是 (ρ,θ)
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极坐标时，取
例1. 将点M的极坐标 化成直角坐标.
练习：第12页第4题
例2. 将点M的直角坐标 化成极坐标.
练习：第12页第5，3题
例3 已知两点 ,
求两点间的距离.
o
x
A
B
互化公式的三个前提条件：
1. 极点与直角坐标系的原点重合;
2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合;
3. 两种坐标系的单位长度相同.
直角坐标
(x, y)
极坐标
(ρ,θ)
注意：点的象限位置
决定极角的象限位置
3、极坐标与直角坐标的互化公式
1、极坐标系的四要素
2、点与其极坐标一一对应的条件
极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。
1.已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。
2. 已知点的直角坐标, 求它们的极坐标.
x
如图,半径为a的圆的圆心坐标
为(a,0)(a>0), 你能用一个等式表示圆上
任意一点的极坐标(?,?)满足的条件？
O
M
θ
ρ
一、圆的极坐标方程
例1已知圆O的半径为r，建立怎样的坐标系，
可以使圆的极坐标方程更简单？
?＝2
?＝2acos ?
?＝2asin ?
1.求下列圆的极坐标方程
（１）中心在极点，半径为２；
（２）中心在Ｃ（a，０），半径为a ；
（３）中心在（ a ， ），半径为a ；
2.极坐标方程分别是ρ＝cosθ和
ρ＝sinθ的两个圆的圆心距是多少？
3.求以直角坐标系中的点(1,1)为圆心，1为半径的圆的极坐标方程
ρ2-2 ρ cosθ-2ρ sinθ+1=0
在平面直角坐标系中，
1、过点(3,0)且与x轴垂直的直线方程为 ;过点(3,3)且与x轴垂直的直线方程为
x=3
x=3
2、过点（a,b）且垂直于x轴的直线方程为_______
x=a
特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。
分析：
极径可以取任意的非负数。故所求
直线的极坐标方程为
二、直线的极坐标方程
对比：求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。
和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？
为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为
或
例题2 求过点A(a,0)(a>0)，且垂直于极轴的直线L的极坐标方程。
为直线L上除点A外的任意一点，连接OM
即
思考有没有更好的解法？
三、曲线的极坐标方程和直角坐标的互化
例1
例2
例3
例4
练习：第15页第3，4题
1
3
1
3