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第二章 本章高效整合知能整合提升热点考点例析答案： C答案 ： C答案： A答案： C答案： ③④⑤答案： 3答案： (0,2)阶段质量评估（三）阶段质量评估（四）
谢谢观看！阶段质量评估(二) 三角函数(B)
(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若函数y＝sin 2x 的图象向左平移个单位得到y＝f(x)的图象，则( )
A．f(x)＝cos 2x B．f(x)＝sin 2x
C．f(x)＝－cos 2x D．f(x)＝－sin 2x
解析： 依题意得f(x)＝sin＝sin＝cos 2x.故选A.
答案： A
2．已知cos＝，且|φ|＜，则tan φ＝( )
A．－ B．
C．－ D．
解析： 由cos＝，得sin φ＝－，又|φ|＜，∴cos φ＝，∴tan φ＝－.
答案： C
3．函数y＝1－sin x，x∈[0,2π]的大致图象是( )
解析： 取x＝0，则y＝1，排除C、D；取x＝，则y＝0，排除A，选B.
答案： B
4．在平面直角坐标系中，已知角α的终边经过点P(a，a－3)，且cos α＝，则a等于( )
A．1 B．
C．1或 D．1或－3
解析： 由题意得＝，
两边平方化为a2＋2a－3＝0，
解得a＝－3或1，而a＝－3时，点P(－3，－6)在第三象限，cos α＜0，与题不符，舍去，选A.
答案： A
5．已知函数y＝tan(2x＋φ)的图象过点，则φ可以是( )
A．－ B．－
C. D．
解析： 根据题意可得2×＋φ＝kπ，k∈Z，
所以φ＝－＋kπ，k∈Z，
取k＝0，则φ＝－.
答案： B
6．设α是第二象限角，且＝－cos ，则是( )
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
解析： 由题意知2kπ＋＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，则kπ＋＜＜kπ＋(k∈Z)，当k＝2n(n∈Z)时，是第一象限角；当k＝2n＋1(n∈Z)时，是第三象限角．而＝－cos ?cos ≤0，∴是第三象限角，故选C.
答案： C
7．如果函数f(x)＝sin(πx＋θ)(0＜θ＜2π)的最小正周期为T，且当x＝2时，取得最大值，那么( )
A．T＝2，θ＝ B．T＝1，θ＝π
C．T＝2，θ＝π D．T＝1，θ＝
解析： ∵T＝＝2，f(x)＝sin(πx＋θ)，
∴f(2)＝sin(2π＋θ)＝sin θ＝1，
又0＜θ＜2π，则θ＝.故选A.
答案： A
8．下列函数中，最小正周期为π且在上是减函数的是( )
A．y＝sin B．y＝cos
C．y＝sin 2x D．y＝cos 2x
解析： y＝cos 2x的周期T＝＝π，因为y＝cos 2x的单调递减区间为，k∈Z，所以其在上为减函数，故选D.
答案： D
9．将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位后得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( )
A. B．
C．0 D．－
解析： 将函数y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移个单位，可以得到y＝sin＝sin的图象．
此函数为偶函数知φ＋＝kπ＋(k∈Z)，
即φ＝kπ＋(k∈Z)．当k＝0时，φ＝，故选B.
答案： B
10．已知sin＝，则sin的值为( )
A. B．－
C. D．－
解析： ∵＋＝π，
∴－α＝π－，
∴sin＝sin＝sin＝.
答案： C
11．当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，则函数y＝f是( )
A．奇函数且图象关于点对称
B．偶函数且图象关于点(π，0)对称
C．奇函数且图象关于直线x＝对称
D．偶函数且图象关于点对称
解析： 当x＝时，函数f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0)取得最小值，即＋φ＝－＋2kπ(k∈Z)，即φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝Asin(A＞0)，所以y＝f＝Asin＝－Asin x，所以函数y＝f为奇函数且图象关于直线x＝对称，故选C.
答案： C
12．函数f(x)＝3sin的图象为C.
①图象C关于直线x＝π对称；
②函数f(x)在区间内是增函数；
③由y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.
以上三个论断中，正确论断的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析： ①f＝3sin＝3sin π＝－3，
∴直线x＝π为图象C的对称轴，①正确；
②令2x－∈(k∈Z)，
解得x∈(k∈Z)．
令k＝0，得为函数f(x)的一个增区间，
∴②正确；
③将y＝3sin 2x的图象向右平移个单位长度，则有y＝3sin＝3sin，∴③错误．
答案： C
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．设x∈(0，π)，则f(x)＝cos2x＋sin x的最大值是________．
解析： ∵f(x)＝cos2x＋sin x
＝－sin2x＋sin x＋1
＝－2＋，
又x∈(0，π)，∴0＜sin x≤1，
∴当sin x＝时，
f(x)的最大值是.
