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一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )
A．30° B．45°
C．60° D．120°
解析： 由题意得cos ∠ABC＝＝＝，又0°≤∠ABC≤180°，所以∠ABC＝30°.
答案： A
2．已知向量a＝(－1，x)，b＝(1，x)，若2b－a与a垂直，则|a|＝( )
A．1 B．
C．2 D．4
解析： 由题意得，2b－a＝2(1，x)－(－1，x)＝(3，x)，∵(2b－a)⊥a，
∴－1×3＋x2＝0，即x2＝3，∴|a|＝＝2.
答案： C
3．已知向量a＝(1，)，b＝(3，m)，若向量a，b的夹角为，则实数m的值为( )
A．2 B．－
C．0 D．
解析： 由题意得|a|＝2，|b|＝，a·b＝3＋m＝2cos ，解得m＝，选D.
答案： D
4．若a＝(2,1)，b＝(3,4)，则向量a在向量b方向上的射影的数量为( )
A．2 B．2
C. D．10
解析： 设a，b的夹角为θ，则|a|cos θ＝|a|·＝＝＝2.
答案： B
二、填空题(每小题5分，共15分)
5．已知a＝(－1,3)，b＝(1，t)，若(a－2b)⊥a，则|b|＝____________.
解析： ∵a＝(－1,3)，b＝(1，t)，∴a－2b＝(－3,3－2t)．∵(a－2b)⊥a，∴(a－2b)·a＝0，即(－3)×(－1)＋3(3－2t)＝0，解得t＝2，∴b＝(1,2)，∴|b|＝＝.
答案：
6．已知向量a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，a与2a＋b的夹角为θ，则θ＝________.
解析： ∵a＝(1，)，2a＋b＝(－1，)，∴|a|＝2，|2a＋b|＝2，a·(2a＋b)＝2，∴cos θ＝＝，∴θ＝.
答案：
7．设＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，若A，B，C三点共线，且⊥，则m＋n的值是__________．
解析： 由已知得＝－＝(n＋2,1－m)，＝－＝(7，－1－m)，∵∥，∴(n＋2)(－1－m)－7(1－m)＝0.
∵⊥，∴－2n＋m＝0，∴或故m＋n的值为9或.
答案： 9或
三、解答题(每小题10分，共20分)
8．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)，x∈R.
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)若a∥b，求|a－b|.
解析： (1)若a⊥b，则a·b＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，
即x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3.
(2)若a∥b，则1×(－x)－x(2x＋3)＝0，
即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.
当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，|a－b|＝2.
当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，
a－b＝(2，－4)，|a－b|＝＝2.
9．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．
(1)求·及|＋|；
(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．
解析： (1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，
∴·＝－3×1＋(－1)×(－5)＝2.
∵＋＝(－2，－6)，
∴|＋|＝＝2.
(或|＋|＝＝＝2)
(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，
∴(－t)·＝0，
∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)·(－1)＝0，
∴t＝－1.
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10．已知向量a＝(1，)，b＝(－2,0)．
(1)求a－b的坐标以及a－b与a之间的夹角；
(2)当t∈[－1,1]时，求|a－tb|的取值范围．
解析： (1)因为向量a＝(1，)，b＝(－2,0)，所以a－b＝(1，)－(－2,0)＝(3，)，所以cos〈a－b，a〉＝＝＝.
因为〈a－b，a〉∈[0，π]，所以向量a－b与a的夹角为.
(2)|a－tb|2＝a2－2ta·b＋t2b2＝4t2＋4t＋4＝42＋3.易知当t∈[－1,1]时，|a－tb|2∈[3,12]，所以|a－tb|的取值范围是[，2]．
课件33张PPT。
第二章三角函数2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角抓基础·新知探究对应坐标的乘积x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0解析： 依题意得6－m＝0，m＝6，选D.
答案： D2．(2015·全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )
A．－1 B．0
C．1 D.2
解析： a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1.
答案： C3．已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，则k＝( )
A．－12 B．－6
C．6 D.12
解析： 2a－b＝(4,2)－(－1，k)＝(5,2－k)，由a·(2a－b)＝0，得(2,1)·(5,2－k)＝0，即10＋2－k＝0，解得k＝12.
答案： D4．若a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则b的坐标为____________．通技法·互动讲练◎ 变式训练
1．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，c＝(2,1)．
求：(1)a·b；(2)(a＋b)·(2a－b)；
(3)(a·b)·c；(4)a·(b·c)．
解析： (1)a·b＝(1,3)·(2,5)＝1×2＋3×5＝17.
(2)∵a＋b＝(1,3)＋(2,5)＝(3,8)，
2a－b＝2(1,3)－(2,5)＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，
∴(a＋b)·(2a－b)＝(3,8)·(0,1)＝3×0＋8×1＝8.
(3)(a·b)·c＝17·c＝17(2,1)＝(34,17)．
(4)a·(b·c)＝a·[(2,5)·(2,1)]＝(1,3)·(2×2＋5×1)＝9(1,3)＝(9,27)．答案： (1)A (2)(10,0)或(－6,8)答案： (1)D (2)D答案： (1)C (2)A【错因分析】 本题误以为两非零向量a与b的夹角为锐角等价于a·b＞0，事实上，两向量的夹角θ∈[0，π]，当θ＝0时，有cos θ＝1＞0，对于非零向量a与b有a·b＞0.两非零向量a与b的夹角为锐角的等价条件是a·b＞0且a不平行于b.【点评】 本题的陷阱是忽视了向量夹角的范围为[0，π]，其中θ＝0也能使a·b＞0，故应从中将其剔除，如果不注意这一点很容易出现上述错误．提知能·高效测评
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