答案：
14．国际油价在某一时间内呈现正弦波动规律：P＝Asin＋60(美元)(t(天)，A>0，ω>0)，现采集到下列信息：最高油价80美元，当t＝150(天)时达到最低油价，则ω的最小值为__________．
解析： 因为Asin＋60＝80，
sin≤1，
所以A＝20，当t＝150(天)时达到最低油价，
即sin＝－1，
此时150ωπ＋＝2kπ－，k∈Z，
因为ω>0，所以当k＝1时，ω取最小值，
所以150ωπ＋＝π，解得ω＝.
答案：
15．设函数f(x)＝sin(ωx＋φ)，A＞0，ω＞0，若f(x)在区间上具有单调性，且f＝f＝f，则f(x)的最小正周期为________．
解析： 由f(x)在区间上具有单调性，且f＝f知，f(x)有对称中心，由f＝f知，f(x)有对称轴x＝＝，记T为最小正周期，则≥－?T≥，从而－＝，故T＝π.
答案： π
16．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm，秒针均匀地绕点O旋转，当时间t＝0时，点A与钟面上标12的点B重合，若将A，B两点的距离d(cm)表示成时间t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．
解析： 秒针1 s转弧度，t s后秒针转了t弧度，如图所示sin ＝，所以d＝10 sin .
答案： 10sin
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)已知角α的终边经过单位圆上的点P.
(1)求sin α的值；
(2)求·的值．
解析： (1)∵点P在单位圆上，
∴由正弦的定义得sin α＝－.
(2)原式＝·＝＝，
由余弦的定义得cos α＝，故所求式子的值为.
18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝tan.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)的定义域和单调区间；
解析： (1)对于函数f(x)＝tan，
它的最小正周期等于T＝＝2.
(2)令x＋≠kπ＋，得x≠2k＋，k∈Z，故函数的定义域为；
令kπ－＜x＋＜kπ＋，得2k－＜x＜2k＋.
所以函数f(x)的单调增区间为，k∈Z.
19．(本小题满分12分)设函数f(x)＝3sin，ω＞0且以为最小正周期．
(1)求f(0)；
(2)求f(x)的解析式；
(3)已知f＝，求sin α的值．
解析： (1)f(0)＝3sin ＝.
(2)因为f(x)＝3sin且为最小正周期，
所以＝，ω＝4，
f(x)＝3sin.
(3)f(x)＝3sin，
∴f＝3sin＝3cos α，
即3cos α＝，
∴cos α＝，
∴sin α＝±.
20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝sin(x＋φ)，其中0＜φ＜π，x∈R，其图象经过点M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)作出函数y＝1－2f(x)在[0,2π]内的简图，并指出函数y＝1－2f(x)在[0,2π]内的单调递减区间．
解析： (1)∵函数f(x)的图象经过点M，
∴sin＝，
∵0＜φ＜π，∴φ＝，
∴f(x)＝sin＝cos x.
(2)按五个关键点列表：
x
0
π
2π
1－2cos x
－1
1
3
1
－1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来，如图所示，
由图象可知函数y＝1－2f(x)在[0,2π]内的单调递减区间为[π，2π]．
21．(本小题满分12分)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象过点(0,1)，如图所示．
(1)求函数f1(x)的解析式；
(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的取值．
解析： (1)由题图知，T＝π－＝π，
于是ω＝＝2.
将y＝Asin 2x的图象向左平移个单位，
得y＝Asin(2x＋φ)的图象，于是φ＝2×＝.
将(0,1)代入y＝Asin，得A＝2.
故f1(x)＝2sin.
(2)依题意知，f2(x)＝2sin
＝－2cos ，
当2x＋＝2kπ＋π(k∈Z)，
即x＝kπ＋(k∈Z)时，ymax＝2.
此时x的取值为.
22．(本小题满分12分)“海之旅”表演队在一海滨区域进行集训，该海滨区域的海浪高度y(米)随着时刻t(0≤t≤24)而周期性变化．为了了解变化规律，该队观察若干天后，得到每天各时刻t的浪高数据的平均值如下表：
t
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y
1.0
1.4
1.0
0.6
1.0
1.4
0.9
0.6
1.0
(1)从y＝ax＋b，y＝Asin(ωx＋φ)＋b中选择一个合适的函数模型，并求出函数解析式；
(2)如果确定当浪高不低于0.8米时才进行训练，试安排白天内恰当的训练时间段．
解析： (1)作出y关于t的变化图象如下图所示，由图，可知选择y＝Asin(ωx＋φ)＋b函数模型较为合适．
由图可知A＝＝，T＝12，b＝＝1，
则ω＝＝，
y＝sin＋1.
由t＝0时，y＝1，
得×0＋φ＝2kπ，k∈Z，
所以φ＝2kπ，k∈Z，
又|φ|＜，所以φ＝0，
所以y＝sin t＋1(0≤t≤24)．
(2)由y＝sin t＋1≥(0≤t≤24)，
得sin t≥－，则－＋2kπ≤t≤＋2kπ，k∈Z，
得－1＋12k≤t≤7＋12k，k∈Z.
从而0≤t≤7或11≤t≤19或23≤t≤24.
所以在白天11时～19时进行训练较为恰当．
